Модуль числа
презентация к уроку по алгебре (7 класс) по теме

Модуль числа

Цель:

изучение понятия модуля,

применение определения модуля при выполнении задач.

Задачи:

развивать умение применять теоретический материал при решении практических задач;

развивать интерес к математике через поиск примеров по данной теме;

расширить математический кругозор;

приобрести навыки исследовательской работы.

Считаю, что выбранная тема является актуальной:

Задачи, связанные с абсолютной величиной, часто встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах.

Понятие модуля широко применяется в различных разделах школьного курса математики.

Это понятие является одним из основных понятий элементарной математики. Осмысленное владение модулем позволяет воспринимать алгебру и геометрию, как единое целое. “Расстояние между точками” позволяет оценивать правильность найденных решений ряда уравнений, содержащих модуль, строить графики функций.

В ходе работы я использовала следующие методы:

Исследование литературы по теме.

Проведение поиска задач по теме.

Основная часть

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля).

Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой до начала отсчета.

В различных учебниках первоначальное понятие модуля вводится по-разному: как расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта (Математика. Н.Я. Виленкин), как длина вектора (Математика. П.М. Эрдниев), как число “без знака” (Математика. Г.В. Дорофеев) и др.

В архитектуре – это исходная единица измерения,  устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например, модуль зацепления, модуль упругости и т.п.

Понятие модуля

Модуль (modulus) в переводе с латинского языка означает “мера, размер”.

Модуль числа а обозначают | а |. Этот термин “модуль” ввёл в 1806 г. французский математик Жорж Аргон.

Геометрический смысл модуля

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5.

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6.

Пишут: |-6| = 6.

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули.

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета О, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков.

|0| = 0

Так как модуль числа – это расстояние, он никогда не будет отрицательным.

Изучая понятие модуля, я рассмотрела доказательство следующей теоремы:

Абсолютная величина действительного числа a ≠ 0 равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство:

Если число a положительно, то -a отрицательно, т.е. –a < 0 < a. Отсюда следует, что –a < a.

Например, число 5 положительно, тогда -5 – отрицательно и -5 < 0 < 5, отсюда -5 < 5.  

В этом случае |a| = a, т.е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и -a.

Если a отрицательно, тогда -a положительно и a < - a,  т.е.  большим числом является -a. По определению, в этом случае, |a| = -a - равно большему из двух чисел -a и a.

Для нахождения модуля числа можно использовать следующую блок-схему.

Отработка алгоритма. Допустим, необходимо найти модуль чисел -3 и 7.

В учебниках приводятся различные упражнения с использованием модуля числа. Вот некоторые из них:

Запишите число, противоположное данному: 4; -4; +3; -3; -6,3; 6,3.

2. Найдите модуль каждого из чисел: |- 6 |, | 9 |, | - 5 |, | 0 |, |0,8 |.

3. Найти расстояние от М(-7) и N(6) до начала отчета на координатной прямой.

При решении задач, содержащих модуль числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно.

Например: |x2 + y2| = x2 + y2, так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых х и у. Или |–z2 – 1| = z2 + 1, так как выражение под модулем отрицательно при любых z.

Уравнения, содержащие знак модуля, решаются следующими способами:

алгебраический,  

графический,  

последовательное раскрытие модулей,

метод интервалов.

Рассмотрим некоторые примеры решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

Решить уравнение: |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения:

x = 3 и x = -3.

Решить уравнение: |x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно 4. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: - 1 и 7.

Решить неравенство: |x + 7| < 4.

Можно прочитать как: расстояние от точки до точки меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Решить неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки х больше или равно семи.

Ответ: (-∞; 3]U [17, +∞)

Рассматривая модуль числа, я познакомилась с функцией y = |x|, графиком которой является ломаная линия, состоящая из двух лучей, являющихся биссектрисами I и II координатных четвертей.

Действительно,

Для x ≥ 0 имеем y = x.

Для x < 0 имеем y = -x.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы я:

повторила школьный материал по данной теме,

изучила решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля,

научилась строить график функции вида y = |x|,

Так как изучение модуля числа продолжается в старших классах, где рассматриваются свойства модуля, а также задачи различного уровня сложности, исследование данной темы будет продолжено. В следующем году я проведу исследование задач  различного уровня сложности, а также олимпиадные и экзаменационные задачи.