Проектная работа по теме "Интеграл"
творческая работа учащихся по алгебре (11 класс) по теме

                              ПЛАН  РАБОТЫ

I. ВСТУПЛЕННИЕ.

   1. Постановка задачи:

       а) для решения функционального уравнения;

       б) для численного интегрирования.

   2. Анализ данных:

       а) построение графиков данных функций y=f1(x); y=f2(x); y=f3(x);

       б) расчет и построение графиков функций F1(x); F2(x); F3(x).

II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

    1. Вычисление корня функционального уравнения методом хорд и

         касательных (комбинированный метод):

        а) постановка задачи;

        б) расчет абсцисс точек пересечения вручную;

        в) описание численного метода решения уравнений;

        г) расчет первых и вторых производных функций F1(x); F2(x); F3(x) и

            построение их графиков;

      2. Численное интегрирование методом Симпсона:

         а) постановка задачи;

         б) расчет площади фигуры вручную по формуле Ньютона-Лейбница;

         в) описание численного интегрирования методом Симпсона;

      3. Описание программы в среде программирования VBA.

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

      1. Расчет погрешности результатов.

      2. Анализ результатов, выводы из работы.  

ВСТУПЛЕНИЕ.

   Постановка задачи. В данной работе рассмотрены два вопроса:

1. Принцип нахождения корней функционального уравнения методом хорд и касательных (комбинированный метод) с учетом определенной точности. Необходимо было с точностью 0,001 вычислить абсциссы точек пересечения трех кривых.

2. Принцип нахождения площади заданной фигуры как алгебраической суммы определенных интегралов, которые вычисляются с заданной точностью по квадратурной формуле Симпсона.

   Для выполнения данной работы были предложены три функции                         f1x=3*0.5x+1+1,      f2x=2.5x-9.5,   f3x=5x ;x>0          имеющие следующие графики:

 Для выполнения поставленных задач нам понадобились функции F1x=f1x-f3x; F2x= f2x-f3x; F3x=f1x-f2(x) .

Далее найдем формулы, задающие эти функции: 1.5x+1+ 3- 5x= 1.5x+3x2+3x-5x-5x(x+1)= зx2-0.5x-5x(x+1)

F1x= 3x2-0.5x-5x(x+1)

2.5x-9.5-5x= 2.5x2-9.5x-5x

F2(x)= 2.5x2- 9.5x-5x 1.5x+1+3-2.5x+9.5=1.5x+1-2.5x+12.5=1.5-2.5x2-2.5x+12.5x+12.5x+1=-2.5x2+10x+14x+1

F3(x) = -2.5x2+10x+14x+1

 Средствами  MS Excel построим графики заданных функций:

  Решение данного функционального уравнения  и расчет площади фигуры численным интегрированием были проведены вначале вручную, а затем, с целью упростить работу ( в частности, избавиться от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям при решении поставленных задач, в среде Visual Basic for Applications были разработаны программы, реализующие этот поиск и проверку.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

  1. Вычисление корня функционального уравнения методом хорд и касательных (комбинированный метод).

Перед нами стоит задача: найти корень уравнения Fx = 0. Число x0 – корень данного уравнения, если F(x0) = 0. Число x0 называют нулем функции y=F(x). Если эта функция непрерывна и принимает на концах отрезкаa;b значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдется нуль функции. Для решения уравнения F(x) = 0 необходимо найти отрезок a;b, на котором уравнение имеет один корень. Достаточное условие для этого заключается в следующем: на концах отрезка функция F(x) имеет разные знаки, а первая и вторая производные от функции не меняют свой знак на всем отрезке.

  Вначале рассчитаем абсциссы точек пересечения графиков функций вручную. С этой целью решим функциональные уравнения F1(x) = 0; F2(x)=0; F3(x) = 0 и получим следующие результаты:  

3x2-0.5x-5x(x+1)=0

3x2-0.5x-5=0

                                                         x≈1.377  ;x≈-1.210 

-1.210 не подходит, т.к. по условию x>0.

2.5x2-9.5x-5x=0

2.5x2-9.5x-5=0

                                                        x≈ 4.269  ; x≈-0.469

-0.469 не подходит, т.к. по условию x>0.

-2.5x2+10x+14x+1=0

-2.5x2+10x+14=0

x≈5.098 ;x≈-1.098

-1.098 не подходит, т.к. по условию x>0.

Ответ: абсциссы точек пересечения кривых равны ≈1.377; ≈4.26; ≈5.098.

