Решение задач типа В13 ЕГЭ
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема : Решение задач типа В12 ЕГЭ.

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 л 12%-го водного раствор а некоторого вещества, добавили 7 л воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Краткая запись: рисуем три стакана и начинаем записывать условие задачи. Проценты заменяем дробью от числа. Концентрация вещества во втором стакане равна 0%, так как добавили воду.

Концентрацию получившегося раствора нужно найти. Обозначим ее за х%, что составляет 0,01х всего раствора. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на эту дробь . Таким образом, найдем объем вещества, содержащегося в каждом стакане. Объем вещества в третьем стакане равен сумме объемов веществ в 1-м и 2-м стаканах. Составим уравнение:

0,12*5 + 0 = 0,01x*12, откуда    х=0,6/0,12=5

Ответ: 5.

Задача 2. Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количество м 19%-го раствор а этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Краткая запись:

Так как растворы смешали в равных количествах, можно взять по а г каждого раствора, но удобнее взять по 100 г. Составим уравнение:

0,15*100 + 0,19*100 = 0,01x*200, откуда х = 17%.

Если мы возьмем по а г каждого раствора, то получим следующее уравнение:

0,15a + 0,19a = 0,01x*2a.

Разделив обе части уравнения на а (так как a ≠ 0) и умножив на 100, мы получим то же уравнение.

Ответ: 17.

Задача 3. Смешали 4 л 15%-го водного раствора некоторого вещества с

6 л 25%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Краткая запись:

Составим уравнение:

0,15*4 + 0,25*6 = 0,01x*10, откуда х = 21%. Ответ: 21.

Задача 4. Имеет ся два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй   30% никеля. Из этих дву х сплавов получили третий сплав массой 200 кг, со-

держащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Краткая запись:

Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса  второ го сплава (200 – х) кг.

Масса никеля в перво м сплаве 0,1х кг, во второ м — 0,3(200 – х) кг, а в третье м —0,25*200 кг.

Составим уравнение:

0,1x + 0,3(200 – x) = 0,25*200,откуда: х = 50 кг — 1-й сплав;200 – 50 = 150 кг — 2-й сплав; 150 – 50 = 100 кг (на столько килограммов масса перво го сплава меньше массы второго).

Ответ: 100.

Задача 5. Первый сплав содер жит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второ го сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Краткая запись:

Пусть масса первого сплава х кг, тогда масса второго сплава (х + 3) кг, а масса третье го.—(х + (х + 3) = 2х + 3) кг.

Составим уравнение:0,1х + 0,4(х + 3) = 0,3(2х + 3),откуда:

х = 3 кг — масса 1-го сплава; 3 + 3 = 6 кг — масса 2-го сплава;

3 + 6 = 9 кг — масса 3-го сплава.

Ответ: 9.

Задача 6. Смешав 30%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 41%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 30%-го раствора использовали для получения смеси?

Краткая запись (обо значим массу перво го и второ го растворов через x и y):

Так как оба условия выполняются одновременно, составим систему:

0,3х+ 0,6у+ 0= 0,36(х+у+10),

0,3х+ 0,6у+ 0,5* 10 =0,41(x + y + 10)

Умножив каждое уравнение системы на 100,раскрыв скобки и приведя  подобные члены, получим равносильную систему

-х+4у=60

-11х+19у=-90

Решив систему, получим: x = 60, y = 30.

Ответ: 60.

Задача 7. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации . Если эти растворы смешать, то получится раствор , содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов , то получится раствор , содер жащий 70% кислот ы. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Краткая запись (обо значим концентрацию первого и второго растворов x% и y% соответственно ):

Во втором случае смешиваются равные массы растворов , поэтому будем решать задачу, взяв по 100 кг каждого раствора.

Так как оба условия выполняются одновременно, составим систему:

Решив систему, получим:

х = 60% — концентрация кислоты в первом сосуде;

0,6*30 = 18 кг — масса кислоты в перво м сосуде.

Ответ: 18.

Задача 8. Виноград содержит 90% влаги, изюм — 5%. Сколько кг винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Эту задачу, в отличии от предыдущих, будем  решать другим методом.

Так как в изюме воды 5%, то сухого вещества 95% от общей массы изюма.

20*0,95 = 19 кг сухого вещества. Так как в винограде воды 90%, то сухого вещества 10% от общей массы. Значит, в винограде 19 кг сухого вещества,

что составляет 10%. 19 : 0,1 = 190 кг — требуется взять винограда.

Ответ: 190.

Задачи для самостоятельного решения

1. В сосуд, содержащий 7 л 14%-го водного раствора некоторого вещества, добавили 7 л во ды. Сколько процентов составляет концентрация  получившегося раствора?

2. Смешали некоторое количество 13%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 17%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. Смешали 3 л 25%-го водного раствора некоторого вещества с 12 л 15%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4. Виноград содержит 90% влаги, а изюм —5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 кг изюма?

5. Имеется два сплава. Первый содер жит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из эти х двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы

второго?

6. Первый сплав содержит 5% меди, второ й —14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили тре -

тий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

7. Смешав 6%-й и 74%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 19%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 24%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 6%-го раствора использовали  для получения смеси?

8. Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второ й — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если  эти растворы смешать, то получится раствор , содержащий 41% кислоты. Если же смешать равные массы  этих растворов , то получится раствор , содержащий  50%  кислоты. Сколько килограммов  кислоты  содержится в первом сосуде?

Ответы: 1. 7. 2. 15. 3. 17. 4. 779. 5. 90.6. 15. 7. 70. 8. 41.