Задания В8
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

1. Главная
2. Обо мне
3. ЕГЭ

1. Задание В1
2. Задание В2
3. Задание В5
4. Задание В6
5. Задание В4
6. Задание В3
7. Задание В7
8. Задание В8
9. Задание В9
10. Задание С1
11. Задание С2
12. Задание С3
13. Задание С4
14. Задание С5
15. Задание С6
16. Задание В14
17. Задание В10
18. Задание В11
19. Задание В12
20. Задание В13

4. Помочь сайту
5. Онлайн-школа

1. VIP — доступ
2. Ограниченный доступ
3. Вебинары

6. Мои услуги

1. платные услуги
2. бесплатные услуги

7. Рекламодателю

Математические будни

Математика? – это же просто…

Задание В8

Задание B8. Данная задача на применение производной. Дан либо график функции, либо его производная. Если задан график функции, то найти необходимо что-то, что связано с его производной (максимумы, минимумы, промежутки монотонности..., если задан график производной функции, то найти требуют то, что относится к графику функции, чаще всего это количество целых точек, в которых производная положительна или отрицательна.

<<ЗАПИСАТЬСЯ НА ОНЛАЙН ЗАНЯТИЕ:

ЕГЭ по математике 2013>>

Типичные ошибки ЕГЭ по математике:

Задание В8:

1. перепутать графики функции и ее производной;

2. путаница с нахождением точек максимума и минимума, почему то многие считают, что если функция убывает, значит при пересечении о осью абсцисс - это точка минимума, на самом деле - это точка максимума. т.к. график идет с положительной области ( над осью абсцисс) в отрицательную область ( под осью абсцисс), и наоборот точка минимума будет, когда график пересекает ось абсцисс при возрастании, поэтому ошибка, если Вы решили, что при возрастании - значит максимум;

3. следите внимательнее за промежутками, на которых требуют что-то найти, иногда складывается впечатление, что этот промежуток никто не замечает, а значит решает задачу относительно всего зарисованного графика, а не заданной его части.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Рекомендации:

1. прорешайте ниже перечисленные прототипы задания В8, если возникли сложности:

а) с нахождением точек экстремума по графику производной - Вам сюда!

в) с нахождением наибольших и наименьших значений на заданном промежутке по графику производной - Вам сюда!

с) с нахождением промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции) - Вам сюда!

d) с нахождением точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной) - Вам сюда!

е) с нахождением значения производной в заданной точке на графике функции - Вам сюда!

2.скачайте открытый банк заданий ЕГЭ по математике: прототипы задания В8 с ответами

3. вот ссылки на решенные задачи:

№6403, №6404, №6410, №6412, №6418, №6422, №6427,

№6871, №7347, №8057, №8299, №8305, №8439, № 9051,

№9277, №120217, №121217, №121717 - общий доступ.

№6009, №6045, №7855, №54801, №120717, №122717,

№123717 - VIP - доступ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В открытом банке заданий из ЕГЭ по математике всего 33 прототипа задания В8. Я предлагаю Вашему вниманию все эти прототипы с ответами и видео решениями:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Прототипы задания В8:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Получить VIP - доступ всего за 300 рублей в месяц.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27485 Прямая y = 7x - 5 параллельна касательной к графику функции y= x2 + 6x - 8. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 0,5

Видео решение прототипа №27485

<<похожие задачи>>

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27486 Прямая y= - 4x - 11 является касательной к графику функции y= x3 + 7x2 + 7x - 6. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -1

Видео решение прототипа №27486 (VIP - доступ)

<<похожие задачи>>

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27487 На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4

Видео решение прототипа №27487

<<похожие задачи>>

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27488 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

Ответ: 8

Видео решение прототипа №27488

<<похожие задачи>>

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27489 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

Ответ: 4

Видео решение прототипа №27489 (VIP - доступ)

<<похожие задачи>>

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27490 На рисунке изображен график y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .

Ответ: 44

Видео решение прототипа №27490 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27491 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ: -3

Видео решение прототипа №27491

№27492 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ: -7

Видео решение прототипа №27492 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27494 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].

Ответ: 1

Видео решение прототипа №27494

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27495 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-18;6). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].

Ответ: 1

Видео решение прототипа №27495

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27496 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].

Ответ: 5

Видео решение прототипа №27496

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27497 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-7;4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ: -3

Видео решение прототипа №27497

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27498 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-5;7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ: 18

Видео решение прототипа №27498 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27499 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 6

Видео решение прототипа №27499 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27500 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 6

Видео решение прототипа №27500 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27501 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y= -2x-11 или совпадает с ней.

Ответ: 5

Видео решение прототипа №27501 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27502 На рисунке изображен график y=f‘(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2;6] .

Ответ: 4

Видео решение прототипа №27502

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27503 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Ответ: 2

Видео решение прототипа №27503

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27504 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Ответ: 0,25

Видео решение прототипа №27504

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27505 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Ответ: -2

Видео решение прототипа №27505

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№27506 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Ответ: -0,25

Видео решение прототипа №27506

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№40129 На рисунке изображен график функции y=f(x) . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке х0=8.

Ответ: 1,25

Видео решение прототипа №40129 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№40130 На рисунке изображен график y=f‘(x) - производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней.

Ответ: 5

Видео решение прототипа №40130 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№40131 На рисунке изображен график y=f‘(x) - производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ответ: -3

Видео решение прототипа №40131 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119971 На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Ответ: 4

Видео решение прототипа №119971

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119972 Прямая y=3x+1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Ответ: 0,125

Видео решение прототипа №119972 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119973 Прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ: -33

Видео решение прототипа №119973 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119974 Прямая y=3x+4 является касательной к графику функции 3x2 - 3x + c . Найдите c.

Ответ: 7

Видео решение прототипа №119974 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119975 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t2 -48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9с.

Ответ: 60

Видео решение прототипа №119975

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119976 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/2t3-3t2 +2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6с.

Ответ: 20

Видео решение прототипа №119976 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119977 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t4+6t3 +5t+23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с.

Ответ: 59

Видео решение прототипа №119977 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119978 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2 -13t+23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Ответ: 8

Видео решение прототипа №119978 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№119979 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3t3 -3t2 -5t+3, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Ответ: 7

Видео решение прототипа №119979 (VIP - доступ)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Справочные материалы от Д. Гущина 

№1

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, -2) и (5,8) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 5 – 0 = 5 (горизонтальная) и 8 – (-2) = 10 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 10/5 = 2                                                                    Ответ 2

№2

В какой точке отрезка [-5, -1] функция принимает наименьшее значение?

Решение. На рисунке изображен график производной. Во всех точках отрезка [-5, -1] производная положительна, т.е. функция на отрезке монотонно растет. Значит, наименьшее значение функция принимает на левом краю отрезка – в точке -5.

Ответ -5

№3

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-17 тогда и только тогда, когда производная равна 2. На графике видно, что график пересекает прямую y=2 в двух точках

Ответ 2

№4

Решение Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-6, 3) и (2, 7) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 2 – (-6) = 8 (горизонтальная) и 7 – 3 = 4 (вертикальная).
Тангенс угла наклона касательной t = 4/8 = 0,5                               Ответ 0,5

№5

Решение. В точке касания графиков двух функций выполнены два условия. Во-первых, совпадают значения функций, во-вторых, совпадают значения производных. В данном случае это дает систему двух уравнений с одним неизвестным. Такая система не всегда имеет решение. Это и не удивительно: не всякая прямая имеет с данной кривой точку касания. Посмотрим, что будет в нашей задаче.

1) Равенство значений функций:      3x+8 = x3+x2-5x -4

2) Равенство значений производных:         3 = 3*x2 + 2x -5

Решим второе уравнение.       3*x2 + 2x -8 = 0                D= 4+96 = 100= 102

x1 = (-2+10)/6 = 4/3; x2 = (-2 -10)/6 = -2

Проверим, выполнено ли для этих значений аргумента условие равенства значений функций. Для x=4/3 условие не выполнено; для x =-2 – выполнено (и в том, и в другом убеждаемся подстановкой).                                              Ответ -2

№6

Решение. Производная отрицательна там, где функция убывает, то есть график функции идет вниз. По условию задачи, нам интересуют пересечения графика с вертикальными линиями сетки. Таких точек на рисунке …. . А именно: -5, -2, 2, 3.

Ответ 4

№7

Решение. На рисунке изображен график производной. Экстремумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак. На отрезке [-4, 6] таких точек две.                                        Ответ 2

№8

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = -1. Точек, в которых значение производной равно -1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=-1) на рисунке 3.

Ответ 3

№9

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 0 [b = -20, но это для решения не важно]. Точек, в которых значение производной равно 0 (т.е. где график производной пересекает ось абсцисс) на рисунке 2.                                                                                        Ответ 2

№10

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, 0) и (6, -3) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 0 = 6 (горизонтальная) и (-3) – 0 = -3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-3)/6 =- 0,5                                                   Ответ -0,5

№11

Решение. На рисунке изображен график производной. Минимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с минуса на плюс. На отрезке [-6, 8] такая точка одна.                                   Ответ 1

№12

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (-5, -5) и (1, -2) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 1 – (-5) = 6 (горизонтальная) и (-2) – (-5) = 3 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны положительна, т.к. большему значению абсциссы соответствует большее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = 3/6 = 0,5

Ответ 0,5

№13

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (-4, -4) и (4, -6) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – (-4) = 8 (горизонтальная) и (-6) – (-4) = -2 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-2)/8 =- 0,25.                                                  Ответ - 0,25.
№14

Решение. На рисунке изображен график производной. Касательная к графику функции f(x)параллельна прямой a*x+b в тех точках, где значение производной равно a. В данном случае a = 1. Точек, в которых значение производной равно 1 (т.е. где график производной пересекает горизонталь y=1) на рисунке 4.                       Ответ 4

№15

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (3, 6) и (6, 0) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 6 – 3 = 3 (горизонтальная) и 0 – 6 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2.                                                                                   Ответ -2

№16

Решение. На рисунке изображен график производной. Максимумам функции соответствуют точки, в которых производная обращается в 0 и при этом меняет знак с плюса на минуса. На отрезке [-12, 7] таких точек три. 

Ответ 3

№28

Решение. Значение производной с точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки имеют координаты (1, 1) и (4, -5) соответственно (точки перечисляем в порядке возрастания абсцисс). Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют «длины» 4 – 1 = 3 (горизонтальная) и (-5) – 1 = -6 (вертикальная). Обратите внимание: «длина» вертикальной стороны отрицательна, т.к. большему значению абсциссы соответствует меньшее значение ординаты. Тангенс угла наклона касательной t = (-6)/3 =- 2.

Ответ -2