  Теперь рассмотрим данный вопрос с точки зрения метода хорд и касательных.

  Численные методы решения функциональных уравнений позволяют найти решения определенных задач, заранее зная, что полученные результаты будут вычислены с определенной погрешностью, поэтому необходимо заранее знать «уровень точности», которому будет соответствовать полученное решение. Для решения функциональных уравнений существует несколько численных методов, остановимся на методе хорд и касательных.

  Метод основан на построении графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующем сжатии этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.

  Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Преимущество комбинированного метода заключается в «двустороннем сжатии» рассматриваемого отрезка.

  Рассмотрим следующий случай:

- дана функция F(x) и построен ее график;

- определена допустимая погрешность ℇ;

- на основании графика определен отрезокa;b, на котором график функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке существует корень рассматриваемого уравнения.

  Дальнейший алгоритм сводится к следующим действиям:

1. Строим касательную к графику функции в точке F(b);

2. Вычисляем абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс, обозначив ее b/, по формуле b/=b-Δb, где Δb=-F(b)F/(b);

3. Строим к графику функции хорду, проходящую через точки F(a) и F(b);

4. Вычисляем точку пересечения хорды с осью абсцисс, обозначив ее a/,  по формуле a/=a-Δa, где Δa=b-aF(a)fb/- f(a/);

5. Таким образом, получаем новый отрезокa/;b/, который (по определениям хорды и касательной) по-прежнему содержит решение уравнения;

6. Теперь принимаем отрезок a/;b/ за новый отрезок a;b и повторяем шаги 1-5 до тех пор, пока разность Fb-F(a) не станет меньше первоначально заложенной погрешности ℇ. Отметим также, что после этого рекомендуется в качестве искомого решения взять среднее арифметическое Faи F(b).

  В рассмотренном случае производная F/(x)>0, т.е. график «выпуклый» и b>a. При работе с каждым отдельным случаем необходимо находить производные функции первого и второго порядков и, сообразуясь с ее знаком, определять a и b.

  Возможны четыре случая:

а) F/(x)<0,  F//(x)>0

б) F/(x)>0,  F//(x)>0

в) F/(x)<0,   F//(x)<0

 г) F/(x)>0,   F//(x)<0  

  Таким образом, если хорда (касательная) дает значение корня с избытком, то этот корень берется в качестве новой правой границы, а если с недостатком – то левой. В обоих случаях точный корень лежит между точками пересечения хорды и касательной с осью абсцисс.

  Используя данный метод, сходимость интервала к корню происходит наиболее быстро, особенно если совместить метод хорд и касательных с методом деления отрезка пополам, т.к. середина нового отрезка зачастую дает вполне удовлетворительное решение.

  Следует отметить, что функции F1x, F2x,F3(x) непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (0;∞). Рассчитаем их первую и вторую производные и построим их графики

F1/(x) = -1.5(x+1)2+5x2

F2/(x) = 2.5+5x2

F3/(x) = -1.5(x+1)2 - 2.5

Представим графики первых производных:

F1//(x) = 3(x+1)3-10x3

F2//(x) = - 10x3

F3//(x) = 3(x+1)3

Представим графики вторых производных:

2. Численное интегрирование методом Симпсона с заданной точностью.

    Задача численного интегрирования функции  F(x) заключается в вычислении определенного интеграла S = abFxdx на основании ряда значений подынтегральной функции. Заменим определенный интеграл конечной суммой: Sn= k=0nCkF(xk) , где  Ck - числовые коэффициенты, а xk ∊a;b, k=0;1;…n.

    Равенство abFxdx≈k=0nCkF(xk) называется квадратурной формулой, xk- узлы квадратурной формулы. Если на отрезке a;b ввести равномерную сетку шагом h (xi=a+ih, где i = 0;1…n; hn=b-a), то исходный интеграл можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: abFxdx= k=1nxkxkFxdx.   Для построения формулы численного интегрирования на отрезке a;b достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке xi-1;xi и просуммировать результат. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением ℇn= abFxdx- k=0nCkF(xk).

    Вычислим площадь фигуры, ограниченную графиками данных функций по формуле Ньютона-Лейбница вручную. С этой целью разобьем данную фигуру на две и, зная абсциссы точек пересечения, рассчитаем площадь:

Sф= abF1xdx+ bcF2xdx

s1=1.34.33x2-0.5x-5x2+xdx= 1.34.31.5x+1+3-5xdx=1.5lnx+1+3x-5lnx⎢4.31.3=1.5ln5.3+3*4.3-5ln4.3-1.5ln2.3+3*1.3-5ln1.3=8.108-3.838=4.270 (кв.ед.)

