Главные вкладки

    Разработка урока и презентация "Производная. Геометрический и механический смысл производной"
    методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

    Чуйкова Татьяна Николаевна

    Цели:

    • Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.

    •Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач.

    •Познакомить с применением производной в различных профессиях.

    • Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля.

    • Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл razrabotka_uroka.docx53.27 КБ
    Файл prezentatsiya_uroka.pptx214.68 КБ

    Предварительный просмотр:

                       Разработка урока

                                                        учителя математики

                                                        ОШ І – ІІІ ступеней № 24 г. Тореза

                                                        Чуйковой Татьяны Николаевны

    Класс: 11

    Тема "Производная. Геометрический и механический смысл производной”

    Цели:

    • Обобщить и систематизировать материал по данным темам, провести подготовку к контрольной работе, к сдаче ВНО.

    •Показать связь понятия производная с геометрией и физикой, показать необходимость знания материала темы при решении прикладных задач.

    •Познакомить с применением производной в различных профессиях.

    • Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля.

    • Воспитывать на уроке упорство в достижении конечных результатов, аккуратность, умение применять знания на практике, честность.

    Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

    Оборудование: презентация “производная”, карточки для проведения теста,  оформление для доски, оценочные листы, съемный диск поэтапного показа урока, индивидуальный раздаточный материал для учащихся, презентации подготовленные учащимися.

    Ход   урока

    І. Организационный момент

    В начале урока каждому учащемуся выдается оценочный лист, где он отмечает, как выполнил каждое задание из предложенных. Карточки для проведения теста, заготовки для участия в этапах урока. Объявляется тема урока, девиз, учащиеся определяют цели урока по теме. Учитель дополняет. (слайд 2)

    ІІ. Мотивация

    Вопрос: Зачем  мы сегодня обобщаем и систематизируем материал по теме «Производная» ?

    Ответ: Для написания контрольной работы, для успешной сдачи ГИА, для углубления и расширения знаний по данной теме.

    ІІІ. Актуализация знаний.

    1. Цветок понятий  (ассоциативный куст)

    / Работа в группах /

    Задание: Учащиеся  на заготовленных листах записывают понятия,  которые были изучены на протяжении темы.

           

    Проверка и выставление баллов (слайд 3) /самооценка/       

    1. Лукошко формул

                                      /работа в парах/

    Задание:  На заготовленных листах учащиеся записывают изученные формулы, правила дифференцирования.

                                                     

    (x) ̓ = 1                                                 (u*v) ̓ = u ̓ *v +u*v ̓

    (cos x) ̓ = - sin x                                           …

    Проверка и выставление баллов (слайды 4, 5) /взаимооценка/

    ІV. Решение задач

    1. Тест (с выбором ответа)

    Вариант 1 предлагается учащимся, усваивающим материал на оценку «4 – 6» и получают за выполнение 1 балл, В – 2  на «7 – 9»и 2 балла, В-3 на «10 – 11» и  3 балла. Верные ответы проверяются с помощью слайда № 6:

    Тест

    Найти производную функции

    В-1

    В-2

    В-3

    1

    у = х17

    у =

    у =

    А x33                                       Б x16                              В 17x16                   Г 

    2

    у =

    у = 2х5

    у = 5х4 +

    А 10x5  -                  Б 20x3 -                    В 10x4 +             Г x4   

    3

    у =

    у =

    y=

    А             Б                             В           Г

    4

    у = 2 – sinх

    у = х3 ∙ sinх

    у = ln cosx

    А - tgx                      Б cosx                        В 3x2 sinх + х3 cosx       Г - cosx

     В-1                                                      В-2                                                        В-3

    А

    Б

    В

    Г

    1

    Х

    2

    Х

    3

    Х

    4

    Х

    А

    Б

    В

    Г

    1

    Х

    2

    Х

    3

    Х

    4

    Х

    А

    Б

    В

    Г

    1

    Х

    2

    Х

    3

    Х

    4

    Х

             1)* Индивидуальное задание для сильных /личное первенство/ .
    Продифференцировать все функции (ответы не обязательно упрощать).

