Презентация: "Применение производной"(10 класс)
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 2

Отгадайте ключевое слово урока 1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ; 2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой; 3) Бывает первой, второй,… ; 4) Обозначается штрихом.

Слайд 3

Что называется производной? Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 4

36. 35. e x 34. 33. ctgx 32. lnx 31. cos x 30. 29. arctg x 28. 27. 0 26. 25. arcctg x 24. - sin x 23. log a x 22. nx n-1 21. 20. 19. 1 18. arccos x 17. 16. cos x 15. lgx 14. tg x 13. x n 12. a x lna 11. 10. sin x 9. а x 8. arcsin x 7. е x 6. 5. 4. 3. x 2. 1. С

Слайд 5

О Т В Е Т Ы ГРУППА I 5 1 2 4 3 ГРУППА II 2 1 5 3 4 ГРУППА III 5 1 4 3 2 ГРУППА IV 4 3 2 5 6 1

Слайд 6

Решение практических задач с помощью производной

Слайд 7

Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, И я научусь Конфуций «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский Производная в технике, физике, химии, экономике. . .»

Слайд 8

Геометрический смысл f ‘(x) Тангенс угла наклона касательной к графику некоторой функции равен значению производной в абсциссе точки касания Уравнение касательной к графику некоторой функции в точке с абсциссой а имеет вид: Y=f(a)+f’(a)(x-a) Угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке а

Слайд 9

Геометрический смысл f ‘(x) Применяется при вычислении угла наклона орудия, при определении калибра орудия, при расчете траектории полета снаряда. 1. Снаряд движется по траектории, заданной формулой у=4х ³ -3х+5. Каков будет угол наклона в точке с абсциссой х 0 =0,5 Решение:

Слайд 10

Механический смысл f ‘(x) Производная пути по времени есть скорость, производная скорости по времени есть ускорение. Применяется при расчете скорости и ускорения машины, величины тормозного пути, при выявлении нарушений при движении автомобиля.

Слайд 11

Машина движется по автостраде так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S=5t-0,5t ² ( м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.

Слайд 12

Из города выезжают 2 автомобиля и некоторое время движутся по законам s 1 (t) = -t ² +6t и s 2 (t)=4t. Какое расстояние будет между ними, когда их скорость станет одинаковой?

Слайд 13

Рокер движется по прямой дороге г. Набережные Челны так, что расстояние S до него от поста ГАИ изменяется по закону S= 4+3 t-0,5t ² ( м), где t – время движения в секундах. Рассчитайте тормозной путь его мотоцикла.

Слайд 14

Примеры физических величин и их производных Плотность-производная массы по объёму Сила-производная работы по перемещению Мощность-производная работы по времени Скорость-производная координаты по времени

Слайд 15

Ускорение-производная скорости по времени Давление-производная силы по площади ЭДС индукции-производная магнитного потока по времени Сила тока-производная заряда по времени

Слайд 16

Задача№1 Скорость школьного автобуса массой 5 т возрастает по закону υ = 0,1 t 3 + 0,2 t . Определить равнодействующую всех сил, действующих на него в момент времени 2 с. Решение

Слайд 17

Задача№2 Уравнение колебаний тела на пружине имеет вид x = 5 cos 2 t . В какой ближайший момент времени скорость тела будет максимальной?

Слайд 18

1 . Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0 0 <= t <= 95 0 , формула Q (t) = 0,396 t + 2,081  10 -3 t 2 - 5,024  10 -7 t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. C (t) = Q  (t) = 0,396 + 4,162  10 -3 t – 15,072  10 -7 t 2

Слайд 19

Производная в химии

Слайд 20

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью : р (t) = t 2 /2 + 3 t –3 ( моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Слайд 21

Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t 0 p = p(t 0 ) Функция Интервал времени ∆ t = t – t 0 Приращение аргумента Изменение количества в-ва ∆ p= p(t 0 + ∆ t ) – p(t 0 ) Приращение функции Средняя скорость химической реакции ∆ p/∆t Отношение приращёния функции к приращёнию аргумента V (t) = p ‘(t) Решение:

Слайд 22

Задача №3 Количество вещества, получаемого в химической реакции, зависит от времени следующим образом : Q = a (1 + be –kt ) Определите скорость реакции. Решение

Слайд 23

Производная в биологии

Слайд 24

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t .

Слайд 26

Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x(t) Функция Интервал времени ∆ t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение численности популяции ∆ x = x(t 2 ) – x(t 1 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции ∆ x/∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент Lim ∆ x/∆t t 0 Производная Р = х ‘ ( t)

Слайд 27

Производная в географии

Слайд 28

Задача : Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t . Рост численности населения ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я ЭТО Я

Слайд 29

Пусть у=у( t )- численность населения. Рассмотрим прирост населения за  t=t-t 0  y=k y  t, где к=к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности)  y/  t=k y При  t  0 получим lim  y/  t= у ’ у ’ =к у

Слайд 30

Задача о мгновенной величине тока Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t . Пусть Δ t – некоторый промежуток времени, Δ q = q(t+ Δ t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δ t . Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δ q ко времени Δ t , при условии, что Δ t → 0 .

Слайд 31

Экономические задачи Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда  x - прирост продукции, а  y - приращение издержек производства. В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество. C(t) СС

Слайд 32

Экономические задачи Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t . Найдем производительность труда в момент t 0 . За период от t 0 до t 0 + t количество продукции изменится от u(t 0 ) до u 0 +  u = u(t 0 +  t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t 0

Слайд 33

Применение производной: Мощность – это производная работы по времени P = A' (t). Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t). Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x). Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t). Давление – производная силы по площади P = F'(S) Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l окр =S' кр (R). Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени. Успехи в учебе? Производная роста знаний.

Слайд 41

Дальнейших успехов в достижении поставленной цели !!! К ЭКЗАМЕНУ СЛЕДУЕТ ГОТОВИТЬСЯ ОЧЕНЬ СЕРЬЕЗНО !!!

Слайд 42

Итоги урока Продолжите фразу: «Сегодня на уроке я узнал…» «Сегодня на уроке я научился…» «Сегодня на уроке я познакомился…» «Сегодня на уроке я повторил…» «Сегодня на уроке я закрепил…»