S2=4.35.12.5x2-9.5x-5xdx=4.35.12.5x-9.5-5xdx=2.5x22-9.5x-5lnx⎢5.14.3=2.5*5.122-9.5*5.1-5ln5.1-(2.5*4.322-9.5*4.3-5ln4.3)=-24.084--25.031=0.947 (кв.ед.)

Sф=4.270+0.947=5.217 (кв.ед.)

Ответ: площадь заданной фигуры 5.217 кв.ед.

    Опишем численное интегрирование методом Симпсона.

Расчет площади фигуры по квадратурной формуле Симпсона или формуле парабол имеет важное значение в прикладном анализе. Она названа по имени английского математика Т.Симпсона, который получил ее в 1743г. Геометрический смысл формулы Симпсона очевиден: площадь криволинейной трапеции под графиком функции F(x) на отрезке a;b приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

Суть численного интегрирования по методу Симпсона заключается в следующем. Пусть надо вычислить определенный интеграл S=abFxdx методом Симпсона. Для этого отрезок a;b разбивается на n=2m частей x=a,  x1=a+h, …,xn=b  с шагом h=b-an . Вычисляются значения yi=F(xi) функции в точках xi и находится значение интеграла по формуле Симпсона: abFxdx≈b-a6n(F(x0)+4Fx1+2Fx2+4Fx3+…+F(x2N)).

S  = Sn+Rn  , где  Sn= h3(y0+y2m+ 2 i=1m-1y2i+ 4 I=0m-1y2i+1)

Rn=-h590 k=12my4( ℇk) , ℇk∊ xk-1; xk .

Затем количество точек разбиения удваивается и производится оценка точности вычислений:  Rn= S2n- Sn / 15.

Если Rn>e , то количество точек разбиения удваивается. Значение суммы 2(y1+y2+…+y2m-1)  сохраняется, поэтому для вычисления интеграла при удвоении количества точек разбиения требуется вычислять значения yi  лишь в новых точках разбиения.

   Этот метод численного интегрирования был реализован на программном уровне и включен в курсовую работу.

     3.  В рамках задания на  работу в среде программирования Visual Basic for Applications была разработана программа для  вычисления корня функционального уравнения методом хорд и касательных и численного интегрирования методом Симпсона. Представим данную программу и дадим описание ее работы.

Private Sub CommandButton3_Click()       (задаем кнопку CommandButton,  

Unload UserForm1                                           удаляем все предыдущие        

End Sub                                                               результаты)

Private Sub TextBox1_Change()                  

If Not ((47 < KeyAscii) And (KeyAscii < 58) Or (KeyAscii = 9) Or (KeyAscii = 44) And (InStr(TextBox1.Text, ",") = 0)) Then KeyAscii = 0    (определяем текстовое поле и

End Sub                                                                              точность погрешности)

Function F(ByVal x As Double, i As Integer) As Double    (простой цикл, задаем

If i = 1 Then                                                                                функции F1,F2,F3 )

F = (3x^2-0.5x-5)/x(x+1)

ElseIf i = 2 Then

F = (2.5x^2-9.5x-5)/x

Else

F = (-2.5x^2+10x+14)/(x+1)

End If

End Function

Function df(ByVal x As Double, i As Integer) As Double      (простой цикл , задаем

If i = 1 Then                                                                                 производные F1/,F2/,F3/)

df = -3 / (2 * (x + 1) ^ 2) + 5 / x ^ 2

ElseIf i = 2 Then

df = 5 / x ^ 2 + 2.5

Else

df = -3 / (2 * (x + 1) ^ 2) - 2.5

End If

End Function

Function kombenirovanniy(x1 As Double, x2 As Double, i As Integer, e As Double) As Double                                            (определяем решение комбинированным методом)

Dim x3 As Double, x4 As Double

Do While Abs(x2 - x1) > e                  (начало сложного цикла) 

x3 = x2 - F(x2, i) / df(x2, i)                  (определяет метод касательных)

x4 = x1 - F(x1, i) * (x1 - x2) / (F(x1, i) - F(x2, i))       (определяет метод хорд)

x1 = x3                                                                            (сужаем длину отрезка)

x2 = x4

Loop                                                                                (окончание цикла)       

kombenirovanniy = (x1 + x2) / 2

End Function

Public Function simpson(a As Double, b As Double, ByRef e As Double, index As Integer) As Double                                  (определяем начало метода Симпсона)

Dim i As Integer                                       (определяем необходимые значения для цикла)

Dim h As Double

Dim s As Double

Dim s1 As Double

n = 1

h = b - a

s = (F(a, index) + F(b, index)) * h / 2      (считаем начальную площадь)

Do                                                             (начало большого цикла)

n = n * 2                                    (количество отрезков разбиения увеличиваем в 2 раза)

h = (b - a) / n

s = 0

s1 = s

For i = 1 To n – 1        (начало малого цикла для подсчета четных и нечетных значений) 

If i Mod 2 = 0 Then

s = s + 2 * F(a + i * h, index)

Else

s = s + 4 * F(a + i * h, index)

End If

Next i                                                             (следующее значение для цикла)

s = (s + F(a, index) + F(b, index)) * (h / 3)     (формула для расчета площади фигуры

Loop Until Abs(s1 - s) >= 15 * e                       под одним графиком функции)       

simpson = s                                                   (вывод результата, завершение цикла)

End Function

Private Sub CommandButton1_Click()      (наглядный вывод результата в UserForm,

                                                   определяем вывод результатов комбинированного метода)        

Dim k1 As Double, k2 As Double, k3 As Double, i As Integer, e As Double, index As Double

e = TextBox1                                               (задание погрешности)

k1 = kombenirovanniy(1.8, 1.2, 1, e)  (результаты применения комбинированного  

k2 = kombenirovanniy(3.9, 4.8, 2, e)    метода)

k3 = kombenirovanniy(5.4, 4.9, 3, e)

Label3.Caption = k1                          (вывод на экран результатов комбинированного

Label5.Caption = k2                           метода)                 

Label7.Caption = k3

End Sub

Private Sub CommandButton4_Click()

Dim k1 As Double, k2 As Double, k3 As Double, i As Integer, e As Double, index As Double                                        (определяем вывод результатов площади)

e = TextBox1                               (задаем погрешность)

k1 = kombenirovanniy(1.8, 1.2, 1, e)        (определяем результат комбинированного

k2 = kombenirovanniy(4.5, 3.9, 2, e)         метода, необходимый для расчета площади)       

k3 = kombenirovanniy(5.4, 4.9, 3, e)

Label9.Caption = simpson(k1, k2, e, 1) + simpson(k2, k3, e, 3)    (вывод на экран окончательного результата площади)

End

  Для запуска программы нажимаем кнопку  CommandButton1. После ее нажатия открывается UserForm1 (экранная форма). Вводим значение ℇ = 0.001 и получаем значения точек пересечения и площади по заданному методу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ.

   В результате выполнения заданий  работы были созданы программы: вычисление корня функционального уравнения с указанной точностью посредством метода хорд и касательных (комбинированный) и вычисление площади фигуры, ограниченной графиками трех функций посредством интегрирования методом Симпсона с заданной точностью.

   Фактические результаты совпали с формальными. Абсолютная и относительная погрешности вычислений абсцисс точек пересечения графиков функций составили:

Для x1- 1.377-1.377=0 или 01.377=0%                                                         Для х2 -  4.269-4.269 =   0  или   04.269  = 0 %

Для х3  -    5.098-5.098 =  0   или   05.098  =   0%

 Абсолютная и относительная погрешности для вычисления площади фигуры по методу Симпсона составили:

5.217-5.019=0.198  или 0.1985.217 ≈ 0.039 = 3.9%

Отметим, что приближенные формулы для вычисления определенного интеграла или расчета абсцисс точек пересечения графиков функций применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции (в методе Симпсона)  или функциональное уравнение слишком сложное для его решения.

В заключении обратим внимание на то, что каждый из изложенных методов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы – эффективное средство для вычислений.

                        ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. М.П. Гришкина  «Курс лекций по информатике». МИЭМ.

2. Л.Д.Слепцова «Программирование на VBA в Microsoft Office 2007». Москва, «Диалектика», 2007.

3. Ш.Кинкоф «Microsoft Excel 2000». Москва, АСТ Астрель, 2006.

4. Р.С.Гутер, Б.В.Овчинский «Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта». Москва, «Наука», 1979.

5. Н.Н.Калиткин «Численные методы». Москва, «Наука», 1978.

6. В.В.Бобков, В.И.Крылов, П.И.Монастырский «Вычислительные методы». Москва, «Наука», 1976.

7. С.М.Никольский «Курс математического анализа». Москва, Физматлит,2001.