Графика и графики
методическая разработка (алгебра, 9 класс) по теме

Графика и графики.

Одной из интереснейших тем в курсе математики является тема  о преобразованиях графиков. Один из великих людей сказал: «Языком математики можно описать весь мир». А чем, как не графиками, функциональными зависимостями описываются различные процессы: движение материальной точки, процессы биологического роста или убывания, колебание тел. Я предлагаю посмотреть на тему «Преобразование графиков» со стороны художественного искусства.

Объект исследования - взаимосвязь математики с изобразительным искусством, предмет исследования- графики как вид изобразительного искусства. Гипотеза заключается в том, что с помощью графиков функций можно рисовать картины, что рисунки, выполненные в стиле графики можно описать  известными графиками функций.

Рассмотрим внимательно репродукцию картины Н.В. Кузмина «Онегин на балу». Если вглядеться в эти прерывистые линии – то можно увидеть, что они представляют собой графики различных функций. Рисунок выполнен в стиле графики, а что такое графика?

 Графика (от греч. Graphike  – пишу, черчу, рисую) - вид изобразительного искусства, включающий рисунок и печатные художественные произведения (гравюру, литографию и т д.), основывающийся на искусстве рисунка, но обладающий собственными изобразительными средствами и выразительными возможностями.                Графика определялась как искусство, в основе которого лежит линия, или как искусство черного и белого. Такое понятие графики в дальнейшем было расширено. Кроме контурной линии, графика использует штрих и пятно. Активную роль а графике играет фактура использованных материалов, специфика графических техник и приемов. (Большая советская энциклопедия, том 7, стр. 259).

В изобразительном искусстве есть еще одно направление изобразительного искусства, появившегося в 1 четверти 20 века  - кубизм. Кубизм (франц. Gubisme – куб) –

модернистское течение в изобразительном искусстве, изображавшее предметный мир в виде  комбинаций геометрических тел и фигур. В кубизме сама геометризация форм подчёркивала  устойчивость, предметность мира. (Большая советская энциклопедия, том 13, стр. 546). В этой технике работали такие признанные художники как П. Пикассо, Ж. Брак, О. Глез, А. Ле Фоконье и другие. Работа П. Пикассо «Дама с веером»(1909 г.) написанная в стиле кубизма находится в г. Москве, в Музее изобразительных искусств имени А.С. Пушкина.

Кубисты изображали мир, применяя геометрические фигуры, а я задалась мыслью, а почему бы не рисовать графиками?

Особое место в графике занимают не изобразительные элементы – а декоративные мотивы: орнамент, текст, представляющий собой систему графических знаков. Я решила остановиться на рисовании орнамента. В русском орнаменте широко применяется такой элемент как птица.

Контур головы птицы лучше всего нарисовать с помощью параболы, причем задняя ее часть будет более вытянутая. Следовательно, имеет смысл воспользоваться двумя параболами с различными коэффициенты сжатия. Пусть точка (4,5;11,5) – вершина обеих парабол, окончание клюва – точка (1,75;9,5). Уравнение вида будет иметь вид  у=к(х-4,5)2+11,5.   Вычислим к, подставляя в уравнение координаты второй точки:   9,5=к(1,8-4,5)2+11,5;  получим, 7,5625к=-2; отсюда  к≈-0,25. Значит, линия 1 на рисунке задана формулой   у=-0,25(х-4,5)2+11,5. Но нам требуется не вся парабола, а лишь та её часть, которая лежит на промежутке [1,75; 4,5]. Продолжая дальше, получаем:   2.         у = -0,125 (x-4,5)2+11,5    для х€ [4,5; 7,9]   контрольные точки  x = 8 ,  у≈ 9 

3.         у = -(x -2,3)2 +9,8      для х€ [1,75; 3,3]  ,   x = 1,75,     y≈ 9,5,       x = 3,3,       y≈8,8 

4.        y = -0,35(x-4)2+9        для х€  [1,5;4],   x = 3,3,     y≈ 8,8, x = 1,5,    y≈ 7,1 

5.        y = -0,3(x-4)2 +9        для х€  [4;7] , x = 7,3,      y ≈ 5,7,   x = 5,4,      y  = 8,4 

6.        y = -0,4(x-7)2+9,4           для х€ [5,4;7] , x = 5,4,    y=8,4,

7.       y = -0,04(x-8,5)2+9,5      для х€[7;8,5] ,    x = 7,     y = 9,4 ,

8.       y = -0,2(x-8,5)2+9,5      для х€[8,5;13,5] ,           x = 13,5,    y = 4,5 

9      y = 2/(х-0,5)+2     для х€[1;5] ,            x = 1 ,    y = 6,           x = 5,    y = 2,4 

10.      y =-0,1/(х-6)+2,5       для х€[5;5,8] ,            x = 5,   y = 2,4,    x = 5,8 , y = 2 

