Различные способы решения квадратных уравнений.
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме
План - конспект и презентация к уроку алгебры в 8 классе по теме "Различные способы решения квадратных уравнений".
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 plan_konspekt.docx | 42.12 КБ |
 plotnikova_t.v.pptx | 278.47 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1 города Суздаля»
Учитель математики: Плотникова Татьяна Владимировна
Урок по теме "Различные способы решения квадратных уравнений"
Цель: рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.
Задачи:
- Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.
- Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.
- Воспитать чувство ответственности за выполненную работу перед коллективом.
Подготовка к уроку:
Группе учащихся из 5 человек предлагается работать над одной из тем:
- Общие способы решения квадратных уравнений.
- Графический способ решения квадратных уравнений.
- Метод "коэффициентов". Метод "переброски".
- Как решали квадратные уравнений в древности?
- Франсуа Виет- французский учёный.
Через неделю учитель заслушивает готовые доклады, вносит коррективы. В ходе урока ребята озвучивают тексты своих докладов.
Оборудование и материалы к уроку.
- Компьютер(количество компьютеров равно количеству групп в классе) и мультимедийный комплекс.
- Стенды с материалами по теме урока.
- Доступ к сети Интернет для выполнения упражнений в режиме он-лайн.
- Интерактивные упражнения, созданные в сервисе по производству собственных дидактических материалов Learningapps.org!
- Презентация «Различные способы решения квадратных уравнений».
Основные этапы урока.
Организационный момент.
Когда уравненье решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О.Севостьянова
Сегодня мы проводим урок по теме "Квадратные уравнения". Нам предстоит узнать различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.
1. Вступительное слово учителя.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.
2. Сообщения учащихся.
Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.
Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности?
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.
Задача знаменитого индийского математика Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам.....
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
(учащийся приводит решение этой задачи на доске)
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Вопрос учителя: дайте определение квадратного уравнения.
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением.
Доклад учащегося по теме: "Общие методы решения квадратных уравнений".
Слово учителя:
Корни квадратного уравнения находятся по формулам:
Фронтальная беседа: ученики делают запись в тетради:
Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
- Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
- Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Доклад о жизни и научных трудах математика Ф.Виета (пользуясь слайдами презентации).
Доклад учащегося по теме: Метод "переброски".
Доклад учащегося по теме: Метод "коэффициентов"
Далее следует доклад "Графический способ решения квадратных уравнений".
3. Практическая работа:
Класс делится на группы по 4 человека. В каждой группе есть консультант, который помогает учащимся, у которых возникают трудности при решении квадратных уравнений.
Задание1: Решить квадратные уравнения по общим формулам.
1. 2х2-5х+2=0,
2. 6х2+5х+1=0,
3. 2х2-3х+2=0,
4. 4х2-12х+9=0.
На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=4g6gp5gj. Ставится оценка всей группе.
Задание 2: Решите приведённые квадратные уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета:
- х2+10х+9=0,
- х2+7х+12=0,
- х2-10х-24=0,
- х2-16х+60=0,
- х2+5х-14=0.
На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=7u2828p3..Ставится оценка всей группе.
Задание 3: Решите уравнения методом «переброски»:
1. 2х2-9х+9=0,
2. 10х2-11х+3=0,
3. 3х2+11х+6=0,
4. 4х2+12х+5=0,
5. 3х2+х-4=0.
На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу http://LearningApps.org/watch?v=aognx12a .Ставится оценка всей группе.
Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов".
1.5х2-7х+2=0;
2.3х2+5х-8=0;
3.11х2+25х-36=0;
4.11х2+27х+16=0;
5.939х2+978х+39=0.
На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://LearningApps.org/watch?v=g2jjk1jt.Ставится оценка всей группе.
Задание №5: Решить биквадратные уравнения:
1.х4-13х2+36=0;
2.х4-3х2-28=0;
3. х4-24х2-25=0;
3.4х4-5х2+1=0.
На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу http://LearningApps.org/watch?v=f1edi5jj. Ставится оценка.
4. Выставление оценок учащимся.
Оценив каждое из пяти заданий, учитель ставит общую оценку за работу на уроке. Докладчики получают дополнительную оценку за подготовку докладов и выступление на уроке.
5. Подведение итогов урока.
Подбирая материал к этому уроку, изучая дополнительную литературу, я и мои докладчики открыли для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях, чего нельзя прочитать в учебнике. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.
Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.
6. Домашнее задание:
Подобрать по 2 уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.
Литература:
- Ш.А.Алимов "Алгебра - 8".
- Материалы газеты "Математика", приложение к "1 сентября".
