СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ Д.Б.ЭЛЬКОНИНА - В.В.ДАВЫДОВА
методическая разработка (алгебра) по теме

Министерство образования Московской области

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Школа № 29»

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ Д.Б.ЭЛЬКОНИНА - В.В.ДАВЫДОВА

Тема самообразования

Учитель математики: РВАЧЁВОЙ АННЫ ВИКТОРОВНЫ

г.о. Балашиха

2013 г.

Содержание:

Введение………………………………………………………………………........3

Глава 1. Теоретические характеристики систематических дробей

§1. История возникновения дробных чисел………………………………........6

§2. Систематические дроби

2.1. Понятие систематических дробей……………………….......................11

2.2.Представление рациональных чисел систематическими дробями.......13

§3. Десятичные дроби

3.1. Понятие десятичных дробей. Чтение и запись десятичных дробей…20

3.2. Понятие периодического десятичного ряда чисел…………………...21

3.3. Операции с десятичными дробями……………………………….........23

Глава 2. Методические особенности введения темы «Десятичные дроби»

§1. Концепция развивающего обучения В.В. Давыдова и Д.Б.Эльконина.....28

§2. Методика введения темы «Десятичные дроби» в 4 классе по системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова……………………...34

Заключение……………………………………………………………………......55

Список литературы……………………………………………………………….58

Приложения

Приложение 1……………………………………………………………61

Приложение 2……………………………………………………………62

Приложение 3…………………………………………………………....63

Приложение 4……………………………………………………………64

Приложение 5……………………………………………………………66

Приложение 6…………………………………………………………...73

ВВЕДЕНИЕ

     В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали
уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое
значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д.,
немыслимы без математического аппарата.
Основа для математической грамотности закладывается именно в школе,
поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется
пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов
школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от учащихся
волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации
внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

     В данной работе будут рассмотрены десятичные дроби, как частный случай систематических дробей и методика введения десятичных дробей в курсе математики  IV класса в системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова.
     Материал, который изучается в этот период, имеет весомое значение в
школьном курсе математики, т.к. вводимые в IV классе понятия
являются базисными для формирования у школьников понимания предмета математики в дальнейшем. Именно поэтому не стоит недооценивать значимость этого вопроса.
     Успешность преподавания математики, как и остальных предметов школьной программы, определяют многие факторы, среди которых, как основной, выделяют выбор методики преподавания. Именно от правильного выбора методов и приемов преподавания каждой темы курса и их удачного сочетания, зависит уровень понимания, в конечном счете, учащимися материала.

      Методика обучения математики устанавливает, какими способами можно
добиться у всех учащихся прочных знаний, умений и навыков, затрачивая на это минимум сил и времени, а также как развивать творческие способности учащихся и достигать всех тех учебно-воспитательных целей, которые ставятся при изучении математики. Для решения этих задач в методике математики разрабатывают систему методов и приемов обучения.
    При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы.      

     Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов.

     Исторически сложилась система изучения дробей: тема «Десятичные дроби» изучается после темы «Обыкновенные дроби», как  их частный случай. Поэтому приходится менять природу числа, так как в классической школе дробь не может быть получена на теоретико-множественной основе.

     Совершенно меняется система задач в системе Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова так как число вводится, как результат измерения, сохраняется единая природа возникновения рациональных чисел.

     Все вышесказанное определило актуальность нашей работы.

      Цель данной работы: 

1. Изучение принципов системно-деятельностного  обучения.
2. реализация концепции при изучении десятичных дробей в системе Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова.

    Объектом исследования является теория и процесс изучения десятичных дробей в системе развивающего обучения.

     Предметом исследования является сохранение природы числа при изучении темы «Десятичные дроби» в системе развивающего обучения и реализация вопросов преемственности в методике обучения десятичных дробей.

     В ходе исследования была выдвинута гипотеза: изучение десятичных дробей как систематических, полученных в результате измерения,  позволяет добиться большего результата при переходе от общего к частному.

     С учетом проблемы исследования и для проверки достоверности выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. Изучение математической литературы;
2. Выявление места и роли учебной деятельности учащихся в общем учебном процессе;
3. Изучение деятельностной системы при изучении данной темы;
4. Изучение и обобщение методических требований к изучению темы «Десятичные дроби»;
5. Выработка предложений по использованию элементов развивающего обучения в традиционной школе;

     Для раскрытия темы и решения поставленных задач в работе будут
рассмотрены и изучены: рабочая программа по курсу "Математика"  IV класса учителя Просяник Светланы Леонидовны; электронные учебные пособия и проекты; а также описания существующих методик введения новых понятий в курс математики IV класса в системе развивающего обучения.

     ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

     §1. История возникновения дробных чисел

     Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь. Объём, время и другие величины. Приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.

     В истории развития дробного числа  мы встречаем дроби трёх видов:

1) доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число;

2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти;

3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами.

     Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.

     Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями.

     Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

     Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение нескольких тысячелетий  своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные  памятники  искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей (и дроби ). Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей. Если, например, ответ по нашему был, египтяне представляли его в виде суммы ++ и писали без знаков сложения: . Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц  и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем  вместо .

      Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями  делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает  хлеба.

     Для египтянина не было числа , но он знал, что от деления 7 на 8 получается ++. Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба – на четвертинки и 1 хлеб – на осьмушки и распределяет доли между получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов.

     Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит такая же задача деления хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным.

     Решение задач практической жизни при помощи одних лишь долей (египетский способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

      Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. В этих дробях знаменателем служат числа 60; 602 = 3600, 603 = 261 000, 604, 605 и т.д., и они сходны с нашими десятеричными дробями.

Шестидесятеричными дробями пользовались все культурные народы до  XVII века, особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них – обыкновенными или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор: минута есть , секунда  = , терция  =  часть числа.

     Десятичные дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических дробей.

     К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.   Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объёма. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму.

     Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке:

1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

     Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей.

       Целую часть от дробной стали отделять особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае, как и в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

     Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Симоном Стевином.

     В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей. В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

      Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

     Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид  Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени… По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени…». Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными терциями» и т.д.      

     Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби. Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Он вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую, а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.  

Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным.

     Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей. Запись десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот, например, как он записывал число 35,912:  35 0 9 1 1 2 2 3.

     Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами указывается десятичный разряд: 1 – десятые, 2 – сотые и т.д.  Стевик указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

     §2. Систематические дроби

     2.1. Понятие систематических дробей

Систематические дроби- дроби, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида.

     Пусть дробь  такова, что для некоторого фиксированного натурального t, неравного единице, найдется такое натуральное q,что bq=tm, тогда дробь  можно представить в виде суммы , -целое число, а все (при всех i от 1 до m) числа целые неотрицательные, меньшие t. Рассмотрим случай положительного . В силу условия ==. Если  через ,уже имеем

==. Когда = t, то == .

     Пусть >t. Тогда =,где =. При этом, если с1или с1= t мы уже имеем представление данной дроби в виде указанной выше суммы. Если же с1>t, то c1=c2t+am-1, где am-1Теперь =. И опять  либо процесс представления в виде требуемой  суммы уже закончен, либо мы его продолжаем, используя теорему о делении с остатком. На k-ом шаге мы будем иметь: =. Процесс может продолжится не более чем до k=m, когда получится =. Обозначив в этом крайнем случае cm через а0, мы и получим  требуемое представление дроби .

