Повторение. Логарифмические уравнения, выражения.
методическая разработка (алгебра, 11 класс) по теме

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ОТКРЫТОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Факультет повышения квалификации

 педагогических кадров

КУРСОВАЯ РАБОТА

слушателя факультета повышения квалификации

 педагогических кадров отделения «Математика»

Группа МА -3

Киселёва Наталия Константиновна

Тема: «Итоговое повторение по теме «Логарифмические выражения , уравнения , неравенства» »

Заведующий кафедрой математики

к.ф.-м.н.  Ященко Иван Валериевич

«_______»__________200__г.

____________________________

г. Москва – 2009г.

Содержание

1. Общие сведения                                                                3

2.Справочные материалы                                                        3

3. Дидактические материалы

        3.1Логарифмические выражения                                        6

        3.2Логарифмические уравнения                                        9

        3.3Логарифмические неравенства                                        12

4.Задания высокого уровня сложности                                        15

5. Литература                                                                        17

1. Общие сведения.

Задания  по теме «Логарифмы » занимают постоянное место в экзаменационных  работах за курс полного общего образования . Так было при проведении экзамена в классической форме , такое же положение сохраняется и при проведении экзамена в форме ЕГЭ . В части 1 могут находиться задания на преобразование логарифмических выражений с помощью основного логарифмического тождества и основных свойств логарифмов . Часть 2 может содержать простые логарифмические уравнения, неравенства, ещё могут присутствовать задания на упрощение логарифмических выражений с использованием формул перехода к новому основанию . В части 3 некоторые из  перечисленных заданий могут встречаться как один из этапов решения комбинированного задания . В части 1 демоверсии этого года ещё участвует задание с графиком логарифмической функции . Таким образом, с темой «Логарифмы» связано  около 20% всего объёма материалов экзаменационной работы в 11 классе . А значит и на итоговое повторение этого материала необходимо отвести достаточное количество времени .

2.Справочные материалы

Определение.                                                                                             Пусть а>0 ,b >0 , а≠1 . Тогда logab есть такое число с , что ас = b.

Основное логарифмическое тождество :

.

Свойства логарифмов :    

loga1=0 , a>0,  a≠1

 logaa = 1 , a>0,  a≠1

loga(bc) = logab + logac ,  a,b,c >0, a≠1

loga   = logab + logac ,  a,b,c >0, a≠1

loga(bx) = xlogab , a,b >0, a≠1

b = logab ,  a,b >0, a≠1, x≠1

loga   = - logab,  a,b >0, a≠1

Формулы перехода к новому основанию :

logab = ,  a,b,c > 0,  a≠1,  c≠1

logab = ,  a,b > 0,  a≠1,  b≠1

Пример1.   Вычислить  

Решение :  =  = 12

Пример2. Вычислить log636 + log232

Решение : log636 + log232 = 2 + 5 = 7

Пример3. Вычислить log354 – log32

Решение : log354 – log32 = log3  = log3 27 = 3

Пример4. Вычислить lg 2a + lg 5b , если lg (ab) = 3

Решение : lg 2a + lg 5b = lg (2a∙5b) = lg (10ab) = lg 10 + lg (ab) = 1 + 3 =4.

Логарифмические уравнения в части 1 решаются просто по определению логарифма . В конце обязательно нужна проверка полученных корней , т. к. под знаком логарифма должно стоять положительное число.  

Пример 5.                                 log4x = 3

x = 43

x = 64

Пример 6 .                            log4 ( 7 – x ) = 3

7 – x = 43

7 – x = 64

x = - 57

Часть 2 требует применения уже известных формул для преобразования логарифмических выражений , чтобы привести уравнение к простейшему виду и применить определение логарифма .

Пример 7.     lg x + 2lg2 = 0,5 lg 49 – lg 5

lg x + lg22 =  lg 490,5 – lg 5

lg x =  lg 7 – lg 5 – lg 4

lg x =  lg

x =

x = 0,35

Решение логарифмических неравенств всегда сводится к решению системы , т. к. под знаком логарифма всегда должно стоять положительное число . При переходе от логарифмического неравенства важно помнить , что знак неравенства меняется , если основание логарифма а меньше единицы :

х < ab , если 0<а<1                                                       x>ab , если а>1            

Пример 8.     log2 ( 1 – 2x ) < 0

Ответ :  ( 0 ; 0,5 )

Логарифмические выражения с переменной в основании логарифма в частях 1 и 2  КИМов  практически не встречаются  .

3. Дидактические материалы

Дальше в работе предлагаются несколько комплектов заданий , которые можно использовать и в качестве тренингов и в качестве проверочных работ на уроках данной темы.

3.1.Логарифмические выражения

Тест №1.

А1.  Вычислите : ()3

1)8                2) 5                3)125                4) 512

А2.  Вычислите :

1)6                2) -2                3) -23                4) 5                

А3. Вычислите :

1)4                2) -3                3)2                4)

А4. Вычислите :  

1)25                2) 5                3)3                4) 27

А5. Вычислите :  

1)16                2) 2                3) 3                4)  4

А6. Вычислите :  

1)0,5                2) 2                3)  -2                4) – 0,5

Вычислите (№7- 11):  

В7.

В8.

В9.

В10.

Ответы к Тесту № 1 - в конце раздела:

Тест №2

А1. Вычислите :  

1)2,5                2) 4                3) 4,5                4) 6

А2. Вычислите :  

1)2,5                2)  -5,5                3)  -6                4)  79,5

А3. Вычислите :  

1)115                2)  -30                3) -13                4)  -7

А4. Вычислите :   5

1)56                 2) 65                 3)6                4) 30

А5. Вычислите :  

1)5                2)                  3) 20                4) 80

А6. Вычислите :  

1) -16                2) -3                3)                    4) 3

Вычислите (№7- 11):  

В7.

