Главные вкладки

    Методическая разработка элективного курса «Решение уравнений в целых числах»
    элективный курс по алгебре по теме

    Гороховик Елена Александровна

    Публикация содержит методическую разработку элективного курса "Решение уравнений в целых числах" - теоретический, практический материал, историческую справку, список литературы. Предложенная презентация позволит быстро ознакомится с содержанием элективного курса. Также здесь вы найдете разработку одного из занятий, которое я проводила в рамках этого элективного курса.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл elektivnyy_kurs._reshnie_uravneniy_v_celyh_chislah.rar623.7 КБ

    Предварительный просмотр:

    Урок, проводимый в рамках элективного курса «Решение уравнений в целых числах»

    Тема:  решение уравнений в целых числах методами разложения на множители и как квадратного относительно какой-либо переменной

    Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и опыта учащихся

    Цели: 1) совершенствовать умение применять изученные методы решения уравнений в целых числах

    а) метод разложения на множители;

    б) метод решения уравнения как квадратного относительно одного из неизвестных  через решение упражнений.

    2) рассмотреть на примере графический метод решения уравнений в целых числах

    План  урока:

    1. проверка домашнего задания;
    2. обсуждение изученных методов решения;
    3. работа в группах по классификации предложенных уравнений;
    4. работа в группах по решению уравнений;
    5. подведение итогов работы в группах;
    6. знакомство с графическим методом решения;
    7. подведение итогов урока.

    Ход урока

    I. Организационный момент. Постановка целей урока.

    Учащиеся на листочках заканчивают фразу: «Сегодня на уроке я хотел бы …» (научиться, понять, разобраться, получить ответ на вопрос и т. д.)

    II. Проверка домашнего задания.

    Проводится взаимопроверка в парах по ответам, записанным на доске:

    1. ху = 15

    (1;15), (15;1), (-1;-15), (-15;-1), (3;5), (-3;-5), (5;3) ,(-5;-3).

    2. (х – 2)(ху + 4) =1

    (3;-1), (1;-5).

    3. 36х2 – у2 = 27

    (-1;-3), (1;3), (1;-3), (-1;3).

    4. 7ху + 4у2 =11

    (1;1), (-1;-1).

    5. х2 – 7ху + 6у2 = 18

    Решений нет.

    Если уравнение не решено, ученик переписывает ответ; это задание переносится на следующий урок.

    III. Обсуждение изученных методов решения уравнений в целых числах

    Сегодня на уроке мы продолжим работу по решению уравнений в целых числах. Обсуждаемые вопросы:

    - какие методы решения были рассмотрены?

    - в каких случаях используют метод разложения на множители и в чем его суть?

    - как поступаем, если разложить на множители не удалось?

    - что значит «решить уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной»?

    IV. Работа в группах по классификации предложенных уравнений.

    Учащимся предлагается список уравнений:

    1. 2х2 + ху = х +7;
    2. 2х2 – ху - 3у2 = 7;
    3. х2 - 3ху = х - 3у + 2;
    4. у + х = ху;
    5. ;
    6. 4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0;
    7. 2х2у2  + у2 - 6х2 – 12 = 0.

    Ученики должны выписать

    1. уравнения, которые решаются разложением на множители;
    2. уравнения, которые можно решить как квадратные относительно одного из неизвестных.

    Если возникли сомнения, поставить рядом с уравнением «?»

    Обсудить

    - какое (или какие) уравнение стоит особняком? Почему?

    - соответствует ли это уравнение теме урока?

    - какие уравнения вызвали затруднения с определением метода решения? В чем трудность?

    Итак, в результате обсуждения получили три группы уравнений:

    1) №  1, 3, 4, 7;  2) № 2, 6;  3) № 5 – «особое» уравнение.

     V. Работа в группах по решению уравнений.

    Каждая группа учащихся решает по три уравнения – два методом разложения на множители и одно методом решения квадратного уравнения относительно переменной х или у.

    Представители групп, справившихся с заданием раньше остальных, записывают на доске решение.

    1. 2х2 + ху = х +7х;

    х(2х + у – 1) =7

    7= 7· 1 = 1· 7 = -1·(-7) = -7 · (-1)

    или  или  или

    (7;-12)                     (1;6)                          (-1;-4)                        (-7;14)

    2. 2х2 – ху - 3у2 = 7

    Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х.

