Урок алгебры в 9 классе "В стране квадратного трехчлена"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Тема урока: В стране квадратного трехчлена

Форма урока: комбинированный урок с элементами презентации, групповой работы.

Цель  урока:

1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся , связанных с квадратным трехчленом (квадратный трехчлен, квадратичная функция).
2. Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, делать выводы.
3. Побуждать учеников к само-взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование урока: карточки для фронтального опроса, проектор для  показа презентации домашних заданий, печатный вариант презентаций, бланки для ответов математического практикума

Ход урока: 

1. Мобилизующее начало. 

Урок начинается с вводной беседы о важности темы для дальнейшего изучения разделов алгебры. Сегодня команды будут «блистать» своими знаниями и математическими находками.

2. Разминка (постепенное введение в тему).

а) Фронтальный опрос: с помощью сигнальных карточек повторить основные понятия и формулы темы.

Назови, что изображено на карточке (учитель показывает карточку и спрашивает ученика):

б) Математические ловушки.

Верны ли следующие утверждения (можно использовать сигнальные карточки с изображениями  +  и  -).

1. При умножении отрицательных чисел получается  отрицательный результат.
2. Квадрат любого числа – положителен.
3. Корни квадратного уравнения 3х2 + 2х – 15 = 0 можно найти по теореме Виета ( х1·х2 = - 15 и х1 + х2 = - 2): это 3 и -5 (нет, так уравнение не приведенное).
4. √-81 = 9.
5. а + 0 = 0
6. В квадратном уравнении 17 – 12х + 5х2 = 0 а = 17, в = - 12, с = 5.
7. – в – отрицательное число.
8. 2х2 + х – 1 = 0, Д = 12 - 4·2·(-1) = 1 – 9 = -8 < 0, корней нет.
9. В квадратном уравнении а – любое число.
10. (х – 5)(х + 7) = х2 – 35.

3. Презентации домашних заданий.

Домашнее задание было задано по группам, которое носило  творческий характер: сделать необходимые выводы на основе имеющихся знаний, составить примеры.

1 группа (учащиеся со средними способностями).

Найти систему составления квадратных уравнений, которые имеют один, два корня, или не имеют решения.

2 группа (учащиеся со средними способностями).

Роль Д (дискриминанта).

3 группа (учащиеся с высокими способностями).

Как коэффициенты и свободный член  влияют на значение корней квадратного уравнения?

4 группа (учащиеся с низкими способностями).

Способы нахождения вершины параболы и использование ее в различных заданиях (подборка заданий из учебника).

Презентация темы командами. Каждая команда в своих выступлениях пользуется компьютерной презентацией (записи основных выводов темы)

1 команда.

Для составления квадратных уравнений, которые имеют один, два корня, мы пользовались формулой разложения квадратного трехчлена на множители:

ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 – корни квадратного трехчлена.

Достаточно составить выражение имеющее вид правой части равенства с конкретно заданными значениями а, х1, х2. Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Например:

1. Квадратное уравнение, имеющее два корня.

а) (х – 5)(х – 3) = х2 – 3х – 5х + 15 = х2 – 8х + 15, х2 – 8х + 15 = 0.

б) 3(х – 1/3)(х + 2) = (3х – 1)(х + 2) = 3х2 + 6х – х – 2 = 3х2 + 5х – 2,

3х2 + 5х – 2=0.

в) (7 – х)(х + 4) = 7х + 28 – х2 – 4х = - х2 + 3х + 28,   - х2 + 3х + 28 = 0

2. Квадратное уравнение, имеющее один корень (оба корня одинаковые).

а) (х – 9)2 = х2 – 18х + 81, х2 – 18х + 81 = 0.

б) (2х + 5)2 = 4х2 + 20х + 25, 4х2 + 20х + 25 = 0.

3. Квадратные уравнения, не имеющие решения.

Для составления данных уравнений мы пользовались тем, что квадратное уравнение не имеет решения, если Д < 0, то есть в2 – 4ас < 0,

в2 < 4ас. Коэффициенты и свободный член подбирались, согласно, полученного условия. Например, в = 5, значит, произведение 4ас должно быть больше 25: а = 3, с = 4, 3х2 + 5х + 4 = 0.