      В случае отрицательного а мы представляем дробь  в виде суммы .

Дробь же ==.

Так как ===

===1.

     Так как при любом i от 1 до т аi- аi и t-- неотрицательные числа. Введя новые обозначения: =b и = b1,…, = bт-1, и t-= bт получаем требуемое представление и для дроби , когда -число отрицательное: =.

     Определение. Ряд , где а0 –целое число, а а1, а2 и так далее.  -числа целые неотрицательные, меньше t, называется конечной систематической дробью с основанием t.

     Такую дробь принято записывать (а0, а1  а2…) t. Когда t=10 соответствующая систематическая дробь называется десятичной и в ее записи сковки и индекс основания опускаются, то есть а0, а1  а2… следует рассматривать как десятичную дробь. На практике отрицательная дробь, то есть дробь с отрицательным числителем, как правило не приводится к виду (b0 ,b1 b2 …bт) t ,а записывается как (- а0, а1  а2…) t , где

(а0, а1  а2…) t есть представление положительной дроби . При этом (- а0, а1  а2…) t тоже считается систематической дробью. Очевидно, что всякая систематическая дробь представляет вполне определенное рациональное число, так как, найдя сумму ряда , мы естественно получим дробь вида , которая, как мы знаем представляет определенное рациональное число.

Посмотрим, каким свойством будет обладать дробь , являющаяся суммой ряда ? Прежде всего, очевидно, что знаменатель дроби b равен tm , числитель же - сумма.Подводя итог, можно сделать следующий вывод. Дробь  может быть представлена в виде систематической дроби с основанием t тогда и только тогда, когда либо b является степенью числа t (существует натуральное т, что

 b= tт), либо найдется такое натуральное q, что bq есть степень t с натуральным показателем (bq= tт).

     2.2.Представление рациональных чисел систематическими дробями

     Прежде всего, отметим, что для всякой дроби , знаменатель и числитель которой имеют общий делитель, больший единицы, существует ей равная дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые числа. В самом деле, если НОД(a ,b)=d, то a=a1d и b=b1d. В следствии чего =, где числа a1, b1- взаимно простые. Таким образом, мы имеем полное право считать, что всякое рациональное число представляется дробью с взаимно простыми числителем и знаменателем, иначе говоря, дробью несократимой. Поэтому далее, говоря о дробях, мы полагаем, что они являются несократимыми. Итак, пусть- несократимая дробь и при этом b и t-взаимно простые натуральные числа (). Делим a на b с остатком:=. Тогда в силу условия, что - несократимая дробь,r00. Умножаем r0 на t и полученное число , делим с остатком на =. И в этом случае r10 так как иначе r0 делилось бы на b и тогда b< r0. Но последнее противоречит теореме о делении с остатком. Далее, делим  на b с остатком: r1=. Здесь опять r20. Поэтому этот процесс можно продолжить.

На 1-ом шаге мы получим: =. Где 0. Таким образом, осуществляя этот процесс бесконечно, мы получим бесконечную последовательность неравенств:

=

=

r1=

………………

=                (1)

=

………………..

 и, соответственно, бесконечную последовательность натуральных чисел  

r0 , r1 , r2 , …, ,  , , … ограниченную сверху числом b (так как < b при любом i). Отсюда следует, что в этой последовательности члены должны повторяться. Пусть первым повторившимся членом будет остаток rk. Он равен одному из чисел r0 , r1  , …, .Положим сначала, что r0=. Тогда очевидно, что r1=, r2= ,…,  r2k-1=.В общем случае rjk+i=, , а  j изменяется от 0 до . Таким образом, последовательность r0 , rj , …,  ,… оказывается циклической, или периодической с периодом r0 , r1  , …,.

Последовательности остатков соответствует бесконечная последовательность частных:  q0 , q1 , q2 , …, q i-1 , q i , q i+1 , …, которая так же будет периодической, так как в следствие равенства = r0 , q k+1 равно q1 , q k+2 = q2 , … , q k+ k= q k и так далее. Иначе говоря, последовательность частных будет периодической с периодом   q1 , q2 , …, q k-1 , q k.

    С другой стороны, дробь  может быть представлена в виде суммы дробей, знаменатели которых есть степени числа t:

1) = q0+

2) =

3) =

………………………..

k+1) =

k+2) =

  Таким образом: = q0++ … +++ … ++ … Как показано выше, числители дробей - слагаемых, начиная с дроби , образуют периодическую последовательность.

   Поэтому = q0+ .

     Теперь обратимся к общему случаю, когда повторившийся член  последовательности r0 , r1 , r2 ,…, , ,   … равен не r0 , а какому—то из членов r1 , r2 ,…, . Обозначим его .Очевидно, что 1q k+ 1 последовательности q1 , q2 , …, q k-1 , qk, …будет равен q p+ 1 . В этом случае периодическое повторение членов этой последовательности начинается с q p+ 1   , а периодом , будет группа членов

q p+ 1 , …, q k. Дробь  предстанет в этом случае в виде суммы

q0++ … ++ .

     Определение 1 . q0+, где q0 – любое целое число, t-натуральное, неравное 1, а qi-неотрицательные числа, меньшие t , называют бесконечными систематическими дробями.

Число t называют основанием систематической дроби. Обычно за  t принимают основание той позиционной системы счисления, в которой записываются целые числа а, b, q0, qi ,.. В этом случае q1 , q2 , …, qi - цифры позиционной системы и систематическая дробь записывается в виде символа (q0, q1 q2… q k … )t .При этом, если t =10, то скобки и значение t опускаются, так что дробь примет вид: q0, q1 q2… q k … При t  = 10 дробь называют десятичной, при  t = 2 -двоичной и т.д.

Определение 2. Систематическая дробь называется периодической, если она представляет периодический ряд. Сумма  +…+называется предпериодом.    

     Если р = 0, т.е. предпериод отсутствует, то систематическая дробь называется простой, если же p 0, то дробь называют смешанной.

     В школе, где qi  - цифры системы счисления, дробь q0, q1 q2… q p ( q p+1 …q k)  называют периодической, если в ней группа цифр, непосредственно следующих друг за другом, начиная с соответствующего места (с номера p+1), бесконечно повторяется. Эта группа цифр заключается в скобки. Выше полученные результаты можно свести к следующему утверждению: всякая несократимая дробь, знаменатель которой взаимно прост с некоторый фиксированным натуральный числом t, может быть представлена простой или смешанной периодической дробью.

     Рассмотрим теперь более общий случай несократимой дроби . когда b и t имеют общие делители, отличные от 1. В этом случае, в свою очередь, может иметь место одна из двух возможностей: существует натуральное q такое, что bq=tm , не существует никакого q, для которого такое равенство возможно.    

     Первый случай можно характеризовать и так: простые множители в разложении b входят в состав разложения на простые множители числа t. Второй же случай имеет место тогда и только тогда, когда в разложении числа b на простые множители есть такие, которые не входят в разложение числа t.