11.      y =-0,12/(х-6)+1,4      для х€[5;5,8],       x = 5,8 ,  y = 2,    x = 5,     y ≈ 1,4 

12.     y =1,4   [3,5;5] 

13.     (x-3,5)2+(y-0,8)2= 0,36   для х€ [2,9;3,5] 

14.     (x-4)2+(y-0,5)2= 0,25   для  y є  [0,5;1] 

15.     (x-5)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y  є  [0,5;1] 

16.     (x-6)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y  є  [0,5;1]    

17.     (x-7)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y є [0,5;1] 

18.     (x-7,5)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y є [0,5;1] и х є[7,5;8] 

19.     y= -2(x-7)2+1,5   для х€  [7;7,5] ,     x = 7,5,  y = 0,5 

20.      y  =  √ x-7  +1,5   для х€[7;9,5] ,            x = 7; y = 1,5  ;  x = 9,5; y ~2,4 

21.     y= (x-12)2+1,5   для х€ [10,6;13,5] 

22.    y= (x-10,5)2+1,5   для х€ [9,5;11;2] 

23. (x-4,5)2+(y-10,5)2= 0,25 – глаз

24.     (4,5;10,5) – зрачок 

25.     y= 2(x-3,5)2+10   для х€ [3;3,5] 

26.     y= -2(x-3,5)2+10   для х€ [3;3,5] 

27.     y= 2(x-8)2+7,5   для х€ [7,5;8,5] 

28.   y= 2(x-10)2+7,5   для х€ [9,5;10,5] 

29.   y= 2(x-9)2+6,5   для х€ [8,5;9,5] 

30.   y= 2(x-11)2+6,5   для х€ [10,5;11,5] 

31.   y= 2(x-12,5)2+6,5   для х€ [12;13] 

32.   y= 2(x-8)2+6   для х€ [7,5;8,5] 

33.   y= 2(x-10)2+5,5  для х€ [9,5;10,5] 

34. y= 2(x-11,5)2+5,5   [11;12]

35.   y= 2(x-9)2+5   для х€ [8,59,5] 

36.   y= 2(x-12,5)2+5  для х€  [12;13] 

37.   y= 2(x-8)2+4,5   для х€ [7,5;8,5] 

38.   y= 2(x-11)2+4,5   для х€ [10,5;11,5] 

39.   y= 2(x-9,5)2+4 для х€   [9;10] 

40.   y= 2(x-12)2+4  для х€ [11,5;12,5]

41.   y= 2(x-11,5)2+3  для х€  [11;12] 

42.   y= 2(x-13)2+3,5   для х€ -[12,5;13,5]    

Для рисования птицы я использовала графики квадратичной, линейной функциями, обратной пропорциональности, у=, уравнение окуружности.

Орнамент состоит из симметричных деталей, поэтому полученный рисунок нужно отобразить относительно оси ОУ.  Можно воспользоваться двумя способами: С помощью графика функции у=f|x|  и  с  помощью переноса графиков функций относительно оси ОХ.

Первый способ.

Функция у=f|x| - четная, то достаточно построить  у=f(x) для х≥0 из области её определения и отразить полученную часть графика симметрично оси ординат. Для того, чтобы воспользоваться этим способом нужно все формулы квадратичных функций переписать в виде  у=ах2+в|х|+с. Выберем одну из квадратичных функций, и выполним преобразование:  у=2(х-13)2+3,5, у=2(х2-26х+169) +3,5, у=2х2-52х+341,5. 

График функции задается у=2х2-52|х|+341,5. При х≥0, получим у=2(х-13)2+3,5, а при х<0  -  у=2(х+13)2+3,5. Эти два графика действительно симметричны относительно оси ОУ, остается лишь ограничить их области определения промежутками: х€ [12,5;13,5] и                       х€-[-13,5;-12,5]    

Для остальных функций достаточно, у=f(x) записать как у=f|x|.

Второй способ.

С помощью переноса графиков функций относительно оси ОХ. Для этого достаточно    у=f(x-а) заменить на у=f(x+а), одновременно поменяв и данные области определения на соответствующие им противоположные промежутки относительно оси ОХ. Например,     y= 2(x-3,5)2+10   для х€ [3;3,5] на  y= 2(x+3,5)2+10   для х€  [-3,5;-3].

Следующий шаг.  Элемент орнамента повторяется n-ое количество раз. И здесь пригодится ещё одно свойство функции - периодичность.

Определение: Функцию называют периодической, если существует такое число Р, что для всех значений из области определения  у(х+Р)=у(х). 

Определим период для одного элемента рисунка (при х>0), период Р=14,5. Пользуясь определением периодической функции, подставим период в формулы и в соответствующие им промежутки определения функции:

1.     у=-0,25(х-4,5+29Р)2+11,5   для х€ [1,75+29Р; 4,5].

