Подготовка к ЕГЭ по математике. Логарифмы. Методы решения уравнений и неравенств.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Подготовка к ЕГЭ ЛОГАРИФМЫ РАЗРАБОТКА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ГОУ СОШ №618 Макаровой Татьяны Павловны © Материал подготовила: Макарова Т.П., учитель школы №618

Слайд 2

Свойства функции у = log a х , a > 1: D(f) = (0; + ∞ ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на (0; + ∞ ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ∞ ;+ ∞ ); выпукла вверх; дифференцируема.

Слайд 3

у х 0 1 2 3 4 5 6 7 у х 0 1 2 3 4 5 6 7 У= log 2 х У= log 0,5 х х 1/2 1 2 4 8 у х 1/2 1 2 4 8 у -1 0 1 2 3 1 0 -1 -2 -3 y = log 2 x y=log 0,5 x

Слайд 4

Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими? y = log 2 x y = log 0,5 (2 x + 5) y = lg (x) 1/2 y = ln(x + 2 ) 2 > 1 возрастающая 0 < 0,5 < 1 убывающая 10 > 1 возрастающая e > 1 возрастающая

Слайд 5

Свойства логарифмов ( a > 0, a ≠ 1)

Слайд 6

«ХИТРОСТИ» свойств логарифмов:

Слайд 7

Преобразование логарифмических выражений Сравнить числа log 13 150 и log 17 290. Решение. Так как log 13 150 < log 13 169 log 13 1 69 = log 13 1 3 2 =2, т.е. log 13 150 <2. log 17 290 > log 17 2 89= log 17 17 2 =2, т.е. log 17 290 > 2, то log 13 150 < log 17 290.

Слайд 8

Преобразование логарифмических выражений Сравнить числа Решение. Так как И 15+

Слайд 9

Преобразование логарифмических выражений Доказать, что

Слайд 11

Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма . Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a f(x) = b , г де а > 0 , а ≠ 1, равносильное уравнению f(x) = a b .

Слайд 12

Уравнение вида log x A=B,A>0 при А ≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А 1/В ; при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число; при А=1 и В≠0 корней нет; при А≠1 и В=0 корней нет.

Слайд 14

Уравнение вида log a f(x)=log a g(x), a>0, a ≠1 1 способ. 2 способ.

Слайд 15

Тренинг

Слайд 16

Уравнения вида log g(x) f(x)=b равносильны смешанной системе Логарифмы с переменным основанием

Слайд 17

Тренинг

Слайд 18

Уравнения вида log f(x) g(x )=log f(x) h(x) или

Слайд 19

Тренировочные упражнения

Слайд 20

Уравнения вида log g(x) f(x )=log p(x) f(x) или

Слайд 21

Тренинг

Слайд 22

Уравнения вида a >0, a ≠1, n€N Пример .

Слайд 23

Методы решения логарифмических уравнений

Слайд 24

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма log 2 (5 – x ) = 3. По определению логарифма 5 – х = 2 3 , откуда х = –3. х = –3 – корень уравнения. Ответ: х = –3.

Слайд 25

2. Решение уравнений с помощью потенцирования log 3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) = 1. Потенцируя, имеем: log 3 ( x + 1)( x + 3) = 1. Учитывая область определения получаем систему: или Откуда х 1 = 0, х 2 = – 4. Так как х > –1 , то корень х 2 = – 4 – посторонний. Ответ: х = 0

Слайд 26

3.Применение основного логарифмического тождества log 2 (9 – 2 x ) =10 lg(3 – x ) Область определения уравнения откуда х < 3. Применив в правой части уравнения основное логарифмическое тождество, получим: log 2 (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х 1 = 0; 2 х = 8, х 2 = 3. Так как x < 3 , то х 2 = 3 – посторонний корень. Ответ: х = 0.

Слайд 27

4. Логарифмирование Область определения уравнения задается условиями х > 0 , х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его: (10 lg x ) lg x + x lg x = 20, x lg x + x lg x = 20, x lg x = 10 или lg x lg x = lg10, lg 2 x = 1, lg x = ±1, значит lg x = 1, x 1 = 10; lg x = –1, x 2 = 0,1. Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0, x ≠ 1. Ответ: x 1 = 10 , x 2 = 0,1.

Слайд 28

Замена переменных в уравнениях Две основные идеи решения логарифмических уравнений: приведение уравнения к виду с последующим потенцированием; замена неизвестных вида с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Слайд 29

5. Замена переменной Так как – х > 0 , т.е. х < 0 и , то данное уравнение можно записать в виде . Пусть тогда получаем t = t 2 , t ( t – 1) = 0, откуда t 1 = 0, t 2 =1. Значит lg(– x ) = 0, x 1 = – 1; lg( – x ) =1, x 2 = –10. Ответ: x 1 = – 1 , x 2 = –10.

Слайд 30

Тренировочные упражнения Ответ: 2;16 Ответ: 9;1/3 Ответ:0,125; 2 Ответ: 1/3; 3 Ответ: 2; 16

Слайд 31

6. Переход к другому основанию Запишем уравнение в виде Далее имеем Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3, получим: откуда Ответ:

Слайд 32

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ И СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Слайд 33

Сведение к рациональным неравенствам Тренинг

Слайд 34

Метод интервалов и систем Тренинг

Слайд 35

Неравенства вида log h(x) f(x)

Слайд 36

Частный случай при b=0 b=1 b=2

Слайд 37

Решите неравенство

Слайд 38

Тренинг

Слайд 39

Неравенство log h ( x ) f ( x ) > log h ( x ) g ( x ) равносильно совокупности систем неравенств

Слайд 40

Решить неравенства log 3 ( x 2 - x ) ≥ log 3 ( x + 8);

Слайд 41

Смешанные задачи с логарифмами Модули и возведение в квадрат Логарифмы и корни