     Первый случай был рассмотрен в пункте 1 настоящего параграфа и его результат — возможность представления — в виде конечной систематической дроби (а0,а, а2...ат) которая есть бесконечная периодическая дробь с периодом, состоящим из одной цифры 0:

= + или иначе а0,а, а2...ат   (0)

     Исследуем второй случай. Итак, пусть НОД(b,t) =dи в разложении t  на простые множители есть такие, которые не входят в разложение числа b.(bq при любом натуральному q). Используя теорему о делении с остатком строим последовательность равенств:

a = b · q + r

r· t = b · q + r

r · t = b · q + r

r ·  t = b ·  q + r

r ·  t = b · q+ r

    Допустим, что при некотором значении  i r = 0.  Тогда rtb. Если b:d=b, а t :d=t, то r · t  b. Так как  t и b взаимно простые, то r  b. Но rt=bq+ r и  b  b,  rb, значит rt  b. Но b и t взаимно простые, так как  противное противоречило бы условию рассматриваемого случая дроби .  Отсюда  r  b. Продолжая это исследование мы придём к тому, что  r  b, а значит и a  b.  Полученный результат противоречит первому условию, в силу которого   - несократимая дробь. Устранить это противоречие можно лишь, положив r 0. Таким образом, как и раньше, получаем бесконечную последовательность остатков r, r, r, …, r …, каждый из которых заключён между 0 и b, а потому дробь   предстанет в виде бесконечного периодического ряда  q + + …++ . Иначе говоря,  и в этом случае предстаёт в виде бесконечной периодической систематической дроби.

      Вывод: всякая обыкновенная дробь может быть представлена периодической систематической дробью.

    В свою очередь, всякая периодическая систематическая дробь представляет некоторую обыкновенную дробь , а значит и вполне определённое единственное рациональное число.

Доказательство этого утверждения сводится к нахождению суммы ряда

q + + …++ , которая может быть представлена в виде:

q+ + …++·

Ряд  является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем   . Такая сумма равна  .

     Таким образом, сумма ряда является суммой конечного числа дробей, которая по правилу сложения дробей даст нам обыкновенную дробь .

     Подводя итог вопросу о представлении рационального числа в виде дроби, мы можем с полным правом сформулировать следующее утверждение:

      Теорема: Всякое рациональное число может быть представлено периодической систематической дробью, а всякая периодическая систематическая дробь является представителем вполне определённого рационального числа.

     Представление рациональных чисел систематическими дробями удобно в том отношении, что позволяет выполнять операции с ними, используя правила действий с целыми числами, записанными в позиционной системе. На практике это применяется, когда систематическая дробь конечна (или заменена приблизительно равной ей конечной дробью).

     §3. Десятичные дроби

     3.1. Понятие десятичных дробей

      Десятичной дробью называется десятичная запись числа, в которой есть разряд единиц и разряды правее разряда единиц.

      Это определение, которое дают в традиционной школе. Рассмотрим определение, которое дают в системе развивающего обучения. Десятичной дробью называется сумма целого числа и элементарных дробей, записанная по системе поместного (позиционного) значения цифр. Десятичной дробью называется такое дробное число, у которого знаменатель 10 с каким-либо показателем и которое записано в позиционной системе так, что знаменатель только подразумевается. При записи десятичной дроби правее разряда единиц  ставится запятая.  На калькуляторе разряд единиц от разряда десятых отделяется точкой. Правее запятой располагаются десятичные разряды, или десятичные знаки, левее запятой — целая часть десятичной дроби.

     Десятичные разряды называются: десятые; сотые; тысячные; десятитысячные; стотысячные; миллионные; десятимиллионные; стомиллионные; миллиардные и т. д. Число 0 и любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби, поставив после разряда единиц запятую, а после нее - произвольное число нулей: 0 = 0,000; 783 = 783,00.

      Запятая (на калькуляторе точка) делит десятичную дробь на две части: левее запятой располагается целая часть, правее — дробная часть.

Для того, чтобы прочитать десятичную дробь используется алгоритм:

1.  Прочитать число до запятой (дробную часть числа можно прикрыть);
2.  Сообщить о том, что ты прочитан целую часть данного числа с помощью слова «целых»;
3.  Прочитать число после запятой (целую часть числа можно прикрыть);
4.  Сообщить название последнего разряда (если забыл, то нужно посмотреть, как называется соответствующий разряд в целой части).

Кроме этого, чтобы прочитать десятичною дробь, можно воспользоваться абаком (смотри приложение 1).

     Чтобы записать десятичную дробь нужно воспользоваться алгоритмом десятичной записи:

1. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе.
2. Записать целую часть (она может быть равна нулю).
3. Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной.
4. Записать числитель дробной части.

3.2. Понятие периодического десятичного ряда чисел

     Периодическим десятичным рядом называется такой десятичный ряд, в котором,   начиная   с   какого-либо   места,   без   конца   повторяется   в известном порядке только одна и та же группа цифр (в частности одна цифра), называемая периодом. Например:

1) 5,131313…13…                                                    Период образовался с

2) 14,777…7…                                                           первого места после

3) 23,123456789123456789…123456789…             знака дробности.

4) 0,987654321987654321…987654321…

5) 5,4921313131313…13…                                                 Период образовался

6) 14,00777…7…                                                                 не с первого места

7) 23,444123456789123456789…123456789…                  после знака

8)0,42668001 987654321987654321…987654321…         дробности.

 Итак, видим, что периодические десятичные ряды могут быть двух видов:

1. чистые периодические десятичные ряды,
2. смешанные периодические десятичные ряды.

     Чистым периодическим рядом называется периодический десятичный ряд, у которого период начинается непосредственно после знака дробности.

      Смешанным периодическим десятичным рядом называется периодический десятичный ряд, у которого период начинается не сразу после знака дробности; число, стоящее между знаком дробности и началом периода, называется допериодической частью. Например:

1. 113,238238…238…-чистый периодический десятичный ряд с периодом 238;
2. 113,4578905905…905…-смешанный периодический десятичный ряд с периодом 905, где 4578-допериодическая часть.

     Читают периодические десятичные ряды так: сначала называют целую часть, потом допериодическую, если она есть, и, наконец, период. Например: 120, 25(67) — сто двадцать целых, двадцать пять до периода и шестьдесят семь в периоде; 0,000(8) — нуль целых, три нуля до периода и восемь в периоде. Если несократимая дробь имеет в разложении знаменателя на простые множители хотя бы один простой множитель р, отличный от 2 и 5, то эту дробь нельзя выразить в виде конечной десятичной дроби.  Всякую дробь, не допускающую представления в виде десятичной дроби, можно представить в виде периодическою ряда, притом единственным образом.

Всякую несократимую дробь, знаменатель которой есть число взаимно простое с 10, можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда.

      Т.е. будем брать только такие несократимые дроби, у которых знаменатель взаимно прост с 10, т. е. не содержит простых множителей 2 и 5. Таковы знаменатели 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19,21,23, 27, 29, 31 и т. д.  Всякую несократимую дробь, которую нельзя выразить десятичной дробью и знаменатель которой делится на 2 или на 5, можно выразить смешанным периодическим десятичным рядом. Всякий чистый периодический ряд, имеющий нуль целых равен дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель есть натуральное число, изображаемое столькими девятками, сколько цифр в периоде.

     3.3. Операции с десятичными дробями

       Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей.

