Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Урок алгебры в 9 классе

по теме « Формула суммы n- первых членов геометрической прогрессии».

Тип урока : изучение нового материала.

Форма: комбинированный.

Цели урока:

*Вывести формулу суммы n – первых членов геометрической прогрессии;

*способствовать формированию  логического мышления, умений выдвигать предположения и находить решение в стандартных ситуациях;

* развивать речь , умственную деятельность, интерес к изучаемому предмету;

* воспитание потребности личности.

Оборудование: шахматная доска с фигурами.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания (сверка ответов)

III. Актуализация прежних знаний

Устно. 1. Упростите выражение: а)__2³·2²   .                            

                                                           2־²·(2³)³

б) хⁿ־¹ .

      хⁿ

2.Найдите 8-ой член геометрической прогрессии (bn), если b1=3 и q=2.

3. Последовательность (bn)- геометрическая прогрессия. Найдите первый член геометрической прогрессии, если b8=0,256 и q=2.

4. Последовательность (bn)- геометрическая прогрессия. Выразите b12 , через b7  и q.

IV. Формирование новых понятий.

Мотивация .

Игровая ситуация. Задача.

         Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100000р. А ты мне в первый день за 100000р. дашь 1к.,  во второй день за 100000р. – 2к. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».

         Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал , что за 30 дней он получит от незнакомца 3000000 р. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Проблемная ситуация.

Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

В тетрадях учащиеся составляют последовательность: 1;2;4;8;16;32;…

Убеждаются, что эти числа составляют геометрическую прогрессию со знаменателем  q=2, первым членом b1=1 и количеством членов n =30.

Учащиеся пытаются найти их сумму, но видя , что это трудоемкая работа обращаются к учителю.

Учитель говорит , что существует формула для нахождения суммы n- первых членов геометрической прогрессии, и рассказывает историю о награде изобретателя шахматной игры: « Это произошло давным –давно. Индийский властелин Схерам ,был очень плохом правителем. Весь народ жил очень бедно. Один мудрец, желая заставить владыку задуматься над  причинами беды, постигшей страну, придумал игру, в которой властелин – самая важна фигура – ничего не может сделать без других фигур, принимающих участие в игре и символизирующих его подданных, - военачальников и солдат.

Схерам был восхищен новой игрой и пообещал мудрецу отблагодарить его, наградив всем, что тот пожелает. Мудрец попросил дать ему зерна пшеницы: на первую клетку положить 1 зерно, на вторую – 2 зернышка, на третью -4,и т.д. Властелин согласился, радуясь, что так легко отделался, но оказалось, что это желание выполнить не возможно, так как для получения такого количества зерна необходимо засеять поверхность всей планеты восемь раз и восемь раз собрать урожай, длина же амбара для его  хранения составила бы расстояние, в 2 раза большее, чем от Земли до Солнца.»

Вывод формулы суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму  n- первых членов через Sn.:

Sn= b1+b2+b3+…+bn-1+bn.        (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

Sn q= b1 q+b2 q+b3 q+…+bn-1 q+bn q.

Учитывая, что

b1 q = b2,    b2 q=  b3,    b3 q= b4, ..., bn-1 q=bn , получим:

Snq= b2+b3+…+bn+bnq.     (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенства (1) и приведем подобные члены получим:

Sn(q–1)= bnq– b1.

Отсюда следует,  что при q не равно 1

     Sn= (bnq– b1)/ (q–1).       (I)                                       Мы получили формулу суммы n- первых членов          геометрической прогрессии, в которой q не равно 1.

При решении многих задач удобнее пользоваться другой формулой суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

     Sn= b1(qⁿ– 1)/ (q–1), если    q не равно 1.  (II)

V. Формирование умений и навыков  

1)Решим первую задачу.        Используя  формулу   Sn= b1(qⁿ– 1)/ (q–1), подставив данные получим             S30=1(2³º–1)/(2–1),            S30=1073741823 к= 10737418, 23 руб.

10737418, 23 руб.> 3000000 руб. Ответ: купец проиграл.

2. Решаем № 408 (а), № 409(а, в),
3.  № 412 (а).

VI. Подведение итогов урока

Рефлексия. Чему вы научились на этом уроке?

Что нужно знать , чтобы найти сумму  n- первых членов геометрической прогрессии?

VII. Домашнее задание.

П.19 читать, выучить формулы суммы  n- первых членов геометрической прогрессии.

№ 410, 417—всем,

411(в) – дополнительно.

Литература

1. Алгебра 9 кл под редакцией С.А.Теляковского М «Просвещение»2007
2. И.С.Асташкина, О.А.Бубличенко  Дидактические материалы к урокам алгебры

в 8-9 классах. Ростов- на –Дону «Феникс»2003

3. М.Л Береславский 1000 вопросов шахматиста ООО «Издательство Астрель»2001