Открытый урок по математике «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной»
презентация к уроку по математике (11 класс)

Слайд 1

Открытый урок по математике Тема: «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной» ГБПОУ МО «Колледж «Подмосковье» Преподаватель- Зубенко Юлия Александровна Группа- СТ 21.11

Слайд 2

Цели урока: И зучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику функции в точке . Способствовать воспитанию интереса у студентов к изучаемой теме и ценностного отношения к полученным знаниям . С пособствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности.

Слайд 3

Чтоб урок шел без запинки Мы начнем его с разминки.

Слайд 4

Математический кроссворд 1. Знак обозначения действия сложения 2. Сумма длин всех сторон многоугольника 3. Геометрическая фигура, состоящая из двух лучей 4 . Тригонометрическая функция 5. Часть прямой, заключенная между двумя точками 6. Равенство , содержащее переменную 7. Сотая часть числа 8. Единица измерения угла 9. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла 10. Часть окружности, заключенная между двумя точками 11. Не имеет ни начала, ни конца

Слайд 7

Задания у доски Что такое функция? Какие функции изучены? Что такое производная? Сколько правил вычисления производной известно? Что такое дифференцирование?

Слайд 8

Функция- это зависимость одной переменной от другой (например, х от у)

Слайд 10

Что такое производная? Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной.

Слайд 11

Таблица производных элементарных функций Функция Производная 1. Линейная 2. Квадратичная 3. Степенная 4. Обратная пропорциональность 5. Показательная 6. Логарифмическая 7. Функция корень 8. Функция синус 9. Функция косинус 10. Функция тангенс 11. Функция котангенс Функция Производная

Слайд 12

Правила дифференцирования (u+v)’ u’+v’ (u-v)’ u’-v’ (uv)’ u’v-uv ’ ( u+v )’ u’+v ’ (u-v)’ u’-v’ ( uv )’ u’v-uv ’

Слайд 13

Задания у доски:

Слайд 14

Физический смысл производной Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени С точки зрения физики это выглядит вот так:

Слайд 15

Физический смысл производной Пример: Точка движется прямолинейно по закону Найти её скорость в момент времени t=4 . Решение: м/с

Слайд 16

Физический смысл производной Задача №1. Путь, пройденный материальной точкой, задается следующей функцией времени: S =3 t ²-2 t +4. Найти скорость движения точки на 5-й секунде. Задача № 2. Высота тела, брошенного вертикально вверх меняется в зависимости от времени по закону Н= 200 t -4,9 t ² . Найти скорость тела на 10-й секунде. Задача № 3. Два тела движутся прямолинейно: одно по закону S = t ³+ t ²-27 t , другое по закону S = t ²+1. Определите момент, когда скорости этих тел окажутся равными. Задача № 4. Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S=2t²+3t-1. Найти кинетическую энергию тела ( mV ²/2) через 3 с после начала движения.

Слайд 17

Геометрический смысл производной Значение производной функции в точке a равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абсциссой a :

Слайд 18

Геометрический смысл производной Пример: Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции y= в точке (2;-4). Решение: Так как y’(x)= tg α , то tg α =1= 45º

Слайд 19

Геометрический смысл производной

Слайд 20

Геометрический смысл производной Задача №1. Найти угловой коэффициент касательной к параболе при Задача №2. Найти угол наклона касательной к кривой в точке, абсцисса которого равна 2 .

Слайд 21

Геометрический смысл производной

Слайд 22

Геометрический смысл производной

Слайд 23

Физкультминутка 1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П ». 2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? 3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху?

Слайд 24

Физкультминутка Результаты: « ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности « ППП» – типу мыслителя. (Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Слайд 25

Применение производной в биологии Биологический смысл производной заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей . Популяция- это совокупность особей данного вида, занимающих определенный участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а так же является элементарной единицей эволюции. На языке математики популяция микроорганизмов – это функция, а время – аргумент . ВЫВОД: Значит, скорость роста популяции есть производная численности популяции в момент времени t.

Слайд 26

Применение производной в биологии Задача : Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов x(t) и временем t её размножения задана уравнением: x (t) = 3000 + 100t² . Найти скорость роста популяции в момент t = 1 c.

Слайд 27

Применение производной в экономике Экономический смысл производной связан с производительностью труда. Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. В экономике очень часто объем произведенной продукции задается конкретной формулой . Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t , необходимо найти предельное значение средней производительности за период времени Δt , т.е. у´(t). На языке математики производительность - функция, а время - аргумент. ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

Слайд 28

Применение производной в экономике Задача: Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).

Слайд 29

Применение производной в строительстве 1. В строительстве мостов- зависимость нагрузочного момента в расчетной точке от расстояния до ближайшей опоры моста, что является залогом прочности и безопасности моста . 2. В архитектуре, строительстве и эксплуатации зданий- распределение нагрузки для устойчивости конструкции и оптимальное использование строительных материалов.

Слайд 30

Применение производной в строительстве 3. При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана.

Слайд 31

Подведение итогов урока Давайте вспомним, каковы были цели, поставленные нами в начале урока? Достигнуты ли цели? Что удалось? Какой этап урока вам показался наиболее интересным? Что не получилось?

Слайд 32

Домашнее задание

Слайд 33

“Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз, Поэзия - пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика способна достичь всех этих целей ”. американский математик Морис Клайн .