урок по теме"Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными"
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) на тему

ТЕМА УРОКА: «РЕШНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»

Цели  уроков:

Образовательные: закрепить изученный материал, совершенствовать умения применять способы решения систем уравнений при решении примеров, применять свойства функций.

Развивающие:        способствовать  формированию  умений  применять  приёмы  переноса  знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  мышления и  речи,  внимания  и  памяти;

Воспитательная: содействие  воспитанию  активности,  аккуратности  и  внимательности, развитие навыков самоорганизации и самоконтроля,  самостоятельности.

Тип урока:        урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: доска, индивидуальные карточки

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.

Литература: Дидактические материалы по алгебре и началам анализа» Б.Г. Зив, В.А. Гольдич, сборник заданий для подготовки письменного экзамена за курс средней школы, ЕГЭ (актив-тренинг) под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко, интернет-ресурс «Решу ЕГЭ»

I.Организационный момент.

II. Устная работа

Математический диктант:

Вопросы – задания. 
На которые ученик отвечает «да» или «нет» 

1. Логарифмическая функция y=logаx определена при любом х.(0) 
 2.Область значений логарифмической функции является множество действительных чисел.(1) 

3.Область определения всех тригонометрических функций является множество действительных чисел (1)

4.Областью значения фунций у=cosx; y=sinx является отрезок [-1;1] (1)

5.Областью значений функции у=ах является множество действительных чисел (0)

6.Область определения функций у= tgx, где  x=(0)

 7.Функция y=log аx , где а >1– возрастающая.(1) 
 8.Функция y=logаx при 0
 9.Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1;0).(0) 
 10.График функции y=logаx пересекается с осью Ох.(1) 

11.Графики тригонометрических функций имеют наименьший период Т=2πк(0)
12.Областью определения степенной функции является множество положительных чисел (1)
 13.График четной функции симметричен относительно Ох.(0) 
14.График нечетной функции всегда находится в I и Ш четвертях.(0) 

 15.График логарифмической функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0).(1) 

Да(1); Нет(0) 

В это время 5 сильных учеников решают по карточкам.

Вспомним  основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.
2. Метод алгебраического сложения уравнений.
3. Метод замены переменных.
4. Метод разложения на множители
5. Графическое решение систем уравнений.

Вспомним основные графики через решения систем (решения задач по карточкам)

1. Метод подстановки.

Пример 1. Решите систему уравнений 

                                                х2+у2=2,5ху

                                                х+у=0,25ху  (для более сильных учащихся)

Решение. Из второго уравнения находим:  . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: , или после упрощения . Корнями этого уравнения являются числа , . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:                            

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения: .

        2. Метод алгебраического сложения уравнений.

Пример 2. Решите систему уравнений: 

Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему:  т.е.

Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

                            т.е.

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение , а вторая . Значит, решение данной системы имеет вид: .

        3. Метод замены переменных.

Пример 3. Решите систему уравнений: 

Решение. пусть u=, v=, тогда получим более простую систему  равносильную исходной. Решив полученную систему, будем иметь: . Перейдем к переменным х и y, и решим совокупность двух систем уравнений:

1)    или                     т.е.  

2)               .           Ответ: .

4. Метод разложения на множители:

Пример 4.   Решите систему уравнений: 

Решение. Второе уравнение системы представим в виде: . Тогда данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

1.   или , значит  и решением первой системы будет .
2.    или  ,  значит   и решением второй системы будет       Ответ: .

        5. Графическое решение систем уравнений.

Пример 5. Решите несколькими способами систему уравнений: 

Решение. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение  - парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А(-6; 0); В(0; 6); С(6; 0).

Рассмотрим примеры решения систем уравнений, содержащих тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения.

Пример 6. Решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем первое уравнение данной системы с помощью соответствующих формул к виду , складывая и вычитая уравнения полученной системы перейдем к системе тригонометрических уравнений вида

          или  . Из полученной системы находим

         откуда следует

Ответ: .

Пример 7. Решить систему уравнений: 

Решение. Заменим данную систему на равносильную ей, воспользовавшись свойствами степеней: . Обозначим ; . Система примет вид:   Решив её методом подстановки, получим и = 1, v = 2, т.к. полученные значения удовлетворяют условиям ; , перейдем к системе

, откуда получаем  х = 0, y = 1.    Ответ: .

Пример 8.  Решить систему уравнений: .

Решение. ОДЗ:      

                          у+3х > 0

Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:

  или  

Так как уравнение  равносильно совокупности двух систем, то и полученная система равносильна совокупности двух систем:

1)           Так как х = -6 не входит в ОДЗ, то решение первой системы является только пара (1; 1).

2)             Так как х = 3 не входит в OДЗ, то решением является пара (2; 4).                  Ответ: {(1; 1); (2; 4)}.

Пример 9.  Найти все а, при которых система   имеет 2 решения.

Найти все параметры а, при которых система    (|x|-4)2+(y-4)2=9

                                                               (x+1)2+y2=a2      имеет 3 решения

Решение. ОДЗ: х>0 данная система уравнений равносильна системе   . Полученная система уравнений имеет 2 решения тогда и только тогда, когда уравнений (2) системы имеет два положительных корня. Исследуем уравнение (2)

                                 .

Так как  по теореме Виета  , то указанные условия будут иметь место, если имеет решение следующая система двух неравенств

     т.е.             .     Ответ: (-4; 0).

Пример 10.  Пусть  - решение системы . Найдите разность .

Решение. Из условия задачи следует, . Кроме того , т.к. . Следовательно, данная система равносильна системе

                             или      

так как второе уравнение полученной системы равносильно совокупности двух уравнений, то и полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений

   1)   2)     так как y = -1 не удовлетворяет условию , то вторая пара чисел не является решением.

Ответ: 3.

        Рассмотрим пример системы с неизвестным под знаком модуля.

Пример 11.  Решить систему уравнений: 

Решение. Множество допустимых значений х, y можно определить из условий

              . Данная система в ОДЗ равносильна системе  или . Полученная система в ОДЗ переменных х и y равносильна совокупности двух систем      и    .

Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел

(2; -3) и (-6; 1).

Ответ: {(2; -3); (-6; 1)}.

Домашнее задание

Решить системы уравнений:

1)                                 2)

3)                                        4)

                у+cosx=0                

;                  (4-1)(7y-6)=0        

                sinxsiny=0,75

2lgy-lgx+lg3=0                        cosxcosy=0,25

Укажите количество решений системы уравнений:

ху=6                        3х-2у=8                х2+у2=16              y-x3=0               y-x2 =1        

=у                                                     y=               y=cosx

Решите систему уравнений:

Укажите количество решений системы уравнений:

y=cosx

y-x2 =1

Решите систему уравнений:

(4-1)(7y-6)=0

Укажите количество решений системы уравнений:

=у

ху=6

Решите систему уравнений:

2lgy-lgx+lg3=0        

Укажите количество решений системы уравнений:

х2+у2=16

Решите систему уравнений:

Укажите количество решений системы уравнений:

y-x3=0

Решите систему уравнений:

cosxcosy=0,25

y=

Укажите количество решений системы уравнений:

3х-2у=8

sinxsiny=0,75