      Десятичные дроби складываются и вычитаются так же, как натуральные числа: по разрядам, начиная с младших разрядов.

     Сложение и вычитание десятичных дробей можно записать "в столбик":

                                                      16,20         16,20

            +   3,18     +  3,18

                                                    19,38        13,02

     Если   после   выполнения   действий   в   конце   дробной   части   появляются

несколько нулей, то их, естественно, писать не надо.

Таким образом, мы получаем следующий алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей:

1. Уравнять в дробях число знаков после запятой.
2. Записать их "в столбик" так, чтобы запятая оказалась под запятой.
3. Выполнить сложение (вычитание) поразрядно, не обращая внимания на запятую.
4. Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

     Приведем несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей с помощью установленного алгоритма:

     0,57

 + 2,800

    3,379

   5,3664

- 19,7336

  25,1000=25,1

     Правила   сложения   десятичных   дробей   дают   возможность   разложения

десятичной дроби по разрядам, совершенно аналогичное разложению по

разрядам натуральных чисел.  Именно на основании этих правил можно

записать, например, равенство:

123,0456 = 100 + 20 + 3 + 0,04 + 0,005 + 0,0006.

      Это равенство показывает, сколько единиц каждого разряда содержит число

123,0456, а именно: 1 сотню, 2 десятка, 3 единицы, 4 сотых, 5 тысячных и 6

десятитысячных, а единицы разряда десятых в нем отсутствуют.

     Рассмотрим  умножение и деление десятичных дробей на 10,100,1000 и т.д.

3,2610=3 , 2 , 6

            1 нуль    Переносим запятую на

                            одну цифру вправо

32,610=3 , 2 , 6

         1  нуль       Переносим запятую на

                                одну цифру влево

     При умножении на 10,100,1000 и т. д. число увеличивается, запятая смещается вправо. При делении на 10,100,1000 и т. д. число уменьшается, запятая сдвигается влево. Запятая смещается на столько разрядов, сколько нулей в числе 10,100,1000 и т. д.

  Например, при выполнении деления 31,28 на 1000 обращаем внимание на то, что 31,28: 1000 < 31,28.

     Запятая смещается влево. В 1000 три нуля, поэтому запятая смещается на три разряда. Следовательно, 31,28 : 1000 = 0031,28 : 1000 = 0,03128.

     При выполнении умножения 0,03128 •100 обращаем внимание на то, что

0,03128 • 100 > 0,03128.

     Запятая смещается вправо. В 100 два нуля, поэтому запятая смещается на 2 разряда. Следовательно, 0,03128 •  100 = 3,128.

      Также необходимо рассмотреть умножение десятичных дробей.

     Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, нужно:

1. отбросить запятые в множителях и запомнить, во сколько раз увеличился при этом каждый из множителей;
2. перемножить получившиеся натуральные числа;
3. произведение натуральных чисел уменьшить во столько раз, во сколько раз были увеличены оба множителя.

  Например, найдем произведение десятичных дробей 0,132 и 0,301.

1) 0,132 •  0,301= 0,1• 0,3 = 0,03;

2. 132 = 0,132  • 1000; 301 = 0,301 •  1000;
3. 132• 301 = 39 732;
4. 39 732 : (1000• 1000) = 0,039732.

Ответ. 0,132 • 0,301 = 0,039732.

     Особенно полезно при умножении десятичных дробей использовать свойства умножения: сочетательное, переместительное, распределительное.

Например:

1)  7,292,50,4=7,29(2,50,4)=7,291=7,29     (сочетательное свойство);

2) 89,7299=89,72(100-1)=8972-89,72=8882,28   (распределительное свойство);

3) 47,351,25250,80,04=(1,250,8) (250,04) 7,35=117,35  

(переместительное и сочетательное свойства);

5. 7,324 • 2,5 + 0,676  2,5 = (7,324 + 0,676) • 2,5 = 8 • 2,5 = 20    

(обратное распределительное свойство).

     А теперь рассмотрим деление на десятичную дробь. Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, надо:

1. отбросить в делителе запятую и установить, во сколько раз увеличивается делитель;
2. увеличить во столько же раз делимое;
3. разделить новое делимое на новый делитель.

     Например, разделим 31,26 на 0,015. В соответствии с правилом надо отбросить в делителе 0,015 запятую и установить, что получившееся число 15 больше числа 0,015 в 1000 раз: 15 = 0.015 •1000.

Чтобы частное не изменилось, необходимо увеличить в 1000 раз делимое:

31,26• 1000 = 31260.

Последний шаг — деление числа 31260 на натуральное число 15:

31260: 15 = 2084.

Запись деления 31,26 на 0,015 может быть такой:

31,26 : 0,015 = (31,26 • 1000) : (0,015 • 1000) = 31260:15 = 2084.

  Пусть надо разделить 9,5 на 4. Будем делить сначала целые единицы, затем оставшиеся единицы раздробим в десятые доли, оставшиеся десятые доли - в сотые и т.д. Если десятичных знаков окажется недостаточно, то всегда можно приписать к ним справа столько нулей, сколько требуется. Итак,   разделим   на   4   сначала   9   целых,   а   затем последовательно - 15 десятых, 30 сотых, 20 тысячных. В итоге получаем, что: 9,5 : 4 = 2,375.

9,500  4

- 8         3,375

   15

- 12

    30

  - 28

      20

    - 20

        0

Значит, чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, можно:

1. Выполнить деление, не обращая внимание на запятую.
2. Поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части.

Найдем, например, частное 0,3 105 на 1 ,5. Для этого сначала заменим знак деления дробной чертой и применим основное свойство дроби:

===.

Теперь выполним деление дроби на натуральное число по установленному выше правилу:

   3,105   15

- 0          0,207

   31

-  30

     105

  -  105

          0

Итак, чтобы разделить число на десятичную дробь, можно:

1) Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр,

сколько их после запятой в делителе.

2)Выполнить деление на натуральное число.

     По ходу изучения десятичных дробей могут быть проведены контрольные работы по проверке навыков действий с натуральными многозначными числами, выполнение которых приобрело для ребенка новый смысл и значимость. Использование действий с многозначными числами для выполнения действий с десятичными дробями является мощным стимулом для повышения интереса к изучению математики.

     Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ТЕМЫ «ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ»

     §1. Концепция развивающего обучения В.В. Давыдова и Д.Б.Эльконина

      В 60-е гг. был создан научный коллектив под руководством психологов В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина, который исследовал значение младшего школьного возраста в психическом развитии человека. Было выявлено, что в современных условиях в этом возрасте можно решать специфические образовательные задачи при условии развития учебной деятельности и ее субъекта, абстрактно-теоретического мышления, произвольного управления поведением.

      Исследованиями было также установлено, что традиционное начальное образование не обеспечивает полноценного развития большинства младших школьников. Это означает, что оно не создает необходимых «зон ближайшего развития», а лишь тренирует и закрепляет те психические функции, которые в своей основе возникли и начали развиваться еще в дошкольном возрасте (чувственное наблюдение, эмпирическое мышление, утилитарная намять и т.п.).  Такое обучение ориентировано не только на ознакомление с фактами, но и на познание отношений между ними, установление причинно-следственных связей, на превращение отношений в объект изучения. Исходя из этого, В.В.Давыдов и Д. Б. Эльконин предлагают перестроить содержание учебных предметов и логику (способы) его изложения в учебном процессе. Предложенная система развивающего обучения противопоставлена существующей системе обучения прежде всего по принципиальному направлению — формирование познавательной деятельности школьника. Известно, что традиционное обучение преимущественно направлено от частного, конкретного, единичного к общему, абстрактному, целому; от случая, факта к системе; от явления к сущности. Развивающееся в ходе такого обучения мышление ребенка названо В.В.Давыдовым эмпирическим.