В8.

В9.

В10.

Tест №3

Упростите :

1. -

2. (

3.  ( lg 72 – lg 9 ) : ( lg 28 – lg 7 )

4.

5.  

Вычислите :

6.  

7.  

8.

9. 5∙

Тест № 4.

Вычислите :

1.

2. 13)

3.  4

4. 0,5 -  

5.  

6.

7.

8.

9. 15∙

Ответы к Тесту № 1:

Ответы к Тесту №2 :

Ответы к Тесту № 3 :

Ответы к Тесту № 4 :

3.2. Логарифмические уравнения

Тест № 5

Решите уравнение:

1.   

2.  3∙

3.  5∙

Назовите наибольший корень уравнения:

4.   

5.   

Решите уравнение:

6.   

7.   

8.   

9.   

Тест № 6

Назовите сумму корней уравнения:

1.   

Решите уравнение:

2.   

3.  

4.

5.  

6.  

Назовите наименьший корень  уравнения:

7.  

Тест № 7

Решите уравнение:

1.      

2.      

Найдите произведение корней уравнения :

3.  

Решите уравнение:

4.   

5.   

6. 

Найдите произведение корней уравнения :

7.  

Тест № 8

Найдите сумму корней уравнения:

1.

2.  

3.  

4.

5.

6. lg ( x + 3 ) = - lg ( 2x + 5 )

Ответы к Тесту № 5 :

Ответы к Тесту № 6 :

Ответы к Тесту № 7 :

Ответы к Тесту № 8 :

3.3.Логарифмические неравенства

Тест № 9

A1. Укажите область определения функции у =

1) ( -∞; 5 ]                2) [5;+ ∞)                3) (0; 5]                 4) (0;0,2]

A2. Решите неравенство    

1) ( -17;+ ∞)        2) (-19;-17)                3) (-19;+ ∞)                4) (-∞;-17)

A3. Решите неравенство    

1) ( 9;+ ∞)                2) (9;12)                3) (12;+ ∞)                4) (-∞;12)

A4. Решите неравенство    

1) ( -∞;-24]                2) (-∞;8)                3) [-24;8)                4) [-24;+∞)

A5. Решите неравенство    

1) ( 2;+ ∞)                2) (2;3)                3) (-∞;3)                4) (3;+∞)

A6. Решите неравенство    

1) ( ;+ ∞)        2) (-∞;                3) (-1,5;         4) нет решений

А7. Найдите число целых отрицательных решений неравенства

lg(x+5) ≤ 2 – lg 2

1) 5                2) 4                 3) 10                 4) ни одного

А8 . Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства

1) 3                2) 0                 3) 1                 4) 4

Тест №10

Сколько целых решений имеет неравенство на [ -1; 4 ]:

1.

2.

3.  Найдите наибольшее целое решение  неравенства

Сколько натуральных решений имеет неравенство на [ 1; 6 ]:

4.              

5.        

6.       

Тест № 11

Сколько натуральных решений имеет неравенство на [ 1; 6 ]:

1.

2.

3. 

4.

5.

6.

Тест № 12

Сколько целых решений имеет неравенство на ( -5; 7)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ответы к Тесту № 9 :

Ответы к Тесту № 10 :

Ответы к Тесту № 11 :

Ответы к Тесту № 12 :

4.Задания высокого уровня сложности

1. Решить уравнение    

Решение:

х+3 =2х +5

х =   -2

Проверяем подстановкой в исходное уравнение , получаем верное числовое равенство.

Ответ : -2

2. Решите уравнение

Решение :

1) Чтобы выражение имело смысл , должны выполняться условия:

2)    

34-33х = (4-3х)2   

9х2 + 9х - 18 = 0

х2 + х - 2 = 0

х1= -2  , х2 = 1

3) Проверяем корни подстановкой в систему (А) . Корень  х2 = 1не подходит .

Ответ : -2

3. Найдите значение функции  в точке максимума :

f(x) =

Решение:

1) D(f ) :

2)

3) Тогда на D(f ) выполняется

f(x) = =

4) Исследуем полученную функцию g(x) с помощью производной.

 ,  

-4x(

х1= 0  , х2 = 1, х3= - 4                

                                                      +            -          +         -  

                                                 -4         0          1

Для функции g(x)  получили xmax= - 4  и  xmax= 1   .

5) Но xmax= - 4  не удовлетворяет D(f ) . Значит для функции f(x) существует единственный xmax= 1 .

6) Вычислим f(1) =  g(1) = 8 - 4 -1 = 3 .

Ответ : 3

Литература .

1. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы/ И.Р. Высоцкий , Л.И. Звавич, Б.П. Пигарев и др.; Под ред. С.А. Шестакова.- М.: Внешсигма-М, 2003.

2. Единый государственный экзамен 2008. Математика . Учебное –тренировочные материалыдля подготовки учащихся /ДенищеваЛ.О. и др . - ФИПИ-М.: Интеллект-Центр, 2007.

3.Математика . ЕГЭ шаг за шагом . ЕГЭ- 2009: учебно-методическое пособие/ Мальцев Д.А. , Мальцев А.А. , Клово А.Г. - Ростов н/Д : Издатель Мальцев Д.А.; - М.: НИИ школьных технологий, 2008.

4.Математика – абитуриенту. В.В. Ткачук.  - 9-е издание., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО , 2002.

5. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы. 11 класс/ Г.В. Дорофеев , Г.К. Муравин , Е.А. Седова . – 5-е изд.- М.: Дрофа , 2002.