    1) ;

    2) ;

    3) ;

    4) .

    Ответы проверяются взаимопроверкой :

                    1) ;

                     2) ;

                   3) ;

                  4) .

    1. Геометрический смысл производной

    Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о геометрическом смысле производной, проговаривают, что применяется  практически при нахождении касательной к графику функции, решении задач на определение угла наклона касательной к графику функции, относительно положительного направления оси ОХ.

    (слайды 7, 8 )

    Уравнение касательной к графику функции в общем виде записывается  на доске (слайд 9).

    Повторение алгоритма написания уравнения касательной к графику данной функции в точке с абсциссой  . Двое учащихся у доски решают.

    Задание 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x – 4 в точке с абсциссой  = -2 (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).

    Решение:

    1. Находим производную функции: у΄ = 2x
    2. Находим значение производной функции в точке= -2:  y’(-2) = - 4
    3. Находим значение функции в точке   = -2: у(-2) = 0
    4. Подставим в уравнение касательной найденные значения и получим ответ: у = -4х – 8

    Задание 2. Найти, под каким углом ось ОХ пересекает параболу  у=х² + х (один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях).

    Решение:

    1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ (у = 0)  : х² + х =0;

     х= 0, х= -1. Точки пересечения параболы с осью ОХ имеют координаты

     А(-1;0) и В(0;0);

    2. Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках А и В:

         а) производная функции равна у΄ = 2x + 1,

         б) y΄ (-1) = -1=k,  y΄ (0) = 1 = k,

    3. Углы, образованные касательными в точках пересечения параболы с осью       ОХ:  tg α₁=-1, α₁ = 135°;   tg α₂= 1, α₂ = 45°.

    Ответ:  α₁=  = 135°,  α₂=  45°.

    Задание 3. (дифференцированная самостоятельная работа учащихся)

    (слайд 10):

    а) Дана функция у(x) = x² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = 2.

    б) Дана функция у(x) = Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = - 4.

    в) Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами = 0 и  = π / 2 .

    Первый пример оценивается “1 б”, второй– “2 б”, третий– “3б”. Решение в тетрадях с последующей взаимопроверкой.

    Ответы проверяются (слайд  11) и выставляются баллы /взаимооценка /:

    а) у = 2х – 4,

    б) у = - 1,5х - 9 ,

    в) у = 2х и у = -2х + π .

    3) Механический смысл производной

    Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о механическом смысле производной, проговаривают, что применяется  практически при решении задач на прямолинейное движение и равноускоренное(слайд 12).

    Задание 1.Сегодня мы с вами решим 2 задачи (слайд 13)

    Задача 1 Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)

    Задача  2.Лыжник , спускаясь с горы, движется по закону  s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника  в момент времени   t= 3 с, если расстояние измеряется  в метрах. Какое  это движение? (v(3) = 2 м/с;

    а = 1 м/с; равноускоренное движение)

    Задание 2. Класс  делится на 4 группы и каждая получает задание по своей профессии(слайд 14) :

    «Конструкторы»

    1. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10 см масса куска стержня АС длиной l определяется по формуле m (l) = 4l2 + 3l. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка.                                   Решение

    ṗ (l) = m΄ (l) = 8l + 3 ; ṗ (5) = 8∙5 + 3 = 43 (г/см)Линейная плотность в точке С есть производная по l от переменной массы  m (l).

    Ответ: 43 (г/см)

    «Электрики»

    2. Количество электричества, прошедшего через проводник начиная с момента t = 0, q (t) = 2t2  + 3t + 1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.

    Решение

    I (t) = (t) = 4t + 3 (A) ;

    I (5) = 4∙5 + 3 = 23 (A).

    Ответ: 23 А.

    «Работники теплосети»

    3. Количество тепла Q, необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 °С до t °С, определяется по формуле Q (t) = t + 0,00002t2 + 0,0000003t3. Вычислите теплоемкость воды для t = 100 °С.

    Решение

    C (t) = Q ΄(t) = 1 + 0,00004t + 0,0000009t2 ;

     (100) = 1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж).

    Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.

    Ответ: 1,013 (Дж).

    «Диспетчеры»

    1. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t2  (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с.

    Решение

    v (t) =  (t) = 2 + 2t

    a (t) =  (t) = 2 (м/с2)

    v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с).

    Ответ: 8 м/с; 2 м/с2.

    Проверяют по карточкам с ответами, выставление баллов  /взаимооценка/

    Y. Задание на дом : 1) задание для каждой группы без того, которое было решено на уроке; 2) задание на перспективу : создание проекта «Применение производной»

    YІ. Итог урока.Выставление оценок. (слайды 15, 16)

     По плану:

    1. Какие темы мы повторили на уроке?
    2. Какие типовые задачи решили?
    3. С какими науками связано понятие производной?
    4. Что узнали нового на уроке?
    5. Что понравилось на уроке?
    6. Что не понравилось?

    YІІ. Рефлексия (слайд 17)

    Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Что это означает?

     Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают.

    Приложение

            

    Листок самоконтроля

    Фамилия, имя________________________________

    №п/п

           Вид работы на уроке

    Количество возможных баллов

    Количество полученных баллов

    1.

    Цветок понятий

    1

    2.

    Лукошко формул

    1

    3.

    Тест

    1, 2, 3

    4.

    Уравнение касательной

    2, 3, 4

    5.

    Физический смысл производной

    3

    Итого

    12

    Проект  «Применение производной».

      Нам предстоит  подготовить проект о применении производной, для этого необходимо провести небольшое исследование с рабочим названием «Где применяется производная».

    В ходе проектно-исследовательской работы вы должны найти профессии, в которых знание производной необходимо.

    Группа 1  «Применение производной в математике»

    Из истории возникновения дифференциального исчисления. Задача Дидоны. Ученые- математики основоположники дифференциального исчисления.

    Группа 2  «Применение производной в физике и  астрономии»

    Скорость, ускорение. Сила тока. Теплоемкость. Работа. Магнитный поток. Закон изменения количества вещества. Закон изменения давления. Скорость движения планет. Всплески солнечной активности. Математическое моделирование. Решение задач.

    Группа 3  «Производная в биологии, химии и медицине»

    Процессы органического роста. Изменение численности популяции. Скорость протекания химической реакции. Анализ динамики болезни и закономерности протекания защитной реакции организма. Быстрота растворения лекарственных веществ в организме. Решение задач.

     Группа 4 «Применение производной в экономике»

    Задачи оптимизации. Нахождение оптимальной  прибыли, оптимального налогообложения предприятия, оптимальной производительности труда. Решение задач.

    В результате работы над проектом необходимо подготовить:

    • Мультимедийную презентацию

          «Практическое применение производной»

    • Буклет

          Производная – «Знания для жизни»

    • Банк заданий   Задачи оптимизации (в физике, химии, биологии, медицине, технологии, геометрии, строительстве, гидравлике).


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    1 производная Определение производной, ее геометрический и физический смысл ПРЕЗЕНТАЦИЯ ПОДГОТОВЛЕНА УЧИТЕЛЕМ МАТЕМАТИКИ ОШ № 24 г. Тореза ЧУЙКОВОЙ ТАТЬЯНОЙ НИКОЛАЕВНОЙ

    Слайд 2

    2 • Обобщить и систематизировать материал по темам «Производная», «Геометрический и механический смысл производной», провести подготовку к контрольной работе, вести подготовку к ГИА. • Показать связь понятия производной с геометрией и физикой, необходимость знания материала темы при решении прикладных задач. • Познакомить с применением производной в различных профессиях. • Развивать логическое мышление, самостоятельность, умение анализировать, навыки самоконтроля . Цели урока :

    Слайд 3

    3 ПРОИЗВОДНАЯ УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ И.НЬЮТОН, Г.ЛЕБНИЦ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ПРИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