     Данный тип обучения, по мнению В.В.Давыдова, повсеместно доминирует в школе и характерен также и для большинства новаций.

     В.В.Давыдов поставил вопрос о возможности концептуальной разработки новой системы обучения с направлением, обратным традиционному: от общего к частному, от абстрактного к конкретному, от системного к единичному. Развивающееся в процессе такого обучения мышление ребенка названо В. В.Давыдовым теоретическим, а само такое обучение — развивающим. При этом В.В.Давыдов опирается на исходные положения Л.С.Выготского, Д. Б. Эльконина относительно того, что ведущая значимость обучения в умственном развитии выражается прежде всего через содержание усваиваемых знаний, производным от которого являются методы (или способы) организации обучения. Готовность младших школьников к овладению теоретическими знаниями В.В.Давыдов усматривает в самой логике психологического развития ребенка, и прежде всего развития воображения и ориентации на отслеживание генетически-смысловых связей и отношений.

      Данные особенности развития свидетельствуют о зачатках теоретического мышления у детей преддошкольного возраста, которые служат психологическим базисом, естественной основой формирования теоретических знаний в начальной школе, носящих обобщенно-смысловой характер отражения действительности.

В основе теоретического мышления лежит содержательное обобщение.    

     Ребенок, анализируя некоторую развивающуюся систему предметов, может обнаружить ее генетически исходное, существенное или всеобщее основание. Выделение и фиксация этого основания есть содержательное обобщение данной системы. Опираясь на это обобщение, он способен затем мысленно проследить происхождение частных и единичных особенностей системы. Теоретическое мышление в том и заключается, что создает содержательное обобщение той или иной системы, а затем строит эту систему, раскрывая всеобщность ее основания.  Сравнительные характеристики эмпирического и теоретического обобщения приведены в приложении 2.

     В.В.Давыдов дает характеристику теоретического знания, получаемого в результате содержательного абстрагирования и обобщения. Оно составляет основу развивающего обучения. Подчеркивается важность мыслительного действия анализа (и соответственно синтеза), а не только сравнения и преобразования для установления генетически исходного основания и связи всех свойств для появления и обработки обобщенного способа умственной деятельности.

      Еще одно существенное отличие теоретического знания состоит в том, что при его формировании вскрываются, устанавливаются связи всеобщего и единичного внутри целостной системы, понимание ее сущности, что предполагает активную мыслительную деятельность (а не только представление). И, наконец, форма существования теоретического знания. В теории В. В. Давыдова это прежде всего способы умственной деятельности, обобщенные способы действий.

      Такое понимание теоретического знания и основного направления обучения как восхождения от абстрактного к конкретному основывается на иной, собственно психологической интерпретации существующих дидактических принципов. Так, В.В.Давыдов, рассмотрев общедидактические принципы сознательности, наглядности, преемственности, доступности, научности, утверждает другую, собственно психолого-педагогическую их природу:

• принцип преемственности - принцип качественного различия стадий обучения;
• принцип доступности - принцип развивающего обучения;
• принцип сознательности - принцип деятельности;
• принцип наглядности - принцип предметности.

     При всем различии эмпирического и теоретического мышления, соответствующих им мыслительных действий и знаний, оба этих типа мышления необходимы каждому человеку, поскольку они дополняют друг друга. Теоретическое мышление решает присущие ему задачи в самых различных сферах общественного сознания — научном познании, создании художественных образов к разработке правовых норм, поиске нравственных и религиозных ценностей. Поэтому неправомерно связывать его с оперированием лишь научными понятиями.

     Развивающее обучение должно разрабатываться в соответствии с его структурой и особенностями. В. В. Давыдов формулирует основные положения, характеризующие не только содержание учебных предметов, но и те умения, которые должны быть сформированы у учащихся при усвоении этих предметов в учебной деятельности.

1. Усвоение знаний, носящих общий и абстрактный характер предшествует знакомству учащихся с более частными и конкретными знаниями; последние выводятся учащимися из общего и абстрактного как из своей единой основы.
2. Усвоение знаний, конституирующих данный учебный прел мет или его основные разделы, в процессе анализа условий их происхождения, благодаря которым они становятся необходимыми.
3. Формирование умения при выявлении предметных источников тех или иных знаний обнаруживать в учебном материале генетически исходное, существенное, всеобщее отношение, определяющее содержание и структуру объекта данных знаний.
4. Умение воспроизводить это отношение в особых предметных, графических или буквенных моделях, позволяющих изучать его свойства в чистом виде.
5. Умение конкретизировать генетически исходное, всеобщее отношение изучаемого объекта в системе частных знаний о нем и таком единстве, которое обеспечивает мысленные переходы от всеобщего к частному и обратно.
6. Умение переходить от выполнения действий в умственном плане к выполнению их во внешнем плане и обратно.

В основе развивающего обучения школьников по системе Б. В.Давыдова — Д. Б. Эльконина лежит теория формирования учебной деятельности и ее субъекта в процессе усвоения теоретических знаний посредством анализа, планирования и рефлексии. Данный приоритет основан на результатах исследований Д. Б. Эльконина, согласно которым основным критерием умственного развития ребенка является наличие правильно организованной структуры учебной деятельности (сформированная учебная деятельность) с ее компонентами — постановкой задачи, выбором средств, самоконтролем и самопроверкой, а также правильное соотношение предметных и символических планов в учебной деятельности.

      В соответствии с теорией В. В.Давыдова для формирования полноценной учебной деятельности у младших школьников необходимо, чтобы они систематически решали учебные задачи. При этом они находят общий способ подхода ко многим частным задачам, которые в последующем выполняются как бы с ходу и сразу правильно.

      Учебная задача решается посредством системы действий. Первое - принятие учебной задачи, второе — преобразование ситуации, входящей в нее. Усвоение теоретических знаний посредством соответствующих действий требует ориентации на существенные отношения изучаемых предметов, предполагающей анализ, планирование и рефлексию содержательного характера. Поэтому при усвоении теоретических знаний возникают условия для развития названных мыслительных действий как важных компонентов теоретического мышления.

      Носитель учебной деятельности — ее субъект. Младший школьник в этой роли выполняет учебную деятельность первоначально месте с другими и с помощью учителя. Развитие субъекта происходит в самом процессе ее становления, когда школьник постепенно превращается в учащегося, т.е. в ребенка, изменяющего и совершенствующего самого себя. Для этого он должен знать о своих в чем-либо ограниченных возможностях, стремиться и уметь преодолевать свою собственную ограниченность. Это означает, что ребенок должен рассматривать основания своих собственных действий и знаний, т.е. рефлексировать.

      Развитие у ребенка потребности в учебной деятельности, соответствующих мотивов способствует усилению желания учиться. Именно желание и умение учиться характеризует младшего школьника как субъекта учебной деятельности. Первоначально младшие школьники выполняют учебную деятельность совместно, поддерживают друг друга в решении задачи, обсуждают и выбирают пути поиска данного решения. Именно в этих ситуациях и возникают «зоны ближайшего развития». Иными словами, на первых этапах учебная деятельность выполняется коллективным субъектом. Постепенно эту деятельность начинает самостоятельно осуществлять каждый, становящийся ее индивидуальным субъектом.

     Концепция развивающего обучения В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина нацелена прежде всего на развитие творчества как основы личности. Многие положения этой концепции получили подтверждение в процессе длительной экспериментальной работы.

      Развитие и апробация системы Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова продолжаются и в наше время.

      Однако эта концепция пока недостаточно реализуется в массовой образовательной практике.

§ 2. Методика введения темы «Десятичные дроби» в 4 классе по системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова

     Для введения понятия дроби дети должны вернуться к задаче измерения, с которой начиналось знакомство с числом. Изменение условий решения этой задачи (теперь мерка окажется меньше измеряемой величины) приводит к новому виду чисел — к дробям, а значит, необходимо будет определить место дроби на числовой прямой, с помощью которой они уже умеют сравнивать любые числа. Отношение частей и целого, с которым дети не раз встречались и описывали его с помощью схемы, позволит выделить основные типы задач на нахождение части от числа (величины), числа по его части и дроби, фиксирующей кратное отношение части и целого.

Введение понятия десятичной дроби требует, прежде всего, анализа условий, при которых получаются однозначное и многозначное числа. Это, в свою очередь, означает, что возврат к ситуации опосредованного сравнения величин, которая приводит к измерению величин и их сравнению посредством чисел (мерка при измерении единая), дает возможность ученику вернуться к исходной ситуации. Такой возврат к старому для конструирования нового понятия позволяет одним ученикам переосмыслить (восстановить) принцип «устройства» числа, в частности многозначного, а другим — вновь построить для себя это понятие заново, как в «старых» условиях решения задачи измерения, так и в новых, изменившихся условиях.

Таким образом, для постановки задачи на воспроизведение величины меньшей, чем заданная исходная (основная) мерка, необходимо восстановить две исходные ситуации.

1. А > Е

=4

                                                А

        Е

2) А » Е (А намного больше Е)

                                                           = 1 1 13

                                              Е1                                    Е2                      Е3

                                                                А

Е1

Е2

Е3

=3; =3

3 — основание системы счисления.

     Для этого дети, без сомнения, предложат разбиться на группы (если соответствующие формы работы регулярно использовались на уроках, а они подробно описаны в методических пособиях для учителя), распределив между ними виды величин: одни действуют с длиной, другие — с площадью, третьи — с объемом и т. д.

     Учитель должен заранее подготовить предметы, обладающие  нужным свойством, и мерки, соответствующие измеряемым  величинам. Результатом измерений должны быть однозначные и многозначные числа.    Прежде всего, важно вернуть учащихся к ситуации измерения, которая требует создания системы мерок в заданном отношении.

Как только все три ситуации измерения, приводящие либо к записи числа как результата измерения, либо к новому арифметическому действию, будут рассмотрены и восстановлены, детям нужно предложить самостоятельно выполнить измерение данной величины с помощью заданной мерки и записать результат в двоичной системе мер.

Для этого сначала нужно построить саму систему мер, последней из изображенных должна быть мерка, которая больше, чем измеряемая величина, что дает возможность установить, сколько цифр должно быть в записи числа, и сделать заготовку.

В данной ситуации мерку удобно выбрать самим (форма мерки для исследований способов записи числа и восстановления по числу величины значения не имеет).

Мы предложим ученикам с помощью мерки в 5 клеток построить фигуру площадью 231,225, то сначала нужно показать мерки, которые понадобятся:

Затем построить фигуру, площадь которой выражена числом 231,225:

Вопрос, который подлежит обсуждению, связан с чтением позиционных дробей. Ответ на него дан под ключом.

Так же как и всегда, ключи в классе не читаются. Ими ученик может воспользоваться дома, а в классе сначала выслушиваются предложения детей, а лишь затем сообщаются общепринятые способы чтения позиционных дробей.

     Перед тем как перейти к выполнению следующего задания, нужно предложить прочитать дроби: 3,15;0,213; 0,7; 0,16; 1325,18310.

На данном этапе десятичные дроби читаются так же, как и любые недесятичные: перечислением цифр в целой части, за тем в дробной с указанием основания системы счисления. Кстати говоря, дети при конструировании записи позиционной дроби пытаются сначала записать основание системы счисления так: 111211, отделяя им целую часть от дробной. Однако на вопрос о том, относится число 2 только к способу образования мерок в целой части или к дробной тоже, дети, как правило,
говорят, что число 2 сообщает и об увеличении мерки, и об уменьшении, поэтому его надо писать в конце числа. Значит, необходимо отделить одну часть числа от другой специальным значком, например «палочкой», «галочкой»: 111    11 или 111      11 и т.п.

Теперь, кроме той записи, в которой запятой мы отделяем целую часть от дробной (в калькуляторе используется точка), можно показать для некоторых дробей и другую форму записи (смотрите раздел «Это интересно!» в учебнике, книга 1): дробь 0,710 записывают как  и читают «семь десятых» (это 7 из 10 равных частей). Число 10 рассказывает о том, что основную мерку уменьшили в 10 раз, т. е. разделили на 10 равных частей, и получили новую мерку, которая уместилась в измеряемой величине 7 раз. Запись  =  объясняет смысл такого размещения чисел: число 10 под чертой (знаменатель) сообщает о том, как получили новую мерку, а число 7 над чертой — о том, сколько раз новая мерка уместилась в величине А (числителе). Другими словами, число 10 рассказывает о том, что нужно сделать с меркой Е, а число 7 — о том, чему равна величина А.

Аналогичным образом можно записать и числа 0,16 =; 3,15=

Для сведения: число 0,213 записать обыкновенной дробью, у которой и числитель, и знаменатель записываются числами в десятичной системе счисления, можно только в виде суммы:

0,213=+

так как вторая после запятой мерка получена из предыдущей уменьшением в 3 раза, а по отношению к основной она уже в 9 раз меньше. Если основная мерка Е1,

                    то е1 в 3 раза меньше, чем Е1,  е2 в 3 раза меньше е1 и составляет          

                     часть мерки Е1, т. е. 1 клетку        е2                                      е1

     Однако нет необходимости на данном этапе обучения показывать различные способы перевода из одной формы записи в другую. Вполне достаточно показать записикоторые соответствуют по смыслу такой форме записи: 0,37; 0,25; 0, 19. Соотнесение разных видов дробей предлагается лишь для ознакомления и может быть рекомендовано только для классов, достаточно «продвинутых» в изучении математики. Перевод позиционных дробей в обыкновенные и наоборот станет предметом специального исследования в 5 классе в период обучения обыкновенным дробям и действиям с ними. Запись некоторых обыкновенных дробей (в том числе перечисленных выше) в форме позиционных поможет ученикам позже более глубоко осознать причины, по которым нельзя выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (мерками).

Сложить (вычесть) два числа, записанные в разных системах счисления, 0,35 + 0,79 все равно что сложить. Оба числа получены в результате измерения разными мерками. В одном случае меркой, которая в 5 раз меньше основной, а по втором — в 9 раз меньше.    

Итак, прежде чем конструировать способы сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления позиционных дробей, в том числе десятичных, необходимо дать возможность ученикам глубже осознать взаимосвязь:

Итак, чтобы прочесть правильно дробную часть (целая часть дроби — число натуральное или 0, а такие числа дети читать умеют), можно:

1)        прикрыть рукой, листом бумаги или пальнем целую часть дроби вместе с запятой;

2)        прочитать число после запятой так, как бы ты прочитал
любое натуральное число, не обращая внимания на нули перед
числом, если они есть.

     К примеру, если после запятой число записано так:

 0037, то это число 37 (тридцать семь), на нули внимания не обращаем (этот способ детям знаком со 2 класса);

3) прочитав число 37, нужно далее указать название последнего разряда (если он отличен от нуля). Здесь мы имеем дело с 4-м разрядом — разрядом десятитысячных долей (этот разряд симметричен относительно разряда единиц разряду десятков тысяч, поэтому его и называют разрядом десятитысячных). Значит, после запятой написано число 37 десятитысячных.

Способ, которым обычно пользуются для прочтения десятичных дробей, которые изучают после обыкновенных, выглядит так. Мысленно представим запись десятичной дроби в форме обыкновенной. Для этого необходимо:

1. сначала посчитать, сколько цифр после запятой (с нашем примере их 4);
2. мысленно записать в знаменателе единицу с 4 нулями;
3. прочитать число, записанное единицей с 4 нулями, для чего нужно либо мысленно разбить это число на классы, а разбиение нужно сделать справа налево, удерживая в памяти то, что в нашем примере это единица с 4 нулями, либо знать «на зубок», как читается число, записанное единицей с 4 нулями, с 5, б, 3 и т. д.
4. назвать дробную часть числа:

                        0037=        

      Способ прочтения, который задается в нашем случае, как показала многолетняя практика, для обычного школьника гораздо легче. Он не требует от него никаких мысленных усилий, кроме последовательного проговаривания названий разрядов после запятой: десятые (ему соответствует в целой части разряд десятков), сотые (сотни), тысячные (тысячи), десятитысячные (десятки тысяч), стотысячные (сотни тысяч) и т. д. Таким образом, вместе с детьми очень важно выяснить, от чего будет зависеть умение читать десятичные дроби, что нужно хорошо знать.
     Ответ прост: достаточно знать названия разрядов в целой части числа, т. е. при записи многозначных чисел. Именно это и нужно проверить в устной или письменной форме, предложив детям на скорость записать названия разрядов в порядке возрастания в целой части начиная от разряда единиц, а затем название разрядов в порядке убывания в дробной части. Заучивать заранее на звания разрядов не нужно. Обсуждение необходимости этих знаний и тренировочные упражнения должны появиться тогда, когда эта проблема возникнет.

      Можно организовать игру: один называет любой разряд в целой или дробной части, другой должен назвать его «соседей» слева и справа. Можно написать названия первых 5—6 разрядов в целой и соответствующих в дробной части на отдельных карточках, перемешать их, как в домино, а затем поочередно (игра в паре) выкладывать парами: десятки — десятью и т. д.

Под «ловушками» имеются в виду числа, которые заданы указанием количества уменьшенных мерок, притом что в числе может быть целая часть. Значит, чтобы сделать для них заготовки, а затем прочитать дроби, нужно правильно определить порядковый номер разряда после запятой.

Лучше всего использовать разрядную таблицу, которая должна быть в любом классе (по типу кассы букв и цифр в 1 классе, с прозрачными рядами карманов, куда можно вставлять цифры).

 Можно использовать и другое пособие, которое описано дальше.    

Умение показывать место числа на числовой прямой позволяет сравнивать числа по их расположению: из двух чисел всегда больше то, которое дальше по направлению:

Если же дробь заканчивается нулями, то их можно опустить, но если необходимо, то их можно дописывать столько, сколько нужно.

После этих операций получится дробь, равная данной. В этом нетрудно убедиться, изобразив числа на числовой прямой. Например:

5,0 = 5; 0,30 = 0,300 = 0, 3000 0,8000 = 0,800 = 0, 80 = 0,8

      Ситуация успеха для ученика, которая создана учителем по отношению к способу определения места числа на числовой прямой, может и должна превратиться в ее противоположность, и вот почему.

Ребенок без труда мог показать на числовой прямой точку, соответствующую числам 0,7; 1,3; 8,2 и им подобным, а указать точное место числа с несколькими десятичными знаками после запятой практически невозможно. Это значит, возникает необходимость находить приближенное значение числа с тем, чтобы приблизительно показать место этого числа. Другими словами, речь идет об округлении десятичных дробей. Как было неоднократно замечено, введение нового понятия или способа действия не принято предлагать детям в готовом виде, в том числе и изучение способов округления, сравнения десятичных дробей и выполнения арифметических действий. Сначала создается ситуация успеха, когда ребёнок, оценивая свои умения, готов показать решение того или иного задания и обосновать свой способ действия. Затем эта ситуация оборачивается по-иному, поскольку изменились исходные условия. Так, место числа 3,5 ребенок свободно мог показать на числовой прямой, а вот точное место числа 3,578 уже не может, а раз он не может показать место этого числа и многих других, то и сравнить с помощью числовой прямой он сможет не каждую пару чисел. Поэтому конструирование способов сравнения десятичных дробей производится, опираясь на сравнение величин.

1)        сначала сравнивают целые части: из двух дробей больше
та, у которой больше целая часть.

2)        если целые части у дробей равные, то сравнивают дробные части поразрядно начиная со старшего разряда, т. е. с раз
ряда десятых. Это значит, что теперь нужно прикрыть целую
часть вместе с запятой и сравнить следующие после запятой
цифры (и лучше выделить цветом).

Обратим внимание лишь на то, как читаются десятичные дроби, если записан результат сравнения.

Например, неравенство 6,25 < 8,047 читают так: шесть целых двадцать пять сотых меньше восьми целых сорока семи тысячных. Равенство 4,03 = 4,030 читают так: четыре целых три сотых равно четырем целым тридцати тысячным.

     Другими словами, при чтении десятичных дробей все их части склоняются.     Если ученик сомневается в правильном чтении, то можно избежать склонения, прочитав то же неравенство таким образом: дробь (число) шесть целых двадцать пять сотых меньше, чем дробь (число) восемь целых сорок семь тысячных.

Учитель ставит «галочки», а еще лучше — обводит цветным мелом те выражения, которые дети оценивают как незнакомые, г. с. такие, которые они не умеют выполнять. Например, в рамку попадут такие выражения из первого столбика:

Такое предварительное действие оценки позволяет ученикам четко сформулировать те задачи, которые им предстоит решать в дальнейшем: научиться выполнять действия с позиционными
дробями, в том числе с десятичными. А пока пусть они попробуют сформулировать основной принцип, лежащий в основе выполнения любого арифметического действия с многозначными числами.