- Г.И.Глейзер "История математики в школе" (для учащихся 7-8 классов). Пособие для учителей. - М. Просвещение,1982
- Энциклопедический словарь юного математика. - 2-е изд., испр и доп. - М. Педагогика, 1989.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Когда уравненье решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тотчас . О.Севостьянова
12 февраля 1535 года между Фиори и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи. Итак, Тарталья решил за два часа 30 задач. Сколько уравнений 2-ой степени вы сможете решить за один урок? Никколо Тарталья
ах 2 +вх+с=0, а ≠0. D =в 2 -4ас D < 0 , то квадратное уравнение решений не имеет D =0 , то х 1,2 = - D> 0 , то х 1 = х 2 = Первый способ:
Задание 1: Решите квадратные уравнения : 1. 2х 2 -5х+2=0, 2. 6х 2 +5х+1=0, 3. 2х 2 -3х+2=0, 4. 4х 2 -12х+9=0 . х 1 = ½, х 2 =2. х 1 = -½, х 2 = -⅓. решений нет. х 1 =1,5, х 2 =1,5.
Уравнение, вида х 2 + p х+ q =0 , называется приведённым. Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета: х 1 +х 2 =- p , х 1 ∙х 2 = q . Например, уравнение х 2 -3х+2=0 имеет корни х 1 =2, х 2 =1 так как х 1 +х 2 =3, х 1 ∙х 2 =2. Второй способ:
Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет. Благодаря его труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. Поэтому стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.
Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета». Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Очень занятый при дворе французского короля, он находил время для математических работ, чаще всего за счёт отдыха. Иногда, увлёкшись каким-нибудь исследованиями, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.
Задание 2. Решите приведённые квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета. х 2 +10х+9=0, х 2 +7х+12=0, х 2 -10х-24=0, х 2 -16х+60=0, х 2 +5х-14=0. х 1 =-9,х 2 =-1. х 1 =-4,х 2 =-3. х 1 =12,х 2 =-2. х 1 =10,х 2 =6. х 1 =-7,х 2 =2.
Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат. Например: Решим уравнение 2х 2 -11х+15=0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 -11у+30=0. По теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5,у 2 = 6. тогда х 1 =у 1 /2, х 2 =у 2 /2; т.е. х 1 =2,5 , х 2 =3. Третий способ:
Задание 3: Решите уравнения, используя метод «переброски»: 1. 2х 2 -9х+9=0, 2. 10х 2 -11х+3=0, 3. 3х 2 +11х+6=0, 4. 4х 2 +12х+5=0, 5. 3х 2 +х-4=0. х 1 = 1 ,5 , х 2 = 3 . х 1 =0,5 ,х 2 =0,6. х 1 =-3,х 2 =- . х 1 =-2,5,х 2 =-0,5. х 1 =- ,х 2 =1 .
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а≠0. 1. Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 =1,х 2 =с/а. Например: 345х 2 -137х-208=0 (345-137-208=0), значит, х 1 = 1,х 2 = - 208/345. 2.Если а-в+с=0 (или в=а+с ), то х 1 =-1,х 2 = - с/а. Например, 313х 2 +326х+13=0 (326=313+13), значит х 1 =-1,х 2 =-13/313. Четвёртый способ:
1. 5х 2 -7х+2=0; 2. 3х 2 +5х-8=0; 3. 11х 2 +25х-36=0; 4. 11х 2 +27х+16=0; 5. 939х 2 +978х+39=0 . Задание 4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»: х 1 =1,х 2 = . х 1 =1,х 2 =- . х 1 =1,х 2 =- . х 1 =-1,х 2 =- . х 1 =-1,х 2 =- .
Задание 5: Решите биквадратные уравнения: 1. х 4 -13х 2 +36=0; 2. х 4 -14 х 2 - 32 =0; 3. 4х 4 -5х 2 +1=0; 4. х 4 -24х 2 +25=0. х 1 =3,х 2 =-3,х 3 =2,х 4 =-2 х 1 = -4 ,х 2 = 4 х 1 =1,х 2 =1,х 3 =½, х 4 =-½ x 1 =5 ; х 2 =-5
Итак, Тарталья решил за два часа 30 задач Фиори, а вы, ученики 8 класса, за 40 минут решили … уравнений. Надо учесть, что итальянские математики искали пути решения уравнений n -ой степени самостоятельно, а вы используете плоды их труда. Возможны варианты: -проигрыш; -выигрыш; -дружеская ничья.
Домашнее задание: Из учебника подобрать по два уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Различные способы решения квадратных уравнений
Конспект урока по алгебре "Различные способы решения КВУР" в 8 классе. Урок систематизации и обобщения знаний, заключительный урок по данной теме....
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений."В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе :...
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений."В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе :...
Различные способы решения квадратных уравнений
Различные способы решения квадратных уравненийЦели урока: систематизировать знания об общих способах решения квадратных уравнений, обучить поиску нескольких способов решения одной задачи и...
Различные способы решения квадратных уравнений.
Конспект урока по алгебре "Различные способы решения квадратных уравнений"...
Различные способы решения квадратных уравнений.
Применение различных способов при решении квадратных уравнений, дает возможность решать устно большинство уравнений....