Овладение умениями совместной деятельности.

Учение – процесс подчас малоприятный и малоинтересный, но высокие цели, увлекательное содержание и широкий набор эффективных способов учебной деятельности радикально его меняют.

Одним из способов учебной деятельности является совместная деятельность учащихся на уроке. Владение умениями совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими её участниками, объективное оценивание своего вклада в решение общих задач коллектива, учёт особенностей различного ролевого поведения.

Уроки делятся на несколько видов: практические занятия, семинары, консультации, зачётные уроки. Учащиеся знакомятся с целями и задачами каждого вида урока, с формами организации учебной деятельности на них.

Формами организации совместной деятельности являются групповая и коллективная формы работы. Коллективная работа протекает успешно только тогда, когда например, с помощью команд разумно координируются одновременные усилия всех её участников, заинтересованных в успехе общего дела. Групповая деятельность зависит от поставленной цели урока и темы. Если это объяснение нового материала, то группы формируются из учащихся с разными учебными способностями. Если же это обобщающий урок, то группы создаются учителем таким образом, чтобы в них были объединены сильные, средние и слабые учащиеся для совместной деятельности. Работа в группах строится разнообразно: совместная работа всей группы, работа в парах, индивидуальная работа. Задания к уроку подбираются таким образом, чтобы они были интересны всем, под силу каждому из данных учащихся. При выполнении домашнего задания можно создавать творческие группы.

1. Практические занятия. Групповая форма работы по выполнению общей познавательной задачи, учебного задания, в решении которых заинтересованы все члены группы.
2. Семинары. Форма работы – коллективная, при которой коллектив обучает каждого своего члена и в то же время каждый член коллектива принимает активное участие в обучен6ии всех других его членов.
3. Лабораторно-практические занятия. Форма проведения включает в работу все группы детей. Выполняя задания по построению тех или иных геометрических фигур, ребята учатся работать с чертёжным инструментом, опытным путём устанавливать свойства простейших фигур, формулируя их в виде некоторых суждений.

Пример 1.

Тема. Функция у = ах2 её график и свойства.

Цель: познакомить учащихся с функцией у = ах2 её графиком и свойствами, вырабатывать умение строить график квадратичной функции.

Ход урока.

Класс разделён на две группы Х и У. учитель сообщает, что сегодня будем строить график функции у = ах2, где а = 0. График этой функции называется параболой, а может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

1. Группа Х строит график функции у = -2х2, группа У стоит график функции у = 2х2.

1. Каждая группа составляет таблицу значений х и у

2. По точкам строят график.
3. После того, как большая часть учеников закончили построение, учитель изображает графики на доске, чтобы учащиеся проверили свои построения.

2. Каждая группа исследует свой график по плану:

1. Область определения функции.
2. Область значений функции.
3. Значения х, при у = 0.
4. Оси симметрии графика.
5. Промежутки, на которых большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Затем представители каждой группы рассказывают о результатах своего исследования, при этом выясняется, какие свойства исследуемых функций совпадают и в чём их отличие.

1. Требуется привести пример функции, которая была бы отлична от функции у = ах2,т.е. задана другой формулой, но обладала бы с ней такими общими свойствами:

1. график её симметричен относительно оси у;
2. при х = 0, у = 0;
3. при а • 0 у ≥ 0, а • 0 у ≤ 0.

4. Каждой группе надо построить схематично графики функций в одной и той же системе координат.

Группа Х: а) у = -1/2х; б) у = -х2;

Группа У: а) у = 1/2х; б) у = х2;

1. Выясняется  зависимость расположения графика функции у = ах2 от значения а.

5. Построить графики функций.

Группа Х: у = -2х2,если х принимает лишь значения 0; -1; -1/2; 2.

Группа У: у = 2х2, если х принимает лишь значения 0; -1; -1/2; 2.

2. Выясняется, что построенные графики представляют собой часть графиков          у = 2х2,  у = -2х2.

1. Итог урока. Учитель ещё раз перечисляет свойства функций         у = ах2 при а • 0, а • 0.
2. Домашнее задание. Построить графики функций и записать их свойства:

Группа Х: а) у = -1/3х; б) у = -3х2;

Группа У: а) у = 1/3х; б) у =3 х2.

На этом уроке ребята учатся самостоятельно исследовать некоторую ситуацию, слушать товарищей, анализировать их точку зрения на решение аналогичной проблемы, сравнивать полученные результаты. Формируется умение работать в коллективе.

Пример 2.

Тема. Формулы сокращённого умножения.

Цель: познакомить учащихся с формулами сокращённого умножения (а ± в)2 и показать, как применять данные формулы к преобразованию выражений.

Для этой работы учащиеся объединяются в группы. Всего групп пять, в них входят ребята с разными учебными способностями.

Каждая группа имеет номер от 1 до 5.

1. Каждой группе предлагается заполнить на доске одну из семи строк таблицы (перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке).

Номер задания соответствует номеру группы.

После того, как справились с заданиями, старший из группы выходит к доске и в правом столбце записывает ответ и т.д.

2. Каждая группа выясняет, есть ли общее в условиях и в ответах предложенных упражнений и можно ли выражение в левом столбце записать короче?

После полученного ответа снимает экран в центре, и получают возведение в квадрат суммы двух выражений.

3. Группы переходят к обсуждению полученных результатов (3 столбика):

1. Результат – трёхчлен.
2. Первый член – квадрат первого слагаемого.
3. Второй – удвоенное произведение.
4. Третий – квадрат второго слагаемого.

Такой анализ проговаривается вслух каждой группой.

4. Учащиеся без труда записывают общую формулу                            ( а + b )2 = а2 + 2аb +b2.

5. Исследование продолжается и выясняют,  изменится ли результат, если будем возводить в квадрат не ( а + b ), а двучлен         ( а - b ). И как может измениться выражение  а2 + 2аb +b2?

6. Каждая группа выполняет задание соответствующее своему номеру. И выясняет, что новые произведения отличаются лишь знаком перед удвоенным произведением.

После чего записывают новую формулу ( а - b )2 = а2 - 2аb +b2.

3. Группы работают самостоятельно. Каждая из них получает программированное задание в виде таблицы.

После заполнения старшие из группы заполняют таблицу ответов. Если ответ неверный можно предложить найти ошибку и исправить её.

Пример 3.

Обобщающий урок по теме: «Линейная функция и её график».

Вид урока: исследовательская работа, цель которой – выяснение взаимного расположения графиков линейных функций в зависимости от значений углового коэффициента k и свободного члена b.

Форма проведения урока может быть как коллективная, так и грпповая или индивидуальная, что позволяет дифференцировать урок.

На доске учащимся предлагается план данной работы.

Учащиеся для каждого случая выбирают свои значения углового коэффициента и свободного члена и строят графики получившихся функций. После этого необходимо сделать вывод о расположении графиков линейных функций в зависимости от числовых значений      k и b.

Вывод 1.

1. Если k > 0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси Ох, острый
2. Если k < 0, то угол наклона, образованный графиком линейной функции с положительным направлением оси Ох, тупой.
3. Если k = 0, то график линейной функции расположен параллельно оси Ох.

Вывод 2.

Если угловые коэффициенты линейных функций равны, то их графики расположены параллельно.

Вывод 3.

Если угловые коэффициенты линейных функций не равны, то их графики пересекаются.

Домашнее задание.

1. Функции заданы формулами: у = -1,5 + 6; у = 0,5х – 6; у = 0,5х; у = 3 + 1,5х.

Выделите те из них, графики которых

1. Параллельны графику функции у = 0,5 + 10;
2. Пересекают график функции у = -1,5х.

2. Задайте формулами две линейные функции, графики которых:

1. Параллельные прямые;
2. Пересекающиеся прямые.

Формирование общеучебных умений и навыков

на первых уроках геометрии в 7 классе.

Успех в решении задачи во многом определяется умением извлекать информацию из её условия и требования, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, выполнять преобразования содержания задачи с учётом наглядности, выводить следствия. Поэтому формирование этих умений и навыков должно быть особой заботой учителя математики. При выполнении упражнений 1-5 перечисленные умения ещё не являются предметом специального формирования, однако, выполняя такие упражнения. Учащиеся приобретают первые навыки в овладении этими умениями.

1. Даны прямая m и три точки A, B, C не принадлежащие этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую m. При каком условии пересекает данную прямую отрезок ВС?
2. Что нужно знать, чтобы утверждать, что концы отрезка АВ принадлежат разным полуплоскостям, на которые разбивает плоскость прямая а?
3. На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками А и В?
4. Точки А, В, С принадлежат одной прямой. При каком условии точка С лежит между точками А и В?
5. Даны углы ∠(ав) и ∠(ас). При каком условии луч с проходит между сторонами угла ∠(ав)?

Эти упражнения даются учащимся при изучении соответствующих фактов. Например, упражнение 3 – при изучении основных свойств откладывания отрезков. Этап анализа содержания задачи включает выяснение условия, заключения, выполнение рисунка.

Фрагмент урока.

Учитель. Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче АВ. Что можно сказать о расположении точек А, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик. Либо точка С лежит между точками А и В, либо точка В лежит между А и С.

Учитель. А что нам надо установить?

Ученик. Надо найти такое условие, которое вместе с данным позволило сделать вывод: точка С лежит между точками А и В.

Учитель. Что ещё нужно знать, чтобы утверждать, что точка С лежит между А и В?

Ученик. Отрезок АС меньше отрезка АВ.

Учитель. Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученик. АС • АВ.

Упражнения 6 – 14 ориентированы на овладение учащимися действием выведения следствий из данных условий. Суть его заключается в выделении утверждений, являющихся следствием данных. Овладение этим приёмом обусловливает видение различных связей между объектами, данными в условии.

1. Точка Х принадлежит отрезку АВ и не совпадает ни с точкой А, ни с точкой В. что следует из этого?
2. Составьте задачу, имеющую условием следующие данные: из вершины развёрнутого угла проведены в одной полуплоскости лучи в и с.  ∠(ав) = 40о,  ∠(ас) = 50о.
3. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30о. что следует из этого?
4. Известно, что сумма двух вертикальных углов равна 180о. Что следует из этого?
5. Известно, что из смежных углов тупой. Что следует из этого?

По мере продвижения учащихся в изучении геометрии выбор задач должен быть таким, чтобы число сформированных следствий могло возрастать.

1. Треугольники АВС и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Что отсюда следует?
2. Известно, что треугольники АВС и  А1 В1 С1  равны, АВ = ВС,  ∠А = 40о. Что следует из этого?
3. В равнобедренном треугольнике АВС на основании ВС отмечены точки M и N так, что ВМ = CN. Что следует из этого?
4. Известно, что два внешних угла треугольника равны 120о и 150о. Что следует из этого условия? Что можно сказать о внутренних и третьем внешнем углах треугольника?

При выполнении упражнений этой группы внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчёркивается в требовании задачи. Рассмотрим это на упражнении 6.

Из условия упражнения и определения отрезка следует:

1. Точка Х лежит между точками А и В (определение отрезка);
2. АХ + ХВ = АВ ( свойство измерения отрезков);
3. АХ • АВ, ВХ • АВ ( свойство величин).

В процессе поиска решения задачи часто приходится самостоятельно формулировать промежуточную задачу. В данных упражнениях предлагается учащимся к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать вопрос и решить полученную задачу.

1. Даны три точки. Сформулируйте требование и решите полученную задачу. Предполагаемые требования:                    1) Определяют ли эти точки две различные прямые?                2) Определяют ли эти точки три различные прямые? 3) Какое наибольшее число прямых, определяемых этими точками?
2. Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, АС = 12 см. предполагаемые вопросы: 1) Принадлежат ли точки А, В и С одной прямой? 2) Лежит ли точка В между точками А и С? 3) Лежит ли точка А между точками В и С?
3. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50о. Предполагаемые требования: 1) Найдите эти углы. 2) Найдите сумму двух других углов. 3) Найдите все углы.
4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ, на ней взята точка К. Предполагаемые вопросы: 1) Докажите, что треугольники АВК и СВК равны.   2) Докажите, что треугольники АКМ и СКМ равны.                  3) Докажите, что АК = КС и т.д.

Особое внимание учитель должен уделить формированию умений и навыков на первых уроках геометрии, потому что вводный геометрический материал является хорошим полигоном для этого. К тому же, приобщение школьников к открытию теорем, способов их доказательства,  поиску методов решения задачи, т.е. к активной учебной деятельности, невозможно без овладения ими перечисленными действиями.

Развитие умений и навыков на уроках алгебры.

Общеизвестно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе. Путь тренировки без достаточного понимания изучаемого редко приводит к прочным умениям и навыкам. Поэтому формированию навыков учащихся должно предшествовать понимание ими сути изучаемого действия. Следовательно, прежде всего толкового объяснения учителем этой сути.

1. В учебнике показываются разные приёмы выполнения одного и того же действия, но ученик имеет право выбрать тот из них, который ему понятнее и удобнее. По мере приобретения навыков вычисления можно упростить.                                                     Пример1.  Найдите значение разности чисел: 92/7  и  35/7. 

1 способ. 92/7  - 35/7 = 92/7  - 3 - 5/7 = 62/7  - 5/7 = 5 + 2/7  + 7/7 -  5/7 =              =59/7 - 5/7 =  5 4/7.

2 способ. 92/7  - 35/7 = 62/7  - 2/7  - 3/7 = 6 - 3/7 = 5 4/7.

