Действительные числа и числовые функции в курсе математики средней школы.
статья по алгебре (8 класс) по теме

 ,,Действительные числа и чиловые функции" вкурсе математики средней школы

Изложение   материала темы,,Действительные числа" в курсе математики средней школы не является строго теоретическим.Относительная строгость  изложения темы зависит от того, какое место она занимает среди некоторых тем курса алгебры и начал анализа.Поэтому трудно высказать какие-либо категорические рекомендации по изучаемому материалу; очевидно одна из задач уителей-практиков состоит в накоплении и обобщении соответствующего материала.

1. Рациональные и иррациональные числа.Бесконечные  десятичные дроби.

Первое знвкомство учащихся с  иррациональным числом происходит в курсе алгебры 8класса при изучении темы ,,Квадратные  корни".

Изучение темы начинается повторения и приведения  в систему сведений о рациональном числе иподводят к выводу, чтоСуществуют числа не являющиеся рациональными,т. е числа, которые нельзя записать в виде дроби , где чслитель натуральное число,а знаменатель целое числоТакие числа были названы иррациональными.

Обединение множества иррациональных чисел с множеством рациональных чисел называют множеством действительных чисел. Таким образом каждое действительное число является либо рациональным либо иррациональнымЛюбое действительное

 число можно записать в виде бесконечной десятичной  дроби

:0,21=0,2100000...

18=18,00000...

1/3=0,33333... и т.д.

Чтобы записать рациональное число в виде бесконечной дроби надо представить его в виде обыкновенной дроби,а потом разделить,,уголком" числитель на знаменатель.Бесконечные десятичные дроби,выражающие рациональные числавсегда периодичны и что обратнолюбая бесконечная десятичная  периодическая дробь выражает некоторое рациональное число. Иррациональные числа записываются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Ирациональные числа не всегда связаны с делением числителя на знаменатель дроби; например при извлечении квадратных корней из натурального числа также получаются иррациональные числа.Обращается внимание учащихся на тот факт,что квадрат числа равный 2 среди рациональных чисел не существует. Учащиеся должны почувствовать саму идею:сколько бы знаков в десятичном приближении при извлечении квадратного корня из 2 мы не взяли,какую бы гмоздкую дробь не взяли,всё равно квадрат этих чисел не. будет в точности равен 2. Современная прграмма не  предусматривает обязательно изучения метода извлечения квадратного корня,но ознакомить с этим методом весма полезно.

На этом заканчивается круг сведений о действительных числах в 8классе.

При изучении темы,,Арифметическая иГеометрическая прогрессия" в 9 классе уточняется понятие последовательности(конечной и бесконечной), вводится понятие монотонной последовательности,рассматривается последовательность рациональных приближений бесконечной десятичной дроби.Дальнейшие сведения о ддействительных числах учащиеся пробретают в курсе алгебры и начал анализа в 10- 11 классах.

Сравнение действительных чисел  и арифметические операции над ними

Для сравнения действительных чисел их записывают в виде бесконечных десятичных дробей и сравнивают по тому же правилу, что и конечные дроби.Все основные свойства с рациональными числами сохраняются и для действительных чисел(т.е. переместительный, сочетательный,распределительный законы; правила раскрытия ско бок и т д.)

Функция ивыражения.

С  Помощью функций описывают зависимости между величинами, т.е. зная значение одно величины можно найти значение другой величины например: зная  длину стороны квадрата находим его площадь по формуле. Чтобы задать числовую функцию:

нужно задать числовое множество Х и правило по которому каждому числу Х из этого множества соответствует однозначно определённое число.В большинстве случаев функции задают с поммощью выражений.Это выражение задаёт программу вычислений значений функции.

На практике всречаются функции, которые нельзя задать каким-либо выражением например: ккаждому моменту времени t соответствует определённая температура  воздуха; выражения, задающего эту зависимость не существует,иначе по  нему можно было бы предсказать температуру воздуха в данном месте на много лет вперёд.

график ифункции.

наглядное представление о зависимости описываемой функции даёт график этой функции.

Графиком функции f ,заданной на множестве Х, называют множество пар чисел(х;f). Каждую пару чисел можно изобразить точкой на координатной плоскости.

В курсе девятилетней школы изучаются графики функций:

линейная функция(график прямая линия)

квадратичная фунция(график парабола)

кубическая функция(кубическая парабола)

функцияУ=К/Х (график гипербола)

В курсе 10-11 классов

график показательной функции

график логарифмической функции.

Поскольку при каждом значении аргумента из области определения функции она имеет лишь одно значение,то любая прямая параллельная оси ординат или совсем не пересекает график функции или пересекает лишь  водной точке. тсюда следует,чтоне любая линия на координатной плоскости может быть графиком какой-нибудь функции.Например6 окружность не может быть графиком,т.к. прямые параллельные оси ординат пересекают её в двух точках.

С помощью графиков  легко определить на каких участках функция возрастает или убывает;в какой точке принимает наибольшее или наименьшее значение;сравнивать значения.

Таковы основные результтаты изучения действительнных чисел в курсе алгебры и начал анализа всредней школе.