Математический кружок
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Тема 9. Николай Иванович Лобачевский. Признаки параллельности прямых.

   I. Вступление.

   Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

   Это определение параллельности было известно издревле. И много веков человечество принимало законы геометрии, систематизированные и сформулированные Евклидом. Великий английский учёный Исаак Ньютон основывался именно на геометрию Евклида, описывая свои физические законы мироздания.

   Первым усомнился в абсолютной однозначности законов Евклида и Ньютона величайший русский геометр Николай Иванович Лобачевский.

   II. Жизнь и деятельность Н.И.Лобачевского.

   Н.И.Лобачевский родился в Нижнем Новгороде 20 ноября (1 декабря) 1792 года в семье чиновника геодезического департамента Ивана Максимовича Лобачевского и его жены Прасковьи Александровны. Вскоре семья переехала в Казань. Отец Н.И.Лобачевского умер в возрасте 40 лет, оставив в бедственном материальном положении свою жену Прасковью Александровну и троих детей: Александра, Николая и Алексея.

   В 1802 году Прасковья Александровна отдала всех троих сыновей в Казанскую гимназию, единственную в те годы во всей восточной части Российской империи, на «казённое разночинное содержание».

   По инициативе императора Александра I 14 февраля 1802 года был открыт Казанский университет. Совет университета обратился к родителям воспитывающихся в Казанской гимназии детей с предложением отдать их после окончания курса гимназии для продолжения обучения в университете. Прасковья Александровна ответила согласием. Старший из братьев Александр был зачислен в университет тотчас, Николая зачислили 14 февраля 1807 года после повторного испытания, в том же году становится студентом Казанского университета и Алексей.

   В 1808 году по приглашению попечителя Казанского учебного округа С.Я.Румовского в университет для преподавания прибыли видные немецкие учёные. Среди этих учёных в феврале 1808 года приехал профессор чистой математики Мартин Бартельс, друг и учитель великого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса, превосходный педагог. 2марта он открыл курс лекций по чистой математике.

   В 1811 году, окончив университет, Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при университете. В конце августа 1811 года Лобачевский представляет рассуждение «Теория эллиптического движения небесных тел».

   Блестящие способности и научные успехи Лобачевского трудно было не заметить. В это же время Бартельс пишет восторженное письмо о Лобачевском попечителю Румовскому; это даже вызвало благодарность Лобачевскому со стороны министра народного просвещения «за особые успехи, засвидетельствованные профессором Бартельсом».

   Начало официальной педагогической деятельности Лобачевского относится к 1812 году, т.е. девятнадцатому году жизни Лобачевского, и скромно выразилось в курсах арифметики и геометрии для готовившихся к экзамену «на чин» (так назывался экзамен, который должен был сдать не получивший достаточного школьного образования мелкий чиновник, чтобы иметь возможность дальнейшего продвижения по служебной лестнице).

   Дальнейшая университетская карьера молодого Лобачевского развивалась стремительно. В 1814 году он произведён в адъюнкты и в 1814/15 учебном году ведёт серьёзное университетское преподавание: читает лекции по теории чисел, следуя классическим работам Гаусса и Лежандра. В 1816/17г. он уже читает курсы алгебры и геометрии «по собственным тетрадям». Эти лекции представляют для нас особый интерес, т.к. в них Лобачевский, по-видимому, вплотную подошёл к вопросу об Эвклидовой аксиоме параллельных («через точку плоскости, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной»). Т.о. когда Лобачевскому было 23 года, у него возникли геометрические идеи, приведшие к открытию неэвклидовой геометрии.  

   В 1816г. Лобачевский становится профессором. В 1819г. он становится деканом математического факультета. Профессорская его деятельность в это время получает новое содержание: за отъездом профессора Симонова в кругосветное путешествие Лобачевскому в течение двух лет приходится читать физику и астрономию.

   В 1824г. с учётом рекомендации К.Ф.Гаусса Н.И.Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского Королевского общества, но за границу никогда не ездил. Гаусс же отклонил приглашение работать в Петербурге. Встреча их, столь необходимая, так и не состоялась.

   В 1827г. Лобачевский избирается ректором Казанского университета и занимает этот пост 19 лет. Жизнь шла обычно: университет (лекции, преданные глаза учеников), дом (большая семья − 15 детей).

