«Правила вычисления производных»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

                                           ОТКРЫТЫЙ УРОК

                                                                                   Предмет: Алгебра

                                                                                   Класс: десятый

                                                                                   Преподаватель:  Агабабаян М. М.

Тема    “Правила вычисления производных”

   Мне повезло в том, что эта тема одна из моих любимых, т. к. она охватывает многие области науки:

Например, в физике.

1. При решении каких задач применяется производная?

                                          Ответ  при решении задач на нахождении мгновенной            

                                                      скорости  при неравномерном движении тела.

2. А что такое мгновенная скорость?

                                         Ответ   Скорость в момент времени t.

3. А как его найти?

                                         Ответ   Находим  √ ср. =  , а если ∆ t очень мало, то число к которому стремится √ ср. и называется мгновенной скоростью.

На партах рисунки, на которых изображено свободное падение тела. Его движение неравномерное. Здесь вы видите схему вычисления мгновенной скорости в момент времени t,  применяя производную.

Мы несколько раз уже использовали слово “ производная “.

1. Так, кто скажет определение производной функции в точке?

                                                        Ответ:  Производной функции в точке Х0 называется число к которому стремится разностное отношение   .

2. А что означает  ∆Х и ∆f ?

                                              Ответ:  ∆Х = x – x0, a ∆f = f ( x ) – f (x0 )

3. Как вы объясните производную с геометрической точки зрения?

                                               Ответ: Это  tg угла ( f ) наклона касательной, произведенной в точке  x0 с положительным направлением оси  Х.

4. Как называется операция нахождения производной ?

                                              Ответ:  дифференцированием.

5. Кто нам расскажет алгоритм (схему) вычисления производной?

                                              Ответ:  а) Находим ∆f по формуле  ∆f = f ( x ) – f (x0 )

                                                           б) Находим разностное отношение  

                                                           в) Находим число, к которому стремится , когда                    

                                                                ∆Х→0.

Мы упомянули две задачи: физическую, где находим  V мГн. как производную средней скорости и геометрическую, где производная функции является тангенсом угла наклона касательной с положительным направлением оси  х.

Есть еще другие задачи, где необходимо использовать производную;

Например:  При решение квадратного уравнения  ах2 +вх+с   = 0 количество корней определяем с помощью дискриминанта. А если нам потребуется определить количество корней уравнения вида   Какими формулами можно здесь воспользоваться? Тут и нам поможет производная. На это мы не будем останавливаться, т.к. при изучении дальнейших тем, вы вернетесь к этой задаче.

Мы вернемся к нашей теме и вспомним правила нахождения производных:

1. (U+V)1  
2. (UV)1   
3.   ()1  
4. (CU)1   C  ▪
5. ()1  
6. (X n)1   n  ▪

- Все эти правила вы видите на 4 древе формул ( плакат – дерево формул )

- Мы вроде забыли о предыдущей домашней работе, хотя я этот вопрос не задала с

   определенной целю. Так как …?

( Т. е. после блиц вопросов может и не будет вопросов по домашней работе).

- А все – таки остались ли у кого то сомнения по повод домашней работы? Если есть, то  

   поясним силами учеников.

- А теперь посмотрим, умеете ли вы пользоваться справочником?

   На доске примеры на вычисление производных (приложение № 1)

1. (  )1 =                   +

2. ( x 20 ) 1 = 20 x 21             -

3. ( x1 – 3x ) 1 = x – 3         -

4. ( x -  ) 1 = 1+             -

5. ( x -  ) 1 = 1 -        -

6. ( 2x2 – x ) 1 = 4x – 1       -

7. ( -5 x2 – 2x ) 1 = 10x – 2 – 

8. ( ) 1 = 2 – 2

Внимательно изучите решение и дайте ответ:  И  или  Л  данное высказывание?

- Воспользуемся кодированием информации в памяти   @ВМ  и по аналогии попробуем закодировать ответы.

- Как закодируем И,  и как  Л  и что у нас получится?

                                                   А   получится       10001101.

- А теперь  запишем число, классная работа и выполним задание 212 (г), 213 (в)

Перейдем к следующему заданию:

Посмотрите внимательно!  

    На доске на одних листочках  функции, а на других выберите пары соответственных функций и ее производной.

Оставшиеся задания на дом (творческие)  и № 212,213 дополнить, хотя большинство этих заданий было охвачено в примерах но  И  и  Л .

Подведем итог:  В связи с тем, что вы будете сдавать экзамен по математике  в форме  ЕГЭ, где есть задания  и на вычисление производной, подытожим применении правил вычисления производных небольшим тестированием (тест прилагается )

I вар. – задание № 1, 2, 3, 4, 5

II  вар. – задание № 6, 7, 8, 9

Если останется время, провести устную контрольную работу по примерам из приложения 2.

Приложение 2

а) F ( x ) = 4x                             g ( x ) = 3

б) F ( x ) = 5x                            y ( x ) = ( 15 – x )

в) F ( x ) = 2x + 1 )                    y ( x ) = x2

г) F ( x ) =                                g ( x ) = x3

д) F ( x ) = 3x                            y ( x ) =

F1 / F1 ( x ) , g1 ( x ) , ( f + g ) 1    ( f  ▪ g )1     (   )

Позвольте вам предложить на досуг еще одно задание на применение производной.

Вы знаете способы разложения на множители многочлена.

А это – с применением производной!!!

1. Разложить на множители выражение

    x ( y2 – z2 ) + y ( z2 – x2 ) + z ( x2 – y2 ).

    Считая х переменной, а y и z – постоянными фиксированными ( параметрами ) и  

    обозначая заданное выражение через  f ( x ), будем иметь

    f 1 ( х ) = y2 – z2 – 2xy + 2xz = 2x ( z – y ) + y2 – z2 = ( y – z ) ( y + z – 2x ).

    Поэтому

                  f = ( y – z ) ( ( y + z ) x – x2 ) + C,

    где С – постоянная, т. е. в данном случае – выражение, зависящее от параметров y, z.

    Для нахождения    С     в равенстве

                         x ( y2 – z2 ) + y ( z2 – x2 ) + z ( x2 – y2 ) = ( y – z ) ( ( y + z ) x – x2 ) + C

    положим   х = 0;  тогда

                                            y z2 – zy2 = С

     и получим

  f = ( y – z ) ( ( y + z – x ) x – yz )= - ( y – z ) ( x2 – ( y + z ) x + yz )= - ( y – z ) ( x – y ) ( x – z )

  Отметим, что разложение на множители квадратного трехчлена при последнем  

   Преобразовании, очевидно на основании теоремы Виета.

1.   2x17                  2.               3.    4x3 + 7x

4.    x3 + 5                 5.       

6x5 – 10x          34x16         12x2 + 7     2x – 1

-            x4          12x3 – 5         3x2 +