Конечно, для составления уравнений пункта 1 и 2 можно пользоваться соответственно условиями  в2 > 4ас и в2 = 4ас.

2 команда.

Значение Д не только определяет количество корней квадратного уравнения, но и точки пересечения параболы с осью Х. Наши рассуждения мы изобразили в виде схемы.

Квадратные уравнения (приводимые к виду ах2 + вх + с = 0 (а≠0))

         Д < 0                                     Д=0                                     Д > 0

     Корней нет                           Один корень                      Два корня

                                                        х =                                  х =

3 команда.

Как коэффициенты и свободный член  влияют на значение корней квадратного уравнения?

Мы использовали теорему Виета для приведенных квадратных уравнений. Имеем квадратное уравнение вида х2  + вх + с = 0, х1×х2 = с и х1 + х2 = - в.

Тогда, если

а) с > 0, то х1 и х2 – одного знака:

х1 и х2 – отрицательные, значит в > 0,

х1 и х2 – положительные, значит в <0.

в) с < 0, то х1 и х2  – разных знаков:

х1 + х2 > 0, если модуль положительного корня больше модуля отрицательного, значит в <0,

х1 + х2 < 0, если модуль положительного корня меньше модуля отрицательного, значит в >0.

Полученные выводы оформим таблицей:

Например: определить знаки корней квадратного уравнения

а) х2 – х – 20 = 0.

с = - 20, в = - 1 – это третий случай: корни разных знаков и модуль положительного числа больше модуля отрицательного.

в) х2 + 10х + 21= 0, с = 21, в = 10 – это первый случай: оба корня отрицательные.

Если в квадратном уравнении,

а  > 0, то правило сохраняется,

а < 0, чтобы правило сохранялось, нужно обе части уравнения умножить на

 (-1).

4 команда.

Способы нахождения вершины параболы и использование ее в различных заданиях.

 Мы рассмотрели два случая нахождения вершины параболы.

1. Функция имеет вид у = ах2 + вх + с, тогда х = -в/2а, у = -Д/4а или его можно найти, подставив х в квадратный трехчлен.
2. Функция имеет вид у = а(х – m)2 +  n, тогда вершиной параболы  будет точка с координатами (m; n).

Задания.

1. Без построения графика, определите промежутки возрастания и убывания функции у = х2 – 4х + 7.
2. Найдите наибольшее значение функции у = 2х2 + 8х +2. Найдите наименьшее значение функции у = - х2 + 2х + 8.
3. Найти область значений функции у = 2х2 + 1,2х + 2;
4. Найдите уравнение прямой, являющейся осью симметрии параболы у = - 2х2 – 5х – 2.
5. При каких значениях с график функции у = х2 – 6х + с расположен выше прямой у = 4?
6. При каких значениях в и с вершиной параболы у = х2 + вх + с является точка (6; -12)?

4. Математический практикум.

Работа в группах: Теперь создадим четыре новые команды, в каждую войдут члены всех четырех команд. Группы будут решать задачи на темы, которые рассматривались сегодня на уроке.  На всю работу дается 10 минут. Свои ответы заносите в бланки.

Команда №___________

 Каждое задание оценивается в 1 бал: «5» - за 5 баллов, «4» - за 4 балла, «3» - за 3 балла, «2» - 1-2 балла. Команда может получить дополнительные баллы за организацию работы в группе, активность всех ее членов.

1. По графику функции у = ах2 + вх + с определите знаки коэффициентов а, в и с. (а) а < 0, в < 0, с > 0; б) а > 0, в < 0, с > 0)

2. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена 2х2 – 8х + 12. (36)
3. Сколько корней имеет квадратный трехчлен (х – m)2 + n, если известно, что n < 0 ? (Два)
4. Параболу у = 7х2 сдвинули на 7 единиц вверх и на 8 единиц влево. Графиком, какой функции является полученная парабола? (у = 7х2 – 112х + 455)
5. Найдите все целые значения p, при которых квадратное уравнение имеет целые корни х2 + рх + 15 = 0.(±2, ±8, ±14, ±16)

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание. Решить задания 4 команды.