    Слайд 4

    4 ЛУКОШКО ФОРМУЛ (u*v) ̓ = u ̓ *v +u*v ̓ (x) ̓ = 1 (cos x) ̓ = - sin x

    Слайд 5

    5 Производные основных элементарных функций, правила дифференцирования

    Слайд 6

    6 Верные ответы: В – 1 В – 2 В – 3 ТЕСТ А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х А Б В Г 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х

    Слайд 7

    7 Геометрический смысл производной Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

    Слайд 8

    8 х y 0 k – угловой коэффициент прямой( касательной ) Касательная Угловой коэффициент касательной можно найти как предел выражения:

    Слайд 9

    9 КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ y = f ( x 0 ) + f ’ ( x 0 ) ( x - x 0 )

    Слайд 10

    10 1. Дана функция у(x) = x ² – 2х. Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой = 2 ( 2 балл ) 2. Дана функция у(x) = 6/(х + 2). Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой ( 3 балла ) 3. Дана функция у(x) = sin 2x . Напишите уравнения касательных к графику этой функции в точках с абсциссами = 0, = п/2 (4 балла) = - 4.

    Слайд 11

    11 Верные ответы: 1. 2. 3. У= 2Х - 4 У= -1,5Х - 9 У= 2Х И У= -2Х + п

    Слайд 12

    12 Механический смысл производной Мгновенная скорость ( v ) – это производная пути ( s ) по времени ( t ). Ускорение ( а ) – это производная скорости ( v) . a (t) = v ΄ (t) v (t) = s ΄ (t)

    Слайд 13

    13 Задача 1. Лифт после включения движется по закону s ( t ) = t ² + 2 t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды. Задача 2. Лыжник, спускаясь с горы, движется по закону s ( t ) = 0,5 t ² - t . Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t = 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение ? зАДАЧИ

    Слайд 14

    14 Выбираем профессию конструктор диспетчер работник теплосети ЭЛЕКТРИК

    Слайд 15

    15 Листок самоконтроля п / п Вид работы Баллы 1. «Цветок понятий» 1 2. «Лукошко формул» 1 3. Тест «Значение производной» 1, 2, 3 4. Касательная к графику функции 2, 3, 4 5. Физический смысл производной 3 итого 12 Фамилия, имя________________________

    Слайд 16

    16 ПЕРЕВОД БАЛЛОВ В ОЦЕНКУ 10-12 5 7-9 4 4 -6 3

    Слайд 17

    17 Какие темы мы повторили на уроке? Какие типовые задачи решили? С какими науками связано понятие производной? Что узнали нового на уроке? Что понравилось на уроке? Над чем ещё нужно поработать ? Итог урока

    Слайд 18

    18 Обсуждая успехи своего ученика, учитель сказал : « Он очень мало знает, но у него положительная производная.» Что это означает ? Это значит, что скорость приращения знаний у ученика положительная и его знания возрастают .


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции

    В данной методической разработке рассматривается введение понятия производной, ее геометрического и физического смысла. Разбираются примеры и весь материал базируется на применении презентации....

    Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл"

    Открытый урок на тему "Производная, ее геометрический и механический смысл" расчитан на 2 урока....

    « Геометрический и физический смысл производной. Применение производной»

    Урок   обобщающего  повторения по теме:« Геометрический и физический смысл производной. Применение производной». Урок сопровождается презентацией....

    Понятие производной. Механический смысл производной.

    Цель:- образовательная: ввести понятие производной, используя для этого понятие мгновенной скорости в физике, уметь находить производную простейших функций с помощью определения-воспитательная: формир...

    Проверочная работа по теме "Производная. Геометрический и физический смысл производной. Исследование функции по графику производной".

    Данная  проверочная работа может быть использована как  для проверки знаний после окончания прохождения темы, так и в ходе итогового повторения  при подготовке к ЕГЭ. Работа составлена ...

    Презентация по алгебре в 11 классе на тему: "Геометрический и физический смысл производной"

    Систематизировать знания учащихся по данной теме и подготовить их к контрольной работе; показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач; обратить внимание ...

    Домашнее задание по теме " Геометрический и механический смысл производной"

    Работа по заданиям- прототипам открытого банка заданий ЕГЭ....