Готовимся к ЕГЭ. С5:Задачи с параметрами.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Готовимся к ЕГЭ. С5:Задачи с параметрами.

В задачах с параметром, кроме неизвестных, величин используются величины, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и удовлетворяющими каким-либо условиям. Например, значения параметра могут быть целыми, положительными и т.д. Будем рассматривать только действительные значения параметра и неизвестных.

Общее уравнение с одним неизвестным и одним параметром имеет вид F(x; a) = 0. При записи F(x; a) = 0 иногда смотрят на x как на параметр, а на a как на неизвестное. А можно рассматривать как уравнение с двумя равноправными переменными

Простые задачи

1. Решить уравнение ax = b.

Решение.1-й случай. Если a  0, то

2-й случай. При a = 0 имеем уравнение 0 · x = b и надо рассмотреть два подслучая:

а) при b = 0 любое х является решением;

б) при b  0 решений нет.

Ответ: если a  0, то  если a = b = 0, то x — любое число; если a = 0, b  0, то решений нет.

2. Решить неравенство ax > b.

Ответ: если a > 0, то  если a < 0, то  если a = 0, b < 0, то x —  любое число; если a = 0, b  0, то решений нет.

Задачи с модулями и графиками

1. Указать значения параметра a, при котором уравнение ax = | x | имеет единственное решение, и найти это решение.

Решение. При a = 1 и a = –1 у уравнения имеется бесчисленное множество решений, а именно: в первом случае — все положительные значения, во втором случае — все отрицательные значения. И только при a  ±1 будет единственное решение x = 0.

Очень удобно все изобразить графически графики y = | x | и пучок прямых y = ax.

Ответ: при a  (–; –1) U (–1; 1) U (1; +) уравнение имеет единственное решение х = 0.

2. При каких значениях параметра имеет решения уравнение loga x = x?

Решение. 1. Если параметр меньше единицы, то всегда есть решение (рис. 2).

                Рис. 2

2. Если параметр больше единицы, то если и есть решения, то при х больших единицы (так как при x  1 график прямой y = x лежит выше графика логарифма, так как значение логарифма отрицательно).

Перепишем уравнение в виде  и решим его графически (рис. 3).

                Рис. 3

Строим график  (только для x > 1, что значительно проще, чем построение этого графика в окрестности нуля) и смотрим, при каких параметрах прямая y = a (a > 1).

Для построения  ищем производную правой части:

Производная равна нулю при х = е, и это точка максимума, то есть максимальное а, при котором прямая у = а пересекает построенный график, равно

Ответ:  

Использование различных свойств функции

 При каких значениях параметра a имеются решения уравнения

Найти эти решения.

Решение. Изучая подкоренные выражения, делаем вывод: левая часть уравнения имеет смысл только при x = 1, следовательно, единственное значение для a это 0.

Ответ: если a  0, то решений нет; если a = 0, то x = 1.

Тригонометрия с параметрами

 При каких значениях параметра b уравнение

b2x2 – b tg cos x + 1 = 0

имеет единственное решение (найти его).

Решение. Левая часть уравнения четна по х, а тогда если есть решение x0  0, то есть и решение –x0, следовательно, все корни, отличные от нуля, «ходят парами» и непарное решение только одно: x = 0, которое соответствует b = ctg 1. Покажем, что при таком b нет других решений. В силу четности правой части, будем рассматривать только положительные значения переменных.

Сделаем оценки:

x > 0,  –1  cos x  1,  –tg 1  tg cos x  tg 1,

–ctg 1 tg 1  ctg 1 tg cos x  ctg 1 tg 1,

–1  –b tg cos x  1,

0  –b tg cos x + 1  2.

Так как b2x2 > 0, то левая часть уравнения больше нуля при x  0.

 Ответ: x = 0, b = ctg 1.

Параметр как неизвестное

 Решить уравнение

Решение. Введем искусственно параметр  получим квадратное уравнение относительно a: a2 – (2x2 + 1)a + (x4 + x) = 0. Решая его, получим:

Возвращаемся к  и решаем два квадратных уравнения.

Ответ: