Конспект лекции для 10-11 классов по теме "Равносильность уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Равносильность уравнений

Определение 1: Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x)

                             называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Определение 2: Если каждый корень уравнения                        f(x)=g(x)     (1)

                              является в тоже время корнем уравнения       p(x)=h(x)    (2),

                              то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

(1)→(2)

Очевидно:  Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них  является     следствием другого.

(1)↔(2)

Схема решения любого уравнения:

1.Технический этап. Осуществляется преобразование уравнения (1)→(2)→(3)→(4) …

2. Анализ решения. Все ли преобразования были равносильными?

3.Проверка.

Реализация данного плана связана с поиском ответов на четыре вопроса:

1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
2. Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

1.Теоремы о равносильности уравнений.

«спокойные» теоремы:

Теорема 1.  Если какой либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2.  Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3.  Показательное уравнение а f(x) =а g(x) ( где а>0, а≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).

«беспокойные» теоремы:

Определение: Областью определения уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений (ОДЗ)  переменной называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение   h(x), которое:

             А) имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения f(x)=g(x)

                           Б) нигде в этой области не обращается в 0 –

 то получится уравнение f(x) h(x)=g(x) h(x), равносильное данному.

Следствие («спокойное» утверждение): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

 Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение, равносильное данному f(x) n =g(x) n.

Теорема 6. Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение  logаf(x)= logа g(x), где а>0, а≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).

2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие.

Если в процессе решения уравнения мы применили заключение одной из теорем 4,5,6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится уравнение-следствие.

 Некоторые переходы от одного уравнения к другому приводят к расширению области определения уравнения. Именно в добавленную часть ОДЗ и «проникают» посторонние корни.

Причины расширения области определения уравнения.

1. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.
3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

Обязательна проверка всех найденных корней, если:

1. произошло расширение области определ6ения уравнения.
2. осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.
3. выполнялось умножение  обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения).

3. О проверке корней.

Как правило, самый легкий обходной путь проверки – по области определения  (ОДЗ) заданного уравнения. Но не переоценивайте этот способ: он является полноценным только в том случае, когда при решении уравнения других причин нарушения равносильности, кроме расширения области определения, не было (это чаще всего бывает в логарифмических уравнениях). При решении же иррациональных уравнений, где используется  метод возведения в квадрат, способ проверки найденных корней по ОДЗ не выручит; лучше, если это возможно, делать проверку подстановкой.

4. О потере корней.

Причины потери корней при решении уравнений:

1. деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(x) ≠0).
2. сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
3. замена уравнения h (f(x))= h (g(x)) уравнением f(x)=g(x) в том случае, если функция

       у= h(x) – немонотонная функция.

      Этот метод можно применить только в том случае, если функция у= h(x) – монотонная функция.