Методическая разработка элективного курса «Решение уравнений в целых числах»
элективный курс по алгебре по теме
Публикация содержит методическую разработку элективного курса "Решение уравнений в целых числах" - теоретический, практический материал, историческую справку, список литературы. Предложенная презентация позволит быстро ознакомится с содержанием элективного курса. Также здесь вы найдете разработку одного из занятий, которое я проводила в рамках этого элективного курса.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 623.7 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок, проводимый в рамках элективного курса «Решение уравнений в целых числах»
Тема: решение уравнений в целых числах методами разложения на множители и как квадратного относительно какой-либо переменной
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и опыта учащихся
Цели: 1) совершенствовать умение применять изученные методы решения уравнений в целых числах
а) метод разложения на множители;
б) метод решения уравнения как квадратного относительно одного из неизвестных через решение упражнений.
2) рассмотреть на примере графический метод решения уравнений в целых числах
План урока:
- проверка домашнего задания;
- обсуждение изученных методов решения;
- работа в группах по классификации предложенных уравнений;
- работа в группах по решению уравнений;
- подведение итогов работы в группах;
- знакомство с графическим методом решения;
- подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент. Постановка целей урока.
Учащиеся на листочках заканчивают фразу: «Сегодня на уроке я хотел бы …» (научиться, понять, разобраться, получить ответ на вопрос и т. д.)
II. Проверка домашнего задания.
Проводится взаимопроверка в парах по ответам, записанным на доске:
1. ху = 15
(1;15), (15;1), (-1;-15), (-15;-1), (3;5), (-3;-5), (5;3) ,(-5;-3).
2. (х – 2)(ху + 4) =1
(3;-1), (1;-5).
3. 36х2 – у2 = 27
(-1;-3), (1;3), (1;-3), (-1;3).
4. 7ху + 4у2 =11
(1;1), (-1;-1).
5. х2 – 7ху + 6у2 = 18
Решений нет.
Если уравнение не решено, ученик переписывает ответ; это задание переносится на следующий урок.
III. Обсуждение изученных методов решения уравнений в целых числах
Сегодня на уроке мы продолжим работу по решению уравнений в целых числах. Обсуждаемые вопросы:
- какие методы решения были рассмотрены?
- в каких случаях используют метод разложения на множители и в чем его суть?
- как поступаем, если разложить на множители не удалось?
- что значит «решить уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной»?
IV. Работа в группах по классификации предложенных уравнений.
Учащимся предлагается список уравнений:
- 2х2 + ху = х +7;
- 2х2 – ху - 3у2 = 7;
- х2 - 3ху = х - 3у + 2;
- у + х = ху;
;
- 4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0;
- 2х2у2 + у2 - 6х2 – 12 = 0.
Ученики должны выписать
- уравнения, которые решаются разложением на множители;
- уравнения, которые можно решить как квадратные относительно одного из неизвестных.
Если возникли сомнения, поставить рядом с уравнением «?»
Обсудить
- какое (или какие) уравнение стоит особняком? Почему?
- соответствует ли это уравнение теме урока?
- какие уравнения вызвали затруднения с определением метода решения? В чем трудность?
Итак, в результате обсуждения получили три группы уравнений:
1) № 1, 3, 4, 7; 2) № 2, 6; 3) № 5 – «особое» уравнение.
V. Работа в группах по решению уравнений.
Каждая группа учащихся решает по три уравнения – два методом разложения на множители и одно методом решения квадратного уравнения относительно переменной х или у.
Представители групп, справившихся с заданием раньше остальных, записывают на доске решение.
1. 2х2 + ху = х +7х;
х(2х + у – 1) =7
7= 7· 1 = 1· 7 = -1·(-7) = -7 · (-1)
или
или
или
(7;-12) (1;6) (-1;-4) (-7;14)
2. 2х2 – ху - 3у2 = 7
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х.
2х2 – ху – (3у2 + 7)= 0,
D = у2 + 8 (3у2 + 7) = 25у2 + 56.
Так как решения – целые числа, то D = k2, т.е.
