конспект урока по алгебре "Арифметическая прогрессия"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Арифметическая прогрессия

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Форма урока: дидактическая игра.

Цели: Дидактическая: обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии. Совершенствовать навыки нахождения n-го  члена и суммы  первых n членов арифметической прогрессии с помощью формул.

            Развивающая: развивать познавательный интерес обучающихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь.

            Воспитательная: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Оборудование: 1) плакат: «Математика – царица всех наук, а арифметика – царица математики».              К.Гаусс.

                                                                                                                                                                                 2) Компьютер и слайды.

                            3) Карточки для индивидуальной работы (4 шт).

                            4) Карточки с цифрами для ответов к устному тесту (для всего класса).

                            5) Сообщение о Гауссе.

                            6) карточка с формулами на каждую парту.

                            7) Задачи 3 этапа (1 экземпляр).

                            8) рефлексия (тест каждому ученику).

                            9) домашнее задание на листах каждому ученику.

                                                          Ход урока:

1 этап: Мотивационно - ориентировочный (разъяснение цели учебной деятельности).

Учитель: Сегодня на уроке лозунг нас зовет:

                «Прогрессио – движение вперед!»

                 Мы начинаем наш урок.

                 Ваши глубокие познания прогрессии

                 Должны всех нас сегодня удивить.

                 Все устные задания

                 Нам нужно на одном дыхании решить.

                 Ведь формулы и определения известны нам теперь.

                 И в мир задач решения нам широко открыта дверь.

                 Решишь задачи - берись за тест,

                 Чтоб не осталось пустых мест.

                 Сегодня мы должны убедиться,

                 Что и в 21 веке прогрессия пригодится.

(Слайд 1): Запишем в тетради дату и тему урока.

                 Давайте совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их.

(Слайд 2): - Умение применять формулы……..

           - Умение грамотно говорить…….

- Умение обобщать и систематизировать…….

- умение логически мыслить……..    

  (при решении задач)              

- умение пересказывать…….

- умение молчать……..

Итак, если все сказанное вами обобщить, то получим цели урока:

(Слайд 3):

1. Обобщить теоретические знания по теме;   совершенствовать навыки нахождения п-го члена и суммы п  первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;

1. Развивать познавательный интерес, учиться  видеть связь между математикой и окружающей жизнью;  развивать грамотную математическую речь;

1. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

      воспитывать уважительное отношение к одноклассникам.

2 этап:     Актуализация опорных знаний:

Притча о царе. Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подозвал их всех к огромному замку. "Кто откроет этот замок без ключа, тот и будет первым помощником". Но никто из них даже не притронулся к замку. Лишь один подошёл и дёрнул замок, который тут же открылся, он не был закрыт на ключ. Тогда царь сказал: "Ты будешь первым помощником, потому - что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но надеешься, на собственные силы и не боишься сделать попытку".

- И сегодня на уроке я хочу, чтобы вы были все моими первыми помощниками: надеялись на собственные силы и не боялись делать попытки отвечать на вопросы.

А) Индивидуальная работа с обучающимися.

 4 обучающихся  работают  индивидуально. Им  предлагаются карточки с заданиями  уровней А, В, С.

1) Уровень А:  Мотолыгин Д

        Решение: а10 = а1 + 9 d;

                                   126 = а1+ 36;

                                    а1 = 126 – 36;

                                    а1 = 90.

2) Уровень А: Корсуков А

        Решение: а51 = а1 + 50 d;

        а51 = 12 + 50 · 0,4;

        а51 = 12 + 20;

        а51 = 32.

3) Уровень В: Маляров И

        Решение: а1 = 15мин; d = 10 мин;  аn = 1ч 45мин = 105 мин. Найти: n.

                                     аn = а1 + (n – 1)· d;

                                     105 = 15 + (n – 1)· 10;

                                     10· n = 100;

                                     N = 10. Ответ: 10 дней.

4) Уровень С: Пирмагомедова Д

        Решение: а22 = а1 + 21 d;

        60 = 24 + 21d;

                                      21d = 36;

                                      d = 12/7

   Б)   В это время фронтальная работа с классом в виде теста:

(Слайд 4):

1. Из предложенных последовательностей выберите те, которые являются арифметическими прогрессиями:

1. 1; 2; 4; 9; 16…                                             3)  1; 11; 21; 31;…
2. 2; 4; 8; 16…                                                 4)  7; 7; 7; 7;…..

Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Назовите её рекуррентную формулу. Чему равна разность ар. пр. в 3) и 4) пунктах.

2)       Из предложенных формул выберите ту, которая показывает характеристическое свойство ар.пр.:

      1) аn+1 =  аn+ d;                                                     3) Sn = ;

      2) ;                                                4) аn = а1 + (n – 1)· d;

Сформулируйте данное свойство.

3)        Из данных формул выберите формулу n  члена: 4)

4)        В арифметической прогрессии известны а1 = -12; d = 3. Найдите а5.

       1) 24;                            2) 0;                                 3) 3;                             4) -9

5)        Выберите те данные по которым нельзя найти седьмой член арифметической прогрессии.

1) а6 ; d                       2) а1 ; d                           3)  а6;    а8        4) Sn; d

Как, зная а6    и   d   найти   а7 ?          (по определению ар. пр.  а7 = а6 + d  )

Как, зная а1    и   d   найти   а7 ?           ( по формуле n члена     а7 = а1 + 6d  )                

Как, зная а6    и   а8   найти   а7 ?  ( с помощью характеристического свойства ар.пр.  )

6)      Задача очень не проста: как сделать, чтобы быстро от 1 и до 100 сложить в уме все числа? Пять подсказок изучи – найдешь к решению ключи: 1 + 100=….; 2+99=….; 3+98=….; 4+97=….; 5+96=….     Давным  давно сказал один мудрец, что прежде надо связать начало и конец у численного ряда.

