Урок по теме "Читаем график производной и график функции"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

     Применение производной для исследования свойств функции.

Читаем график функции.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме, рассмотреть типы заданий В8 вариантов ЕГЭ 2013 г по теме.

1. Регулярно в контрольно измерительные материалы ЕГЭ по математике включается задание следующего содержания: « По графику производной функции определите…» или « По графику функции определите…» Такого рода заданий мало в школьном учебнике алгебры и начал анализа, поэтому, сегодня на уроке мы попытаемся составить систему задач по данной теме. Для успешного решения поставленной задачи нам нужно повторить ( актуализировать) следующие теоретические положения:

1. геометрический смысл производной;
2. достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке;
3. необходимое и достаточное условия экстремума.

1. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то  есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

Данные утверждения можно записать в виде формулы

2. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.

1)Если f'(x)>0 на промежутке, то функция  y=f(x) возрастает на этом промежутке. В этом случае угловой коэффициент  к графику функции в каждой точке данного промежутка положителен. Это означает, что угол наклона α касательной к положительному направлению оси OX острый.                y

y

        0               α                                              x                          

                                                                                                                             0         α                                                  x

2) Если f'(x)<0 на промежутке, то функция  y=f(x) убывает на этом промежутке. В этом случае угловой коэффициент  к графику функции в каждой точке данного промежутка отрицателен. Это означает, что угол наклона α касательной к положительному направлению оси OX тупой.

3. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Для того чтобы точка x˳ была точкой экстремума функции y=f(x), необходимо, чтобы  x˳ была критической точкой функции;

достаточно, чтобы при переходе через критическую точку  x˳ производная функции меняла знак.

       f'(x)         +                                 -                                 -                                              +                                                                                                  

                                      max                                                                   min

Стационарные точки – точки, в которых производная равна нулю. В этих точках графика касательные к нему параллельны оси OX.

                                                                                                     X2                      X3

                              Х1                                                                                           

Точка X1 – критическая и стационарная точка, точка экстремума, точка максимума

Точка X2 - критическая и стационарная точка, не точка экстремума, но точка перегиба

Точка X3– критическая, но не стационарная точка, точка экстремума, точка минимума.

2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале .

 Попробуем придумать вопросы, относящиеся к свойствам самой функции, которые могут быть сформулированы в задании В8 ЕГЭ.

Итак, по графику производной определите:

1. Количество промежутков возрастания функции  y=f(x).
2. Длину большего промежутка убывания функции y=f(x).
3. Количество точек экстремума функции y=f(x).
4. Количество точек максимума функции y=f(x).
5. Критическую (стационарную) точку функции y=f(x), которая не является точкой экстремума.
6. Абсциссу точки графика, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение на отрезке .
7. Абсциссу точки графика, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение на отрезке .
8. Количество точек графика функции y=f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OY.
9. Количество точек графика функции y=f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OX  угол 45°.
10. Абсциссу точки графика функции y=f(x), в которой угловой коэффициент касательной принимает наибольшее значение.

3. Задание на дом. Карточка

1. На рисунке изображён график производной функции  y=f(x), определённой на промежутке (-16; 4).

По графику определите:

1. Точки минимума функции y=f(x).
2. Количество промежутков убывания функции y=f(x).
3. Абсциссу точки графика функции y=f(x), в которой

она принимает наибольшее значение на отрезке

4. Количество точек графика функции y=f(x), в которых касательная параллельна оси OX.

2. На рисунке изображён график функции y=f(x) определённой на промежутке (-5;7).

Определите по графику:                                                                  

1. Точки минимума функции y=f(x).
2. Количество промежутков убывания функции y=f(x).
3. Абсциссу точки графика функции y=f(x), в которой

она принимает наибольшее значение на отрезке

4. Количество точек графика функции y=f(x), в которых касательная параллельна оси OX.