Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему
Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл" расчитан на 2 урока.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 556.44 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема «Производная, ее геометрический и механический смысл»
Цели урока:
учебная: изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику функции в точке.
воспитательная: способствовать воспитанию у школьников интереса к изучаемой теме и ценностного отношения к труду и полученным знаниям.
развивающая: способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности
О б е с п е ч е н и е з а н я т и й
Наглядные пособия: портреты математиков, высказывания ученых, программа «Математика 9-11».
Раздаточный материал: карточки с заданиями, микроплакаты с формулами, макеты передвижных графиков
Технические средства: ПК IBM
Литература: А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс часть 1 и 2
Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:
Кто такой учёный? Определение. Тот, кто ночами, забыв про кровать.
Усердно роется в книжной груде.
Чтобы ещё кое-что узнать
Из того, что знают другие люди.
(П. Хейн)
1. Организационный момент (3 минуты)
Организационный момент: приветствие, проверка посещаемости, ответы на вопросы по д.з.
2. Сообщение темы урока и целей занятия.
Вступительное слово (5 минут)
"Мир - рвался в опытах Кюри Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи…»
Эти строчки в одном из своих стихотворений написал поэт Андрей Белый. Это был только 1921 год... За полтора десятка лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век! Но как он смог?! Андрей Белый - это литературный псевдоним, а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета.
Но почему же мы знаем о его литературных достижениях и о Борисе Бугаеве математике знаем совсем мало?! А дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке, когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много, но самая престижная - Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях). Так, например мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому, что у её основателя Альфреда Нобеля была невеста и друг – математик, который отбил её у него… После чего Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, совершить открытие, вывести формулы самим, и как знать, может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и, наконец-то, обратит внимание на математиков!
Итак, начинаем исследовательскую часть.
3. Актуализация опорных знаний
Работа идёт в группах. Ученики берут лист с заданием и выполняют это задание в тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри группы.
Математики. Лист №1.
Пусть дан график f(x).
Рассмотрим точку М0 с абсциссой xo. Пусть ∆х - это изменение абсциссы от точки xo до х, т.е. ∆х = х - xo , M0М – секущая, M0N – касательная.
Найдите
а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);
б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная - это предельное положение секущей)
Решение: f(x) – заданная функция, ∆х = х - xo – изменение абсциссы от точки xo до х
vср = . В нашем случае kсек =
При х→х0 (или ∆х →0) будет f(x)→f(x0), следовательно, M0М→ M0N. Тогда k кас = .
Вопрос: Скажите, а вы знаете, кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?
- Да. Буква «∆» - одна из заглавных букв греческого алфавита ее стал использовать Эйлер (сер. 18 века).
Физики. Лист №1:
Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета - точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение точки М будет описываться функцией
s = s (t), t[ t0 ; t].
Найдите:
а) среднюю скорость за отрезок [t0 ; t];
б) скорость точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: За промежуток времени длительности t - t0 между моментами времени t0 и t точка проходит путь равный s(t) –s(t0 ).
Среднюю скорость получают, разделив перемещение материальной точки s на изменение времени, в течение которого оно совершено.
Тогда vср = ;
Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать движение. А мгновенной скоростью называется предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0. Тогда
Биологи. Лист №1.
Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение начального интервала времени от t0 до t происходит по некоторому закону y = N(t).
Найдите:
а) среднюю скорость изменения количества бактерий за промежуток времени [t0 ; t];
б) скорость изменения количества точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).
Решение: В физике для нахождения средней скорости делят длину перемещения тела s на время, в течение которого оно совершено, т.е. vср = . В нашем случае vср = .
Мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0 является предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t→ t0.
Тогда .
4. Изучение нового материала (15-20 мин)
Подобные задачи рассматриваются и в экономике, и в анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство» или «объем реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».
А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к пределу отношения разности значений функции к разности значений аргумента. В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост».
Так как ∆х показывает на сколько изменилось начальное значение аргумента х0, то ∆х называют «приращением аргумента».
Приращению аргумента соответствует «приращение функции», которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы «∆». Исходя из этого полученную формулу можно записать по-другому: или и прочитать так: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х →0 ( или при ∆ t→0).
Поскольку многие задачи в различных областях науки в процессе решения приводят к такой же модели - этому пределу надо: дать название, дать обозначение и изучить его. Это мы с вами сейчас и сделаем.
Математически предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х→0 называется производной в точке xo, но обозначается по-разному:
f′(х), f′, у′ - эти обозначения для производной ввел Жозеф Луи Лагранж
или - эти обозначения ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц (разности xo - xo и у - уo он обозначил как dx и dy, d – первая буква в латинском слове diferentia означающее «разность»). В своих трудах он писал: «…Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx, - ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед…»
Это определение вы запишете в тетрадях, а я - на доске:
Пусть функция f(x) определена в точке xo и в некоторой её окрестности. Дадим точке xo приращение ∆х. Тогда производной в точке xo называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х →0 а именно: f′(х0) = lim |
Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. учащиеся должны ответить:
1. Задать функцию f(x).
2. Задать приращение аргументу и найти приращение функции … ∆у = f(x0 +∆х) – f(x0).
3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента...
4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х→0
Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради
Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния: s'(t) = v(t);
Геометрический смысл: f'(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох
f'(хо) = k = tg α.
Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что? (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот - если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке пока не обращается внимание, фраза записывается на доске в таком виде и дальше продолжаются обсуждения.