    2х2 – ху – (3у2 + 7)= 0,

    D = у2 + 8 (3у2 + 7) = 25у2 + 56.

    Так как решения – целые числа, то D = k2, т.е.

    25у2 + 56 = k2 ,

    k2 - 25 у2 = 56,

    (k – 5х)( k + 5х) = 56.

    Перебрав все варианты, находим: (-2; 1), (2;-1)

    3.  х2 - 3ху = х - 3у + 2,

    х2 - 3 ху  - (х – 3у) = 2,

    х (х– 3у) – (х– 3у) = 2,

    (х – 1)(х – 3у) = 2.

    Перебрав все варианты, находим: (2;0), (-1; 0).

    4.  у + х = ху,

    у+ х – ху= 0,

    у – х (у – 1) = 0,

    (у – 1) –х (у – 1) = -1,

    (у – 1)(1 – х) = -1.

    Перебрав все варианты, находим: (0;0), (2;2)

    6.  4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0

    Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

    4х2 – 2(у + 1)х + (2у2 + у -1) = 0,

    D1 = (у + 1)2 – 4(2у2 + у – 1) = - 7у2 – 2у + 5.

    D1 0

    - 7у2 – 2у + 5  0,

    7у2 + 2у -  5  0,

    -1 у  .

    Так как у – целое число, то у = -1 или у =0.

    Если  у =0, то исходное уравнение примет вид:

    4 х2 – 2х – 1= 0,

    D1 = 1 + 4 = 5, . Целых корней нет.

    Если у = -1, то исходное уравнение примет вид:

    4 х2 = 0,

    х= 0.

    Ответ: (0;-1).

    7.  2х2у2  + у2 - 6х2 – 12 = 0,

    у2(2х2 + 1) – 3(2х2 + 1) – 9 = 0,

    (2х2 + 1)( у2 – 3) = 9,

    2х2 + 1 > 0, значит 2х2 + 1 натуральное число.

    9 = 9·1 = 1·9 = 3·3.

                или                         или          

    (2;2), (2;-2), (-2;2), (-2;-2)          Целых решений нет             Целых решений нет

    Учащиеся проверяют свое решение. Руководители групп оценивают работу каждого члена группы.

    VI. Работа с уравнением № 5.

    С одной стороны, это уравнение с двумя неизвестными, а значит, его решением является пара чисел вида (х;у). С другой стороны, это иррациональное уравнение, и для его решения необходимо найти ОДЗ.

    Найдем ОДЗ:

              

    Такие системы неравенств можно решать графически. Для этого изобразим множество решений системы на координатной плоскости:

    Решение системы – внутренняя область треугольника, образованного графиками. Выберем целые решения: (1;-1), (2;1), (3;0), (2;0).

    Проверка показывает, что только пара (2;0) является решением уравнения.

    Итак, в некоторых случаях можно использовать графический метод решения.

    VII. Подведение итогов урока.Рефлексия

    На обратной стороне листочка закончите фразу: «Сегодня на уроке мне удалось…» (получить ответ на вопрос, преодолеть трудности, справиться с задачей …)

    VIII. Домашнее задание.

    1. Доказать, что уравнение х2 – 5у2 = 3 не имеет решений в целых числах.
    2. Решить уравнения в целых числах:

    а) 3х2 + 5ху + 2у2 + 7 = 0;

    б)  


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Конспект урока по теме "Решение уравнений в целых числах"

    В ходе урока рассмотрены следующие методы решения уравнений в целых числах: разложение на множители; решение уравнения как квадратного относительно одной из переменных; графический....

    Методическая разработка элективного курса «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ» по геометрии для учащихся 9 класса

    Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что наименьший процент верных ответов традиционно дается учащимися на геометрические задачи. Задачи по планиметрии, включаемые в...

    Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»

    Актуальность исследования:В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются,  эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнени...

    Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах

    В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на  кружковых и факультативных занятиях....

    Решение уравнений в целых числах

    Подготовка к профильному ЕГЭ по математике...

    10 класс. Алгебра. Решение уравнений в целых числах. Делимость чисел. Задачи

    Задачи по теме Делимость чисел для домашнего задания или для тренировочной работы в группах...