          1) 5000;                     2)  4949;                            3) 5151;                      4) 5050.

С этим заданием связана легенда об известном немецком математике К. Гауссе (одно из его высказываний вы можете прочитать над доской).

(Слайд 5): фото К.Гаусса.(30.04.1777 – 23.02.1855)

Выступление ученика:  

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец – садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом: в 3 года он уже умел читать, писать, даже исправлял счетные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы:

1+100=101; 2+99=101; 3+98=101 и т.д. и мгновенно получил результат (1+100) · 50=5050. Тот же самый ответ, мы можем получить, используя формулу суммы n первых членов, учитывая,

что а1 = 1, а100 = 100, n = 100.

До самой старости Гаусс большую часть вычислений производил в уме. Свободно владея множеством языков, он некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочел последнюю. Ему принадлежат формулировки и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил французскую, английскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомится с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

Проверка по индивидуальным карточкам.(физ.минутка после задания В)

- А сейчас, чтобы вы окончательно убедились в своих твердых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.

Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны найти «пару», записать число из левого столбца  и соответствующую ему букву из правого столбца.

(Слайд 6):

Определение                                                        
арифметической
прогрессии
Формула n-го члена
арифметической
прогрессии

 Свойство каждого
члена арифметической
прогрессии

Сумма первых n членов
арифметической                                                    
прогрессии

Формула   разности
арифметической                                                      
прогрессии

3 Этап: Приложение математических знаний.

- Прогрессии встречаются не только в математике, но и в окружающем нас мире и очень часто. И одну практическую задачу мы с вами уже решили. Воспользуйтесь советом для подготовки к экзаменам.

А сейчас давайте решим задачу от работников почты:

Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей. Цены марок составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешёвой?

Решение:  S4 = 120 руб;   а4 = 3а1 ;   Найти: а4

                 120 = (а1 + 3а1)/2   ·   4;

                 120 =  2а1   ·   4;

                  а1 = 15;

                 а4 = 45 руб.

Задача от экономистов:

Вкладчик 1 января 2007 года внес в сберегательный банк 50000 рублей. Какой стала сумма его вклада на 1 января 2010 года, если сбербанк начислял ежегодно 20% от вложенной суммы?

Решение: а1 = 50000 руб;  d = 20%;  Найти: а4

                         d = 0,2 · 50000 = 10000 руб;

                 а4 = а1 + 3 d;

                 а4 = 50000 + 3 · 10000 = 80000 руб.

Задача от родителей:

Родители ко дню рождения сына Андрея решили купить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев и смогут ли они купить выбранный им телефон за 8 500 рублей?

Решение: а1 = 650 руб;  d = 50 руб; n = 10.  Найти: S10.

                S10 = (1300 + 9 · 50) · 5 = 8750 руб.

               Ответ: смогут купить.

А знаете ли вы, что арифметическая прогрессия применяется и в литературе: у А.С. Пушкина в романе «Евгений Онегин» есть такие строки: «не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить…». Интересно, а вы сможете?  Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя´дя са´мых че´стных пра´вил), т.е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 2.

Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу´ря мгло´ю не´бо кро´ет), т.е. ударными являются первый, третий и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2.

4 Этап: Заключительный.

Итог: С такими задачами , ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзаменах, как в 9 классе, так и в 11. Чтобы набрать большее количество баллов, нужно уметь их решать.

 Рефлексия:

Сейчас я раздам вам тесты, заполнив их, вы сможете проанализировать нашу с вами совместную работу и индивидуальную. (Собрать тесты и проговорить ответы с детьми).

                                                           ТЕСТ:

1. Результатом своей личной работы считаю, что я…

                                                                 А) разобрался в теории.

                                                                 Б) научился решать задачи.

                                                                 В) повторил изученный материал.

2)  Чего вам не хватало на уроке при решении заданий:

                                                                 А) знаний.

                                                                 Б) времени.

                                                                 В) желания.

                                                                 Г) решал нормально.

3)  Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке:

                                                                 А) одноклассники.

                                                                 Б) учитель.

                                                                 В) учебник.

                                                                 Г) никто.

Выставление оценок.

Домашнее задание

1. Задача:

Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» необходимо в оргкомитет подать заявку от школ. В первый день указанного срока заявку в оргкомитет подали 5 школ, во второй – 7 школ, в третий – 9 школ и т.д.Через сколько дней в оргкомитет будет будет подано 60 заявок (считая, что полученная закономерность не будет нарушена)? Сколько заявок поступит в последний день?

2. №589, №613

( n-ого члена ар. пр.; суммы n первых членов ар. пр.; формулу выражающую характеристические свойства ар. пр.)

( математическим языком, использовать математические символы, правильно оформлять задачи)

(полученные на уроках знания)

Дано:  аn- арифметическая прогрессия;    а10 = 126, d = 4. Найти а1

Дано: аn- арифметическая прогрессия;  а1 = 12; d = 0,4.

Найти а51

Подготовку к экзамену начинают с 15 минут. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 минут. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка 1 час 45 минут?

Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 24; а22= 60 ?

аn = а1 + (n – 1)· d;

156 = 24 + (n – 1)·12/7;

156 = 24 + 12/7 n - 12/7;

12/7 n = 936/7;

n = 78.  Ответ: а78 = 156,  является.