Лекция по математике. Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и определители.Занятие №3.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок №4.

Тема: Миноры, алгебраические дополнения. Обратная матрица.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие алгебраического дополнения, минора, обратной матрицы, методов её вычисления.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Миноры, алгебраические дополнения, обратная матрица».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

1.Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания.

3.Изучение нового материала.

Определение. Квадратная матрица  называется обратной к квадратной матрице  того же порядка, если , где - единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица  имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда  .

Утверждение. Элементы обратной матрицы  , если она существует, можно найти по формуле

                            или   ,

где - алгебраическое дополнение к элементу  матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Определение. Алгебраическим дополнение  элемента  называется число, равное .

Определение. Дополнительным минором элемента  матрицы  называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

                .

4. Закрепление знаний, решение типовых задач.

1.Найти матрицу обратную к , если .

Решение.  Прежде всего вычислим определитель матрицы , чтобы   убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для   существует обратная матрица.

Воспользуемся теперьформулой, выражающей элементы обратной матрцы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем  .                                

Вычислим последовательно элементы :

,  ,

,  ,

, ,

,  ,

С учётом полученного обратная к  матрица имеет вид

                                 .

2.Решить матричное уравнение

                    ,  где , .

Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы  отличен от нуля, удобно решать путём умножения обеих частей уравнения слева на матрицу . В этом случае для искомой матрицы получим

       и поскольку  , то .

Найдём теперь выражение для . Детерминант  матрицы  равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем

                .

Учитывая последнее, для  получим

.

5.Итог занятия. Рефлексия.

6.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Какая из матриц  является обратной к матрице , если , .

2.   При каких  существует , если

а);         б)   ;    в)   .

3.Найти матрицу, обратную к данной, если она существует

а)           б)           в).