Магический квадрат
материал по алгебре по теме

Магический квадрат. часть 1

Цели: познакомить учащихся со свойствами и историей магических квадратов; развивать умение заполнять магические квадраты, интерес к математике, коммуникативную и информационно-познавательную компетентности.

Подготовка к уроку: разделить класс на четыре команды; приготовить для каждой команды сигнальные карточки: красный, зеленый, синий, желтый; приготовить карточки для проведения раундов и таблицу для записи результатов.

Ход проведения занятия:
О магическом квадрате
Существует такое предание, согласно которому китайский император Ию, живший примерно четыре тысячи лет назад, однажды увидел на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире.
Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

Если сложить числа первой строки, получится 15. Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки.
При сложении чисел любого столбца тоже получается 15. Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям: 4 + 5 + 6 = 15, 8 + 5 + 2 = 15.
Символ, изображенный на рисунке, китайцы назвали «ло-шу» и считали магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством,  с тех пор называют магическими квадратами.
Магический квадрат – это квадрат , в котором расставлены числа таким образом, что сумма чисел по любой из горизонтали, вертикали или диагонали равна одному и тому же числу.
Магические квадраты почитались не только в Древнем Китае. Во времена средневековья в Европе свойства магических квадратов тоже считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед. Знаменитый магические квадрат изображен на гравюре великого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия».    

Раунд I 
На доске открывается магический квадрат и задание:
Впишите в пустые клетки квадрата такие числа, чтобы квадрат стал магическим:

Задание на скорость. На доске заполняет квадрат та команда, которая первая подняла сигнальную карточку.
За правильный ответ: 3 балла.

Магический квадрат. часть 2

Раунд II 
Каждой команде раздается шаблон магического квадрата и время на решение задания 3 минуты. По истечении времени на доске рассматриваются все четыре задания. Если какая-то из групп не справилась, то квадрат заполняется всеми учениками класса.

За правильно выполненное задание команда получает 5 баллов, за подсказку другой команде – 1 балл.
Как составить магический квадрат?
Как же составить магический квадрат, например, такой, как на рисунке, затрачивая минимальное время, если в квадрат не вписано ни одного числа?

Можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет – вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате.
Гораздо интереснее и быстрее составить такой магический квадрат с помощью рассуждений.
Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45 : 3 = 15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.
Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9.

Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец, диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).
Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.
Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они  должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2 + 5 + 8 = 15), а 4 и 6 – на другой. Продолжая рассуждения, можно построить магический квадрат, изображенный на рисунке.

Магический квадрат. часть 3

Раунд III 
Применяя предложенный способ, заполните квадрат числами: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3.
Данное задание на скорость, поэтому ответ показывает команда, выполнившая задание быстрее всех после поднятия сигнальной карточки. За правильный ответ – 4 балла.
Ответ:

Как составить магический квадрат?
Но ведь магические квадраты могут быть очень большие. Вот хотя бы квадрат со сторонами . Для заполнения такого квадрата даже рассуждения могут занять очень много времени. Предлагаются способы для заполнения квадрата  и со сторонами .
1) В квадрат  вписать числа:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80
таким образом, чтобы он стал магическим.
Впишем все эти числа в квадрат от наименьшего к наибольшему числу (шаг 1).
Теперь по диагональ вычеркнем все числа (шаг 2).
Наибольшее из вычеркнутых чисел вписывается в левый верхний угол и оставшиеся числа от него расставляются в порядке убывания (шаг 3).

Проверим, является ли получившийся квадрат магическим.
80 + 10 + 15 + 65 = 170;
80 + 55 + 30 + 5 = 170;
15 + 50 + 30 + 75 = 170.
Остальные суммы также проверяются классом или предлагается разделить по группам.
2) Для квадрата  тоже есть особый способ.
В заданный квадрат надо вписать числа от 1 до 25. Это сделать нам поможет шахматный конь и его ход буквой Г.
Число «1» можно поставить в любую ячейку квадрата (шаг 1).
Производится вертикальный ход шахматного коня (одна клетка вправо и две клетки вверх) и ставится следующая цифра – «2» (шаг 2).
Далее выполняются вертикальные ходы шахматного коня и расставляются числа в порядке возрастания, пока не заполнится весь квадрат. При этом:

если ход коня выводит за верхний край – надо вернуться снизу;

если ход выводит за правый край – надо вернуться слева;

если клетка уже занята – возвращаемся к только что вписанному числу и записывается следующее прямо под ним.

Рассмотреть на доске следующую схему и продолжить ее до тех пор, пока у учащихся не останется вопросов или пока не заполнится квадрат полностью.

Ответ:

Магический квадрат. часть 4

Раунд IV 
Предложенным способом восстановите магический квадрат, расставив числа от 1 до 16.
Задание на скорость. Поднявшие сигнальную карточку ученики показывают решение на доске. За правильный ответ – 4 балла, за найденные ошибки – 2 балла.
Ответ:

Раунд V
С помощью шахматного коня надо заполнить квадрат числами от 1 до 25, в которых число «1» уже отмечено. Карточки для заполнения у всех команд разные, время заполнения – 3 минуты. За правильно заполненный квадрат – 5 баллов.
Варианты карточек: единицы расставлены по диагонали.
Ответы:

Надо сказать, что вариантов расстановки чисел в квадрате четвертого порядка – 880, а в квадрате  более 13 миллионов.
Раунд VI 
От сложного вернемся к простому.
Расставьте в клетках квадрата третьего порядка четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 таким образом, чтобы квадрат стал магическим.
Ответ:

Задание выполняют все на скорость, на доске происходит проверка. За выполнение задания – 4 балла, за объяснение заполнения – 3 балла.

Подведение итогов