   14 августа 1846г. Лобачевский, без всякого с его стороны желания и вопреки ходатайству совета университета, был уволен от должности ректора. Почти одновременно произошло и освобождение Лобачевского от его профессорских обязанностей, так что с весны 1847г. Лобачевский оказался фактически отстранённым от всякой работы в университете. К этому удару не замедлили присоединиться и другие несчастья: умер любимый сын Лобачевского, взрослый юноша. Его здоровье стало быстро идти на убыль, ухудшилось зрение. Лобачевский скрывал слепоту от жены и детей, учился узнавать людей по шагам. Своё последнее произведение, «Пангеометрию», Лобачевский должен был диктовать.

   Умер он 12 февраля 1856г. в возрасте 63 лет от паралича лёгких. Понимая, что умирает, сказал просто: «Человек родится, чтобы умереть». Ушёл из жизни так тихо, что даже доктор не поверил, все, щупая пульс, капал на лицо свечной воск, следил, не дрогнут ли мускулы. В имении своём посадил Николай Иванович молоденькие кедры и потом часто говаривал: «Ничего, доживём до кедровых шишек». Первые шишки появились в год его смерти. Не дожил.

   III. В чём основная суть геометрии Лобачевского?

   В первой книге «Начал» Евклида знаменитый V постулат звучит непривычно для современного человека: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встречаются с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых».

   Пятый постулат удивлял учёных сложностью своей формулировки. Он больше напоминал теорему, чем постулат. Именно это и сподвигло учёных попытаться доказать его как теорему. Чего, конечно, не получалось.

   Прокл в V в.н.э. переформулировал V постулат в привычном для нас виде: через точку М, лежащую вне прямой t в плоскости, определённой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.  

   Это дедуктивная теория, исходящая из тех же основных понятий, определений, аксиом, что и эвклидова геометрия, с единственным, но, конечно, совершенно фундаментальным исключением, заключающемся в том, что в этой геометрии Эвклидова аксиома параллельных заменена противоположным ей утверждением − аксиомой Лобачевского: к данной прямой через данную, не принадлежащую ей точку можно провести, по крайней мере, две параллельные прямые. На основе этого была построена геометрия, теоремы которой во многих случаях резко отличаются от знакомых нам из школьного курса геометрических теорем, противоречат им, и, несмотря на это, новая, построенная Лобачевским неэвклидова геометрия не содержит никакого противоречия в себе, а является безошибочной математической теорией, в которой все доказательства правильны и безупречны.

   Учёные говорят о том, что наша обычная, эвклидова геометрия вполне удовлетворяет нашему измерению пространственных отношений. Но, возможно, на огромных космических пространствах существуют некие искривления, которым и удовлетворяют геометрические теории, подобные геометрии Лобачевского.

   Без идей Лобачевского были бы невозможны геометрические исследования нового времени, невозможен был бы и геометрический аппарат современной физики. Без открытий Лобачевского не могло бы быть и открытий Эйнштейна, не могло бы быть не только новой математики, но и новой теоретической физики.

   IV. Геометрические иллюзии.

   Изображения могут быть обманчивы. Примером этому могут служить рисунки со страниц 82-83 книги О.С.Шейниной и Г.М.Соловьёвой «Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 классы».

   V. Задачи на признаки параллельности прямых.

   Признаки параллельности прямых помогают установить параллельность в точности, не смотря на иллюзии.

                                                           №1.

      a

       b

                                                           №2.

            B                                     C  

  A                                 D

                                                           №3.

   Дано: AD=DE,, FE=AC

               Доказать: FD║BC                      

                         Доказательство:        

                ∆ABC=∆EDF по I признаку равенства треугольников.

                Значит, = и они являются внутренними накрест      лежащими при прямых FD, BC и секущей AE  FD║BC по признаку параллельности прямых.   Ч.т.д.          

                                                           №4.                                                                        

                                                                               .                                                  

                                                           №5.

   a          

   b

                                                           №6.

                      В

   VI. Подведение итогов.

   Вопрос параллельности не так прост, как кажется. Давайте повторим, что мы знаем по этому вопросу:

1) Кто автор пятого постулата? Как он звучит?

2) Кто переформулировал аксиому параллельности в привычном для нас виде?

3) Кто из русских учёных создал свою неевклидову геометрию? В чём основная суть этой геометрии?

4) Что нам позволяет не заблуждаться по поводу геометрических иллюзий?

5) Сформулируйте признаки параллельности прямых на плоскости.

Тема 10. История числа π. Стихотворные задачи, решаемые с помощью систем линейных уравнений.

