Лекция по математике.Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и опрделители. Занятие №2.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок №2.

Тема: Определители квадратных матриц. Свойства определителей.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие определителя, методов его вычисления.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Семинар комбинированного типа

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Определители .Вычисление определителей».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

1.Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

Что же такое определитель, как его можно вычислить?

Обозначение:   (детерминант). Они существуют у квадратных матриц.

Определение 1. Определителем второго порядка  называется выражение

Определение 2. Определителем третьего порядка   называется выражение

Есть другие способы для нахождения определителя третьего порядка.

1.  =

где   - элементы определителя,

  - миноры элементов а1,  b1, c1

Минором Мij  какого – либо элемента аij  определителя  порядка n называется   определитель  порядка  n – 1,  полученный из  вычерчиванием  i– й строки и  j – го столбца.

2.  

Определитель III порядка можно найти по схеме:

+                                   -

                                  +     +    +

3.  =

                                     -     -     -

 Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.

Пусть задан определитель:

Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения, т. е.

Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

Эти теоремы облегчают вычисления определителя, когда среди элементов есть нули.

Пример: Найти определитель  

Решение:  Воспользуемся формулой (2) теоремы 1.

Проверим, найдём этот же определитель способом 3.

Определителем четвёртого порядка    называется

выражение   где  A1, B1, C1, D1  - алгебраические дополнения элементов  a1, b1, c1, d1.

4.Закрепление изученного материала. Решение задач.

1. Вычислить данный определитель  четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:    

 Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец.

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать  по второй строке:

2.  Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:

                                       .

Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов

второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диогонали:                 .

5.Итог занятия. Рефлексия.

6.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

Используя свойства определителей, вычислить следующие определители:

1.             2.            

3.

 4.                             

5.