2.         у = -0,125 (x-4,5+29Р)2+11,5                  для х€ [4,5+29Р; 7,9] 

3.         у = -(x -2,3+29Р)2 +9,8      для х€ [1,75+29Р; 3,3] 

4.        y = -0,35(x-4+29Р)2+9        для х€  [1,5+29Р;4],  

5.        y = -0,3(x-4+29Р)2 +9        для х€  [4+29Р;7] ,

6.        y = -0,4(x-7+29Р)2+9,4           для х€ [5,4+29Р;7] ,

7.       y = -0,04(x-8,5+29Р)2+9,5      для х€[7+29Р;8,5] 

8.       y = -0,2(x-8,5+29Р)2+9,5      для х€[8,5+29Р;13,5] ,           

9      y = 2/(х-0,5+29Р)+2     для х€[1+29Р;5] ,          

10.      y =-0,1/(х-6)+2,5       для х€[5+29Р;5,8] ,           

11.      y =-0,12/(х-6+29Р)+1,4      для х€[5+29Р;5,8],      

12.     y =1,4   [3,5+29Р;5] 

13.     (x-3,5+29Р)2+(y-0,8)2= 0,36   для х€ [2,9+29Р;3,5] 

14.     (x-4+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25   для  y є  [0,5;1] 

15.     (x-5+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y  є  [0,5;1] 

16.     (x-6+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y  є  [0,5;1]    

17.     (x-7+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y є [0,5;1] 

18.     (x-7,5+29Р)2+(y-0,5)2= 0,25  для  y є [0,5;1] и х є[7,5+29Р;8] 

19.     y= -2(x-7+29Р)2+1,5   для х€  [7+29Р;7,5] 

20.      y  =  √ x-7+29Р  +1,5   для х€[7+29Р;9,5] ,           

21.     y= (x-12+29Р)2+1,5   для х€ [10,6+29Р;13,5] 

22.    y= (x-10,5+29Р)2+1,5   для х€ [9,5+29Р;11;2] 

24. (x-4,5+29Р)2+(y-10,5)2= 0,25 – глаз

24.     (4,5+29Р;10,5) – зрачок 

25.     y= 2(x-3,5+29Р)2+10   для х€ [3+29Р;3,5] 

26.     y= -2(x-3,5+29Р)2+10   для х€ [3+29Р;3,5] 

27.     y= 2(x-8+29Р)2+7,5   для х€ [7,5+29Р;8,5] 

28.   y= 2(x-10+29Р)2+7,5   для х€ [9,5+29Р;10,5] 

29.   y= 2(x-9+29Р)2+6,5   для х€ [8,5+29Р;9,5] 

30.   y= 2(x-11+29Р)2+6,5   для х€ [10,5+29Р;11,5] 

31.   y= 2(x-12,5+29Р)2+6,5   для х€ [12+29Р;13] 

32.   y= 2(x-8+29Р)2+6   для х€ [7,5+29Р;8,5] 

33.   y= 2(x-10+29Р)2+5,5  для х€ [9,5+29Р;10,5] 

34. y= 2(x-11,5+29Р)2+5,5   [11+29Р;12]

35.   y= 2(x-9+29Р)2+5   для х€ [8,5+29Р ;9,5] 

36.   y= 2(x-12,5+29Р)2+5  для х€  [1+29Р 2;13] 

37.   y= 2(x-8+29Р)2+4,5   для х€ [7,5+29Р;8,5] 

38.   y= 2(x-11+29Р)2+4,5   для х€ [10, +29Р 5;11,5] 

39.   y= 2(x-9,5+29Р)2+4 для х€   [9+29Р;10] 

40.   y= 2(x-12+29Р)2+4  для х€ [11,5+29Р;12,5]

41.   y= 2(x-11,5+29Р)2+3  для х€  [11+29Р;12] 

42.   y= 2(x-13+29Р)2+3,5   для х€ -[12,5+29Р;13,5], где Р пробегает множество целых чисел. Также нужно подставить период и во вторую часть орнамента.

Выполняя работу, я сделала следующие выводы.

1.Создавать картины с помощью графиков не только можно, но и интересно.

2. Рисование графиками помогает видеть  картину, как взаимосочетание отдельных линий 3.Учиться мыслить  последовательно, плавно переходить от одной линии к другой, отмечая при этом, чем первая отличается от последующей.

4.При описывании графика, повторять многие математические операции: решение линейных и квадратных уравнений, решение пропорций, свойства функции и т.д.

5.Распознавать виды графиков.

6. Формирует навыки четко соотносить линию с известными графиками функций,  записывать формулу, соответствующую этой функции, учитывая при этом  знания по преобразованию графиков.

Рисование графиками, на мой взгляд, может найти свое применение в областях, где взаимосочетаются точные расчеты с изобразительным искусством, а именно: в архитектуре, художественном труде, в графическом и ландшафтном дизайне.

В заключении хочу поделиться предположением: а может когда-нибудь рисование графиками определится как ещё один стиль в графике и получит свое название, например, - параболизм (рисование параболами).