   I. Вступление.

   С числом π мы познакомились ещё в прошлом учебном году при изучении формул длины окружности и площади круга. Сегодня мы подробнее узнаем об истории этого числа и о людях, которые пытались определить его точное значение. Число π мы будем часто встречать в алгебре, геометрии и тригонометрии. С этим числом вы встретитесь и при изучении других школьных предметов.

   II. История числа π.

   Более двух тысячелетий назад было подмечено, что длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз. Впоследствии это было строго доказано.

   Отношение длины окружности к её диаметру стали обозначать кратко буквой π − первой буквой греческого слова периферия (περιφερια), что означает окружность. В первый раз этот символ употребил в 1706г. английский математик Вильям Джоне. Всеобщее признание этот символ получил лишь в середине XVIв., после издания «Анализа» Леонарда Эйлера (академика Петербургской академии наук).

   В Древнем Вавилоне считали, что длина окружности больше её диаметра в 3 раза (т.е. π=3). Но древнегреческие геометры уже знали, что π3. То, что число π не целое и не выражается в виде какой-либо простой дроби, создаёт некоторые неудобства. Известен даже случай, когда законодательное собрание штата Индиана (США) приняло закон, по которому число π должно считаться равным 3,2. Понятно, что такой закон пришлось вскоре отменить: число π не подвластно юридическому законодательству.

   Число π можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Было найдено много разных рациональных приближений для числа π. Например, древнегреческий архитектор Витрувий принимал π. Это было очень удобное приближение для строительной практики тех времён, так как, если измерить длину диаметра окружности, то затем легко получить отрезок, длина которого равна длине окружности.

   Архимед (IIIв. до н.э.) нашёл, ещё за несколько столетий до Витрувия, более точное приближение числа π; он показал, что π и принял π.

   Чтобы вычислить приближённо число π, в течение многих столетий поступали так: в окружность с диаметром, равным единице, мысленно вписывали правильный многоугольник с большим числом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника, используя известную «формулу удвоения». Периметр такого многоугольника и принимался равным числу π. Для оценки погрешности такого приближения приходилось рассматривать также периметры правильных описанных многоугольников.

   Так, например, голландский математик Лудольф Ван Цейлен из Лейдена (конец XVI-начало XVIIв.) после десятилетних вычислений подсчитал этим способом число π с точностью до двадцати знаков после запятой. Для этого ему пришлось рассматривать правильные многоугольники с числом сторон 60∙229. Книгу, в которой изложены эти вычисления, он закончил словами: «У кого есть охота, пусть пойдёт дальше». Однако вскоре такую охоту проявил он сам и за следующие 12 лет нашёл ещё 15 десятичных знаков π. Эти 35 десятичных знаков он завещал вырезать на своём могильном памятнике. Вот эта надпись: 3, 14159265358979323816264338327950288…

   Некий Шенкс в 1873г. опубликовал такое значение числа π, в котором после запятой следовало 707 десятичных знаков. Такое длинное число, приближённо выражающее значение π, не имеет ни практической, ни теоретической ценности. Только от безделья для погони за дутыми «рекордами» может в наше время возникнуть желание «переплюнуть» Шенкса: в 1946-1947г. Фергюсон (Манчестерский университет) и независимо от него Wrtnch из Вашингтона вычислили 808 десятичных знаков для числа π и были польщены тем, что в вычислениях Шенкса обнаружили ошибку, начиная с 528 знака.

   Поиски  более точного приближения π продолжились и дальше. Количество знаков после запятой возросло до 500 000.

   Для запоминания приближения Архимеда (π ) существует рифмованная шутка:

22 совы скучали

На больших сухих суках.

22 совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких, В аккуратных серых шкурках.

   Для запоминания цифр в десятичном приближении числа π полезно запомнить следующие словосочетания: «Что я знаю о кругах?», «Это я знаю и помню прекрасно, пи многие знаки мне лишни, напрасны». В этих фразах число букв в каждом слове соответствуют цифрам в записи числа π.

   Подобные рифмованные фраза существуют у французов (30 слов и 126 слов), англичан (13 слов) и у немцев (24 слова).

   III. Стихотворные задачи.

                                                           №1.

   Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома

Их хозяин поклажей большой нагрузил,

Долго-долго тащились дорогой знакомой,

Из последних уже выбиваяся сил.

«Тяжело мне идти!» − лошадь долго стенала.