записывается под определением на доске …Если существует производная в точке хо, то можно провести касательную в точке хо. Наоборот - если можно провести (…) касательную в точке хо, то в этой точке существует производная. |
Итак, подведём итог: вы сами дали мне определение производной, но встаёт вопрос: а всегда ли существует производная в точке? Возьмите модели в руки. На них вы видите график некоторой функции у = f(x). А теперь давайте покрутим окружность с графиком вокруг центра и рассмотрим различные положения кривой и касательной к ней.
Рассматриваются различные случаи... Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох и параллельна оси Ох.
Всегда ли существует ли производная в точке хо?
Задается ряд вопросов:
Если касательная к графику функции будет убывающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? | Угол будет тупым. |
Каким будет угловой коэффициент k ? | k < 0 |
Если касательная к графику функции будет возрастающей, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? | Угол будет острым. |
Каким будет угловой коэффициент k ? | k > 0 |
Если касательная к графику функции будет параллельна оси Ох или совпадать с ней, то каким будет угол между этой прямой и осью Ох? | Угла не будет, вернее α = 0º |
Чему равен тангенс угла наклона такой касательной? | tg 0º = 0 |
Чему равен угловой коэффициент k касательной, параллельной оси Ох? | Также не существует! |
Чему равен угол наклона вертикальной касательной? | α = 90º |
Чему равен тангенс угла наклона вертикальной касательной? | tg 90º не существует. Почему? Потому, что cos 90º = 0… |
Чему равен угловой коэффициент k вертикальной касательной? | Также не существует! |
Давайте вернёмся к геометрическому смыслу производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке f'(хо) = k = tg α.
Мы получили, что не во всех точках существует производная.
Как же так? Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке, то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?! Подумайте, что же вы сделали не так, и исправьте фразу. "
Далее учащиеся возвращаются к предложению, написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:
Если в точке можно провести невертикальную касательную, то в этой точке существует производная, и наоборот, если в точке существует производная, то в этой точке можно провести невертикальную касательную |
5. Закрепление нового материала
Самостоятельная работа в группах (15-20 минут)
Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2
Биологи
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = C.
Решение
y = C – постоянная линейная функция.
∆у = f(x +∆х) – f(x)= С – С = 0; = 0,
то у′ = = = 0.
Итак, ( С ) ′= 0.
Физики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = kx + b.
Решение
y = kx + b – линейная функция.
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x + ∆х) – f(x)=
= k (x +∆х) – (kx + b) = k∙x + k∆∙х – kx - b = k∆∙х
= k = k.
Итак, (kx + b)′ = k.
Математики
Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции y = х2.
Решение
y = х2 .
Аргументу х дадим приращение ∆х, тогда
∆у = f(x + ∆х) – f(x)=
= (x +∆х)2 – х2 =
= х2+ 2∙х∙∆х + (∆х)2 - х2 = 2∙х∙∆х + (∆х)2 = ∆х∙(2х +∆х)
= 2х = 2х.
Итак, (х2 )′ = 2х.
6 этап. Закрепление нового понятия
Работа с программой «Математика 10-11».
1. Инструктаж по технике безопасности.
2. Инструктаж по работе с программой.
3. Просмотр и прослушивание темы: «Производная», «Пример 1»,
«Пример 2». Решение задач 1 и 2.
Просмотр и прослушивание темы: «Задачи о касательных», «Пример 1»,
«Пример 2», «Пример 3». Решение задач 1 и 2.
Просмотр и прослушивание темы: «Механический смысл производной»,
«Пример 1», « Пример 2».
Решение задачи 1.Прослушивание, просмотр, запись….
7 этап. Итог урока
Вопросы учащимся:
Что называется производной в точке?
Сформулируйте физический смысл производной?
Геометрический смысл? Когда существует производная?
Какой момент был самым интересным на уроке?
Какой был самым трудным?
Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию - вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.
Почему крокодил?
Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!
Этого я и вам желаю! "
Оценки за работу на уроке...
8 этап. Домашнее задание
Выучить теорию по учебнику §27-28, № 27.1-27.4
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/12/03/picture-157269-1354559307.png)
Открытый урок по основам философии Тема:Философская проблема смысла жизни
Цели:- Сформировать понятие о философской проблеме смысла жизни человека, показать жизненную значимость ее решения для каждого человека; познакомить с решениями данной проблемы в рамках различных фило...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/02/picture-52141-1359796523.jpg)
Конспект и презентация открытого урока по обществознанию в 7 классе "Поиск смысла жизни"
Урок - часть темы:" Социальная сфера". Цель урока - ориентация учащихся на выбор жизненного пути....
Открытый урок по физике в 7 классе "Механическая работа"
Открытый урок по физике в 7 классе...
![](/sites/default/files/pictures/2017/02/25/picture-898778-1488044379.jpg)
Разработка урока и презентация "Производная. Геометрический и механический смысл производной"
Цели:• Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.•Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость з...
![](/sites/default/files/pictures/2017/12/04/picture-981715-1512373688.jpg)
Открытый урок в 7 кл. на тему: "Механическая работа. Мощность."
Открытый урок в 7 кл. на тему: Механическая работа. Мощность.", который я проводила для аттестации....
![](/sites/default/files/pictures/2018/10/24/picture-1073840-1540397313.jpg)
Домашнее задание по теме " Геометрический и механический смысл производной"
Работа по заданиям- прототипам открытого банка заданий ЕГЭ....
![](/sites/default/files/pictures/2023/12/02/picture-1499183-1701539493.jpg)
Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования
Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования...