Методическая разработка элективного курса «Решение уравнений в целых числах»
элективный курс по алгебре по теме

Урок, проводимый в рамках элективного курса «Решение уравнений в целых числах»

Тема:  решение уравнений в целых числах методами разложения на множители и как квадратного относительно какой-либо переменной

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и опыта учащихся

Цели: 1) совершенствовать умение применять изученные методы решения уравнений в целых числах

а) метод разложения на множители;

б) метод решения уравнения как квадратного относительно одного из неизвестных  через решение упражнений.

2) рассмотреть на примере графический метод решения уравнений в целых числах

План  урока:

1. проверка домашнего задания;
2. обсуждение изученных методов решения;
3. работа в группах по классификации предложенных уравнений;
4. работа в группах по решению уравнений;
5. подведение итогов работы в группах;
6. знакомство с графическим методом решения;
7. подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент. Постановка целей урока.

Учащиеся на листочках заканчивают фразу: «Сегодня на уроке я хотел бы …» (научиться, понять, разобраться, получить ответ на вопрос и т. д.)

II. Проверка домашнего задания.

Проводится взаимопроверка в парах по ответам, записанным на доске:

1. ху = 15

(1;15), (15;1), (-1;-15), (-15;-1), (3;5), (-3;-5), (5;3) ,(-5;-3).

2. (х – 2)(ху + 4) =1

(3;-1), (1;-5).

3. 36х2 – у2 = 27

(-1;-3), (1;3), (1;-3), (-1;3).

4. 7ху + 4у2 =11

(1;1), (-1;-1).

5. х2 – 7ху + 6у2 = 18

Решений нет.

Если уравнение не решено, ученик переписывает ответ; это задание переносится на следующий урок.

III. Обсуждение изученных методов решения уравнений в целых числах

Сегодня на уроке мы продолжим работу по решению уравнений в целых числах. Обсуждаемые вопросы:

- какие методы решения были рассмотрены?

- в каких случаях используют метод разложения на множители и в чем его суть?

- как поступаем, если разложить на множители не удалось?

- что значит «решить уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной»?

IV. Работа в группах по классификации предложенных уравнений.

Учащимся предлагается список уравнений:

1. 2х2 + ху = х +7;
2. 2х2 – ху - 3у2 = 7;
3. х2 - 3ху = х - 3у + 2;
4. у + х = ху;
5. ;
6. 4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0;
7. 2х2у2  + у2 - 6х2 – 12 = 0.

Ученики должны выписать

1. уравнения, которые решаются разложением на множители;
2. уравнения, которые можно решить как квадратные относительно одного из неизвестных.

Если возникли сомнения, поставить рядом с уравнением «?»

Обсудить

- какое (или какие) уравнение стоит особняком? Почему?

- соответствует ли это уравнение теме урока?

- какие уравнения вызвали затруднения с определением метода решения? В чем трудность?

Итак, в результате обсуждения получили три группы уравнений:

1) №  1, 3, 4, 7;  2) № 2, 6;  3) № 5 – «особое» уравнение.

 V. Работа в группах по решению уравнений.

Каждая группа учащихся решает по три уравнения – два методом разложения на множители и одно методом решения квадратного уравнения относительно переменной х или у.

Представители групп, справившихся с заданием раньше остальных, записывают на доске решение.

1. 2х2 + ху = х +7х;

х(2х + у – 1) =7

7= 7· 1 = 1· 7 = -1·(-7) = -7 · (-1)

или  или  или

(7;-12)                     (1;6)                          (-1;-4)                        (-7;14)

2. 2х2 – ху - 3у2 = 7

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х.

2х2 – ху – (3у2 + 7)= 0,

D = у2 + 8 (3у2 + 7) = 25у2 + 56.

Так как решения – целые числа, то D = k2, т.е.

25у2 + 56 = k2 ,

k2 - 25 у2 = 56,

(k – 5х)( k + 5х) = 56.

Перебрав все варианты, находим: (-2; 1), (2;-1)

3.  х2 - 3ху = х - 3у + 2,

х2 - 3 ху  - (х – 3у) = 2,

х (х– 3у) – (х– 3у) = 2,

(х – 1)(х – 3у) = 2.

Перебрав все варианты, находим: (2;0), (-1; 0).

4.  у + х = ху,

у+ х – ху= 0,

у – х (у – 1) = 0,

(у – 1) –х (у – 1) = -1,

(у – 1)(1 – х) = -1.

Перебрав все варианты, находим: (0;0), (2;2)

6.  4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

4х2 – 2(у + 1)х + (2у2 + у -1) = 0,

D1 = (у + 1)2 – 4(2у2 + у – 1) = - 7у2 – 2у + 5.

D1 0

- 7у2 – 2у + 5  0,

7у2 + 2у -  5  0,

-1 у  .

Так как у – целое число, то у = -1 или у =0.

Если  у =0, то исходное уравнение примет вид:

4 х2 – 2х – 1= 0,

D1 = 1 + 4 = 5, . Целых корней нет.

Если у = -1, то исходное уравнение примет вид:

4 х2 = 0,

х= 0.

Ответ: (0;-1).

7.  2х2у2  + у2 - 6х2 – 12 = 0,

у2(2х2 + 1) – 3(2х2 + 1) – 9 = 0,

(2х2 + 1)( у2 – 3) = 9,

2х2 + 1 > 0, значит 2х2 + 1 натуральное число.

9 = 9·1 = 1·9 = 3·3.

            или                         или          

(2;2), (2;-2), (-2;2), (-2;-2)          Целых решений нет             Целых решений нет

Учащиеся проверяют свое решение. Руководители групп оценивают работу каждого члена группы.

VI. Работа с уравнением № 5.

С одной стороны, это уравнение с двумя неизвестными, а значит, его решением является пара чисел вида (х;у). С другой стороны, это иррациональное уравнение, и для его решения необходимо найти ОДЗ.

Найдем ОДЗ:

          

Такие системы неравенств можно решать графически. Для этого изобразим множество решений системы на координатной плоскости:

Решение системы – внутренняя область треугольника, образованного графиками. Выберем целые решения: (1;-1), (2;1), (3;0), (2;0).

Проверка показывает, что только пара (2;0) является решением уравнения.

Итак, в некоторых случаях можно использовать графический метод решения.

VII. Подведение итогов урока.Рефлексия

На обратной стороне листочка закончите фразу: «Сегодня на уроке мне удалось…» (получить ответ на вопрос, преодолеть трудности, справиться с задачей …)

VIII. Домашнее задание.

1. Доказать, что уравнение х2 – 5у2 = 3 не имеет решений в целых числах.
2. Решить уравнения в целых числах:

а) 3х2 + 5ху + 2у2 + 7 = 0;

б)