Мул с иронией молвил (нёс он тоже немало):

«Неужели, скажи, я похож на осла?

Может, я и осёл, но вполне понимаю:

Моя ноша значительно больше твоей.

Вот представь: я мешок у тебя забираю,

И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.

А вот если тебе мой мешок перебросить,

Одинаковый груз наши спины б согнул».

Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?

Сколько нёс на спине умный маленький мул?

                                                           Решение.

   Пусть х − поклажа лошади, у − поклажа мула.

     х+2+1=2х-2

     х=5

     у=7

                                  Ответ: 5 мешков у лошади, 7 мешков у мула.

                                                           №2.

   Рыбу прекрасно готовят тут,

Форель отварная − король всех блюд.

Вот примут заказ. Всё готово. Несут!

По порции рыбы на стол подают.

Но что там за шум? То кричат повара:

«Для порции нам не хватает стола,

И по два на стол мы подать не смогли бы,

Остался бы стол чей-то вовсе без рыбы».

Было бы славно, если б сумели

Определить, сколько порций форели

Надо подать, сколько надо столов

Там, где все хвалят так поваров.

                                                           Решение.

   Пусть х − число порций рыбы, у − число столов.

                              у=3, х=4.

                                       Ответ: 4 порции рыбы, 3 стола.

                                                           №3.

   Говорил принцессе поэт:

«Мне, увы, вдвое больше лет,

Чем вам было тогда,

В былые года,

когда Ваших сейчас я был лет.

Но когда подрастёте (состарюсь ли я?),

будет Вам столько мне сейчас лет

(вместе ж нам, хоть умри,

шесть десятков и три),

буду я Вам любезен, иль нет?».

Интересно, сколько лет каждому из них?

                                                           Решение.

                             х=21, у=14.

                                       Ответ: поэту 28 лет, принцессе 21 год.

                                                           №4.

   Прилетели галки, сели на палки,

Если на каждой палке

Сядет по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

                                                           Решение.

   Пусть х − число палок, у − число галок.

                                 х=3, у=4.

                                       Ответ: 3 палки, 4 галки.

                                                           №5.

   Лев старше дикобраза

В два с половиной раза,

А год назад в три раза

Был старше дикобраза.

Запомните всё это

Для полного ответа.

Учтите всё и взвесьте.

Так сколько лет им вместе?

                                                           Решение.

   Пусть х лет льву, у лет дикобразу.

                                       Ответ: 10 лет льву, 4 года дикобразу, им вместе 14 лет.

   IV. Подведение итогов.

О каком замечательном и необычном числе мы сегодня вспоминали?

Первой буквой какого греческого слова называется это число?

Кто из древнегреческих учёных предложил очень удобное и точное приближённое значение числа π?

Кто-нибудь запомнил стихотворение, позволяющее указать 11 знаков после запятой в записи числа π?

Тема 11. Числовые диковинки. Системы линейных уравнений с параметром.

   I. Вступление.

   В мире чисел, как и мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру».

   II. Числовые диковинки.

   Пройдёмся по галерее числовых диковинок.

2 − первое чётное число, первое простое число, основа самой удобной двоичной системы счисления.

5 − наше любимое число, играющее важную роль при всяких «округлениях», в том числе и при округлении цен.

9 − «символ постоянства». Древние последователи Пифагора считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, имеют сумму цифр, кратную 9.

12 − месяцев в году, единиц в дюжине. 12 − старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за основание системы счисления. Углы и время мы измеряем дюжинами.

13 − «чёртова дюжина» «страшна» для суеверных людей. В Петербурге долго не решались вводить 13 маршрут трамвая, и, пропустив его, сразу перешли к №14. В Ленинграде было немало домов, где 13 номер квартиры пропущен. В гостиницах также нередко отсутствовала комната №13. В Англии учреждены особые «клубы числа 13» для борьбы с этим суеверием.

365 − число дней в году. При делении на 7 оно даёт в остатке 1. Поэтому каждый простой (не високосный) год кончается тем днём недели, каким он начался.

          365=10∙10+11∙11+12∙12

          365=100+121+144=102+112+122

          365=169+196=132+142

999 − наибольшее из всех трёхзначных чисел. Оно гораздо удивительнее, чем 666 − «звериное число».

                               572

         573∙999= 572429                           573-1=572,   9-5=4,    9-7=2

                               999

         947∙999=946053

         509∙999=508491

         981∙999=980019   и т.д.

1001 − число Шахерезады.