25у2 + 56 = k2 ,
k2 - 25 у2 = 56,
(k – 5х)( k + 5х) = 56.
Перебрав все варианты, находим: (-2; 1), (2;-1)
3. х2 - 3ху = х - 3у + 2,
х2 - 3 ху - (х – 3у) = 2,
х (х– 3у) – (х– 3у) = 2,
(х – 1)(х – 3у) = 2.
Перебрав все варианты, находим: (2;0), (-1; 0).
4. у + х = ху,
у+ х – ху= 0,
у – х (у – 1) = 0,
(у – 1) –х (у – 1) = -1,
(у – 1)(1 – х) = -1.
Перебрав все варианты, находим: (0;0), (2;2)
6. 4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:
4х2 – 2(у + 1)х + (2у2 + у -1) = 0,
D1 = (у + 1)2 – 4(2у2 + у – 1) = - 7у2 – 2у + 5.
D1 0
- 7у2 – 2у + 5 0,
7у2 + 2у - 5 0,
-1 у .
Так как у – целое число, то у = -1 или у =0.
Если у =0, то исходное уравнение примет вид:
4 х2 – 2х – 1= 0,
D1 = 1 + 4 = 5, . Целых корней нет.
Если у = -1, то исходное уравнение примет вид:
4 х2 = 0,
х= 0.
Ответ: (0;-1).
7. 2х2у2 + у2 - 6х2 – 12 = 0,
у2(2х2 + 1) – 3(2х2 + 1) – 9 = 0,
(2х2 + 1)( у2 – 3) = 9,
2х2 + 1 > 0, значит 2х2 + 1 натуральное число.
9 = 9·1 = 1·9 = 3·3.
или
или
(2;2), (2;-2), (-2;2), (-2;-2) Целых решений нет Целых решений нет
Учащиеся проверяют свое решение. Руководители групп оценивают работу каждого члена группы.
VI. Работа с уравнением № 5.
С одной стороны, это уравнение с двумя неизвестными, а значит, его решением является пара чисел вида (х;у). С другой стороны, это иррациональное уравнение, и для его решения необходимо найти ОДЗ.
Найдем ОДЗ:
Такие системы неравенств можно решать графически. Для этого изобразим множество решений системы на координатной плоскости:
Решение системы – внутренняя область треугольника, образованного графиками. Выберем целые решения: (1;-1), (2;1), (3;0), (2;0).
Проверка показывает, что только пара (2;0) является решением уравнения.
Итак, в некоторых случаях можно использовать графический метод решения.
VII. Подведение итогов урока.Рефлексия
На обратной стороне листочка закончите фразу: «Сегодня на уроке мне удалось…» (получить ответ на вопрос, преодолеть трудности, справиться с задачей …)
VIII. Домашнее задание.
- Доказать, что уравнение х2 – 5у2 = 3 не имеет решений в целых числах.
- Решить уравнения в целых числах:
а) 3х2 + 5ху + 2у2 + 7 = 0;
б)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/16/picture-269114-1376631335.jpg)
Конспект урока по теме "Решение уравнений в целых числах"
В ходе урока рассмотрены следующие методы решения уравнений в целых числах: разложение на множители; решение уравнения как квадратного относительно одной из переменных; графический....
![](/sites/default/files/pictures/2022/04/07/picture-133282-1649341031.jpg)
Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса
Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в...
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/28/picture-286485-1377712536.jpg)
Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»
Актуальность исследования:В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнени...
![](/sites/default/files/pictures/2015/05/03/picture-625410-1430686534.jpg)
Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях....
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/20/picture-178574-1358688353.jpg)
10 класс. Алгебра. Решение уравнений в целых числах. Делимость чисел. Задачи
Задачи по теме Делимость чисел для домашнего задания или для тренировочной работы в группах...
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/12/picture-291535-1378994273.jpg)
решение уравнений в целых числах
Представлена презентация, которая поможет на уроках алгебры, начиная с 7 класса, объяснить решение уравнений в целых числах. Уравнения постепенно усложняются, и их можно использовать для подготовки к ...