3 способ. 92/7  - 35/7 = 62/7  - 5/7 =6 - 5/7 + 2/7 = 52/7 + 2/7 =5 4/7.

Пример 2. Найдите частное чисел 0,05 и 0,3.

1 способ. 0,05 : 0,3 = 5/100 : 3/10 = 5/100 ⋅ 10/3 = 5/30 = 1/6.

2 способ. 0,05 : 0,3 = 0,05/0,3 = 0,05 ⋅ 100/0,3 ⋅ 100 = 5/30 = 1/6.

  Пример 3. Найдите значение  выражения: 1,4⋅ 0,2/2,1 .

    Решение: 1,4⋅ 0,2/2,1 = 1,4⋅ 10 ⋅ 0,2 ⋅10/2,1 ⋅ 100 = 14 ⋅ 2/21 ⋅ 10 = 2/15.

      Пример 4. Найдите частное чисел -31/2 и -51/4.

     1 способ. -31/2 ⋅ (-51/4) = 7/2 : 21/4 = 7/2 : 4/21  = 7 ⋅ 4/2 ⋅ 21 = 2/3.

1. Учащиеся научились делить смешанные числа. Но процесс формирования навыка не ограничивается овладением умения. Второй этап – автоматизация умения. Это происходит путём исключения некоторых промежуточных операций.

2 способ.   -31/2 ⋅ (-51/4) = 7 ⋅ 4/2 ⋅ 21 = 2/3.

2. Для развития навыка недостаточно отдельных упражнений, необходима тщательно продуманная их система, в которой должна соблюдаться последовательность упражнений с постепенным их усложнением.

Так в систему упражнений «Вынесение общего множителя за скобки» полезно ввести такие упражнения:

1. Запишите вместо многоточия недостающий множитель:        а) ас2 + 4а3с2 – а2с = ас ( … ) ;    

б) m2n3 + 12m3n3p + 1,5m3n2p3 = 0,5m2n2  ( … ) ;

в) 32p3q2 – 16p2q3 + 0,8pq2r = … ( 40p2 – 20pq + r ).

2. Разложите на множители так, чтобы перед скобками был множителем одночлен с отрицательным коэффициентом:     а) -4x3y + 6x2y2 – 8x4y3;                                                                                                                

б) 10a4b3 – 14a4b2 + 20a3b4.

3. Разложите на множители так, чтобы многочлен в скобках имел целые коэффициенты:                                                       а) 0,3xy2 + 1,8x2y – 0,5xy;                                                                                

б) 3/2 а2 + 5/7ах.                                    

1. Не последнюю роль в развитии математических умений и навыков играет требование рационального выполнения вычислений и преобразований. В это требование включается как выбор и осуществление рационального пути выполнения упражнений и решения задач, так и их рациональная запись.

Пример 1. Выполните деление: 6,72 : 3/5.

1 способ: 6,72 : 3/5 = 672/100 : 3/5 = 618/25 : 3/5 = 168/25 : 3/5 = 168 ⋅ 5/25⋅ 3 =            = 56/5 = 111/5.

2 способ:  6,72 : 3/5 = 6,72 : 0,6 = 11,2.

Пример 2. Решите неравенство:

х – х – 3/5 + 2х - 1 / 10 • 4.

1 способ: х – х – 3/5 + 2х - 1 / 10 • 4

10х – 2(х – 3) +2х – 1/10 • 4

10х – 2(х – 3) + 2х – 1 • 40

10х – 2х + 6 + 2х – 1 • 40

10х + 5 • 40

10х • 35

х • 3,5

Ответ: ( -    ; 3,5)

2 способ:   х – х – 3/5 + 2х - 1 / 10 • 4.

х – х/5 + 3/5 + х/5 – 1/10 • 4

х + 0,5 • 4

х • 3,5

Ответ: ( -    ; 3,5)

1. Нередко к рациональным решениям приводит применение законов арифметических действий в нестандартных случаях, особенно при преобразовании с рациональными дробями. Так, при выполнении упражнения: упростите выражение (ху + у/5х – 5ху + ху + у2) ⋅ 5х/х +у –  - - у/х –у вынесение за скобки ( х + у) значительно упрощает выкладки:

( у/5х(х – у) +у) ⋅ 5х( х+у)/х + у – у/х – у = (у + 5ху(х – у)5х/5х(х – у) - у/х – у =                      = у + 5ху(х – у) – у/х – у = 5ху.

Итак, большая часть математических навыков – это сложные навыки, формирующиеся на основе других умений и навыков. Поэтому отсутствие какого-либо из элементарных умений и навыков служит причиной несформированности сложного навыка.