         873∙1001=873873

         207∙1001=207207  и т.д.

10101 − даёт удивительный результат при умножении на двузначные числа.

         73∙10101=737373

         21∙10101=212121  и т.д.

   Числовые пирамиды

                              1∙9+2=11                                                        9∙9+7=88

                            12∙9+3=111                                                    98∙9+6=888

                          123∙9+4=1111                                                987∙9+5=8888  

                        1234∙9+5=11111                                            9876∙9+4=88888

                      12345∙9+6=111111                                        98765∙9+3=888888

                    123456∙9+7=1111111                                    987654∙9+2=8888888

                  1234567∙9+8=11111111                                9876543∙9+1=88888888  

                12345678∙9+9=111111111                            98765432∙9+0=888888888

                              1∙8+1=9                                              12345679∙9=111111111

                            12∙8+2=98                                          12345679∙18=222222222

                          123∙8+3=987                                        12345679∙27=333333333

                        1234∙8+4=9876                                      12345679∙36=444444444

                      12345∙8+5=98765                                    12345679∙45=555555555  

                    123456∙8+6=987654                                  12345679∙54=666666666

                  1234567∙8+7=9876543                                12345679∙63=777777777

                12345678∙8+8=98765432                              12345679∙72=888888888

              123456789∙8+9=987654321                            12345679∙81=999999999

   Числовая лестница

Умножая столбиком 111111111 и 111111111, получим красивую числовую лестницу.

111111111∙111111111=123456789876543321

   III. Системы линейных уравнений с параметром.

                                                           №1.

а) Дана система уравнений

   Известно, что пара чисел (5;6) является её решением. Найдите значения а и b.

б) Дана система уравнений    

   Известно, что пара (10;5) является её решением. Найдите значения a и b.

                                                           №2.

   Решите графически систему уравнений , если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при х=5 и у=-3.

                               5a-9=11

                               5a=20

                                a=4

Построив в одной системе координат графики функций, найдём их точку пересечения − (2;1).

                                                           №3.

   При каком значении р график функции: а) у=рх; б) у=рх+1 пройдёт через точку пересечения прямых 6х-у=13 и 5х+у=20?

    +                                      а) 5=р∙3

      11х=33                                                     р=               

          х=3

      5∙3+у=20                                             б) 5=р∙3+1

          у=5                                                       3р=4

                                                                        р=

                                                           №4.

   При каких значениях а и b решением системы уравнений:

а)       является пара чисел (1;1)?

      -2b=-6

         b=3

         a=10+3

         a=13

б)      является пара чисел (-4;-6)?

        +

           -5a=4

            a=-0,8

          1,6+2b=2

            2b=0,4

             b =0,2

                                                           №5.

   На рисунке три графика (1), (2) и (3) линейных функций y=kx+b. Укажите графики, для которых максимальны соответственно:

                                       Решение.

а) наибольшее k у (3);

б) наибольшее b у (1);

в) наибольшее k+b у (2), т.к. это выполняется при х=1,

г) наибольшее 2k2+2kb+b2=2k(k+b)+b(k+b)=(k+b)(2k+b) у (2), т.к.(k+b) наибольшее при х=1, а  (2k+b) наибольшее при х=2.

   IV. Подведение итогов.

1) Какие числовые диковинки вы запомнили?

2) Как зависит расположение графика линейной функции от коэффициентов уравнения?

Тема 12. Числовые великаны. Числовые лилипуты. Задачи со степенями.

   I. Вступление.

   На прошлом занятии мы говорили о числовых диковинках. А чем не диковинки очень большие и очень маленькие числа, которые представить в реальности практически невозможно. И, тем не менее, учась в школе, читая газеты, нам приходится постоянно сталкиваться с упоминаниями о них. Так разберёмся в этом вопросе подробнее.

   II. Числовые великаны.

   Миллион − 1000000.

Книга в миллион страниц имела бы в толщину ≈50 метров.

Миллион букв заключает книга убористой печати в 600-800 страниц среднего формата.

Миллион дней − более 27 столетий. От начала нашей эры не прошло 1000000дней.

   Миллиард (биллион) − 1000000000.

Но в Германии и в Америке под миллиардом иногда разумеют 100000000 (сто миллионов). Этим, между прочим, можно объяснить то, что слово «миллиардер» было в ходу за океаном ещё тогда, когда ни один из тамошних богачей не имел состояния в тысячу миллионов. Огромное состояние Рокфеллера незадолго до войны исчислялось «всего» 900 миллионов долларов, а остальных «миллиардеров» − меньшими числами. Только во время войны появились в Америке миллиардеры в нашем смысле слова (их иногда называют на родине «биллионерами»).

Стопка из средних по размеру книжек, в которых миллиард букв, составит столб высотой с Исаакиевский собор.

Миллиард секунд часы отобьют более чем в 30 лет (точнее в 31,7 лет).А миллиард секунд составляет более 19 столетий.

   Триллион − 1000000000000.

Одним триллионом кирпичей можно было бы, размещая их плотным слоем по твёрдой поверхности земного шара, покрыть все материки сплошным пластом высотою с 4-этажный дом (16 метров).

   Молекула по ширине меньше точки типографского шрифта в 1000000 раз. Триллион таких молекул, нанесённых вплотную на одну нитку, 7 раз обмотают Землю по экватору.

   Квадриллион − 1000000000000000

   Квинтиллион − 1018

   Секстиллион − 1021     

   Септиллион − 1024

   Октиллион − 1027

   Нониллион − 1030

   Дециллион  − 1033

   Эндекаллион − 1036

   Додекаллион − 1040

Далее наименований не имеется.

   Подобные числа мы используем в расчётах и в житейском обиходе. Но в книгах по астрономии и физике мы встречаем эти названия в другом значении: биллион означает не тысячу миллионов, а миллион миллионов, триллион − миллион миллионов миллионов ит.д.

   Биллион − 1012

   Триллион −1018

   Квадриллион − 1024

   …………………………

   Додекаллион − 1072

   III. Числовые лилипуты.

   Секунда, по обычному представлению, есть настолько малый промежуток времени, что с весьма мелкими частями её не приходится иметь дела ни при каких обстоятельствах.

Легко написать − 1/1000 секунды, но − это чисто бумажная величина, потому что ничего не может произойти в такой ничтожный промежуток времени. Так думают многие, − но ошибаются, потому что в тысячную долю секунды могут совершаться весьма различные явления.

   Поезд, проходящий со скоростью 36км/ч, делает в секунду 10м, и, следовательно, в течение 1000-й доли секунды 33см. А пуля, покидающая оружейный ствол со скоростью 700-800м/с, переносится за этот же промежуток времени на 70см. Земной шар перемещается каждую 1000-ю долю секунды, в своём обращении вокруг Солнца, на 30м. Струна, издающая высокий тон, делает в 1000-ю долю секунды 2-4 и более полных колебаний. Даже комар успевает в это время взмахнуть вверх или вниз своими крылышками. Молния длится гораздо меньше 1000-й доли секунды. В 1000000-ю долю секунды свет успевает перенестись на расстояние 300метров.

   В обиходе наименьшая единица длинны − миллиметр. Но для измерения бактерий и других мелких объектов, различимых только в сильные микроскопы, миллиметр чересчур крупен. Учёные обращаются для таких измерений к более мелкой единице − микрону, который в 1000 раз меньше миллиметра. Атом водорода состоит из ядра и электрона. Поперечник электрона измеряется биллионными долями миллиметра, а ядро − тысячебиллионными долями.

   Можно составить следующую поучительную лестницу, в которой каждая ступень является исполином по отношению к предыдущей ступени и лилипутом по отношению к последующей:

   Электрон,

      Атом,

         Пылинка,

            Дом,

               Земной шар,

                  Солнечная система,

                      Расстояние до Полярной звезды.

   Каждый член этого ряда примерно в четверть миллиона раз по длиннее больше предыдущего и во столько же раз меньше последующего.

   IV. Задачи со степенями.

   Удобно записывать большие и малые числа с помощью степеней. Вспомним свойства степеней. Потренируемся преобразовывать выражения со степенями.

                                                           №1.

   Вычислите: а) ; б) 23∙42; в) ; г) ; д) (210)3:233; е) 278:912; ж) 54:125.

                                                           №2.

   Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 е) ; ж) ; з) :; и) .

   V. Подведение итогов.

1)Какие названия чисел, больших 1000000 вы знаете или узнали сегодня?

2) Какой «казус» у слова миллиард?

3) Как отличаются значения больших чисел в математике и астрономии?

4) Перечислите известные вам свойства степеней.

Тема 13. Самуэль Ллойд и его головоломные задачи. Решение логических задач с помощью таблиц (матричным способом).

   I. Вступление.