     Понятно, что речь опять идет о принципе поразрядности.
Вот теперь-то уместно предложить ученикам сделать предположение, относительно того, как выполняются действия с десятичными дробями, и дать обоснование такого предположения: «Поскольку образование десятичных дробей базируется на измерении величин, то, вероятно, и действия с дробями выполняются на тех же основаниях, что и действия с многозначными числами».

Анализ отношений между этими числами и обсуждение того, какую информацию несет в себе одна и та же цифра, записанная в разных разрядах, дают возможность ввести умножение и обратное действие — деление — на 10, 100, 1000 и т. д. Заметим, что использование цвета, различных значков, акцентирующих внимание ребенка на особенностях того или иного способа действия, особенно значимо для слабого ребенка.  

Еще одно замечание. Начиная с 1 класса, многие задания  сопровождаются вопросом: «Что интересного тебе удалось заметить?», но при этом не уточняется, на что нужно было бы обратить внимание.

      Использование такого методического приема неслучайно, поскольку, как и другие приемы (в частности, с придумыванием «таких же» заданий), он помогает учителю понять, на что обращает внимание ребенок: на математические связи и отношения или нет, какие признаки он выделяет: существенные или нет. Такой прием, как показывает практика, дает возможность   на любое содержание посмотреть шире и глубже. Текст, который дан после обсуждаемого вопроса, носит характер подсказки и, как уже было неоднократно замечено, по книге не читается, а воспроизводится учителем.  

Основная идея и обоснование способа базируются на обнаруженном свойстве: если данное число(или выражение) увеличить в несколько раз, а затем уменьшить во столько же раз, то получим число, равное данному.

Поэтому, умея перемножать многозначные натуральные числа, мы можем «свести» к этому способу умножение десятичных дробей, превратив каждый множитель в натуральное число.

     По ходу изучения десятичных дробей могут быть проведены контрольные работы по проверке навыков действий с натуральными многозначными числами, выполнение которых приобрело для ребенка новый смысл и значимость. Использование действий с многозначными числами для выполнения действий с десятичными дробями является мощным стимулом для повышения интереса к изучению математики.

Поскольку ученику предлагается не просто отделить задания, которые он умеет выполнять, от заданий, над которыми нужно задуматься, а выполнить эти задания, то порядок работы может быть определен следующим образом: либо выполнять по порядку те вычисления, которыми он владеет, либо сначала выполнить поочередно сложение, вычитание и умножение, а эти действия он умеет выполнять как с натуральными числами, так и с десятичными дробями, а затем перейти к действию деления. Причем деление натурального числа на натуральное ребенок наверняка оценит как хорошо известное. Вот тут-то его и поджидает «ловушка», о которой он пока не догадывается: при делении окажется остаток, и необходимо разобраться, как с ним теперь нужно поступить. До знакомства с десятичными дробями форма записи была такова: 931 : 25 = 37 (ост. 6).

  931    25

- 75      37

  181

- 175

      6

Теперь, когда мы знакомы с десятичными дробями, становится очевидным, что в результате может быть дробное число (если вернуться к величинам, то ясно, что речь идет об измерении остатка, который выражается дробным числом, показывающим способ действия с основной меркой).

Поэтому, как только появился остаток, ясно, что целая часть числа закончена, а значит, нужно поставить запятую как в частном, так и в делимом:

    931,    25

  - 75       37 ,

    181

  - 175

        6

Чтобы узнать первую цифру после запятой, припишем нуль в делимом, снесем этот нуль и продолжим деление.

Если опять останется остаток, припишем еще один пуль в делимом (отчего делимое не изменится) и продолжим деление.

    931, 00   25

  - 75           37,24

    181

  - 175

        60

   - 50

        100

      - 100

             0

Деление окончено. В частном получена конечная десятичная дробь.

К сведению: так оказывается не всегда. Результатом деления двух чисел; в том числе и натуральных, может оказаться как натуральное число, так и дробное, а дробное число может быть конечной десятичной дробью, но может быть и бесконечной. Если десятичная дробь бесконечная, то она обязательно окажется периодической и никакой другой. Это значит, что рано  или поздно одна цифра или набор цифр начнут повторяться (повторяющийся набор цифр образует число, которое и есть
период дроби, а его, как правило, записывают в скобках).

Изучение бесконечных периодических дробей, так же как и бесконечных непериодических десятичных дробей (а это новый вид чисел, их называют иррациональными числами), не является объектом рассмотрения в начальной школе. Чтобы деление одного числа на другое не «тянуть» до выявления периода, можно частное округлить.

Ясно, что, увеличив b (мерку), например, в 2 раза, частное (количество произойдет с частным, если изменить делитель.

              b                             a

                                         c

               b2                        

                                        c:2

a:b=c

      Сопоставляя два способа деления: один с переносом запятой в делителе и частном, а второй — в делимом и делителе, дети, как правило, выбирают второй, который и является общепринятым. Объясняют они так: «если действовать первым способом, то пока вычисляешь, забудешь о том, что нужно перенести в частном запятую и тогда только записать ответ, а при втором способе можно избежать такой ошибки».

      Для того чтобы по возможности избежать ошибок, связанных с одновременным переносом двух запятых при делении одной десятичной дроби на другую: одной в делимом, а другой в  делителе, можно предложить следующий методический прием. Прежде всего, запятые нужно «оживить». Это можно сделать двумя способами — изготовить специальные пособия:

      1) нарисовать в цвете запятые на вырезанных из бумаги кругах;

  и прикреплять их к доске между записанными на ней цифрами:

2) для конкретных дробей написать цифры на бумаге и вырезать отверстия между цифрами, из которых может «выглядывать» цветная запятая. Ее нарисовать на узкой полоске бумаги, которая продевается с обратной стороны листа как ремень в брюки, для чего с обратной стороны приклеены специальные петли (смотри приложение 3).

Запятую можно установить между любыми двумя цифрами. Если добавить снаружи отверстия или прозрачные окна, куда вставлять карточки с цифрами, то пособие будет более универсальным.

Можно поступить и по-другому при изготовлении этого же пособия.

Двигая полоску, мы перемещаем запятую (нарисованную на ней) на нужное место. Такое пособие очень полезно использовать не только для умножения и деления десятичных дробей, но и для умножения и деления на 10, 100, 1000.

     Теперь, когда запятые «живут» сами по себе, организуется сначала работа парами по одновременному переносу запятых в делимом и делителе. Дети будут поставлены перед необходимостью договариваться друг с другом, чтобы действовать синхронно. Для начала лучше использовать переносные запятые.

Итак, сначала переносят запятые 2 ученика, обсудив, на сколько цифр нужно их перемещать. Хорошо еще задействовать и третьего ребенка в качестве
контролера, несмотря на то, что у вас все остальные тоже следят за происходящим. Затем эту функцию будет выполнять каждый по отношению к самому себе. Итак, на доске записаны делимое и делитель. Возможно, такая тщательная работа, связанная с усвоением способа действия, нужна не всем детям, а только тем, кто допускает ошибки, однако все дети с удовольствием «оживляют» запятые.

Завершается такая работа, как всегда, анализом ошибок, которые могут быть допущены при делении, сравнением этих ошибок с теми, которые могут быть при выполнении других арифметических действий.

     Введение понятия десятичной дроби и действий с ней значительно расширяет круг решаемых задач, особенно тех, которые связаны с нахождением дроби от числа и числа по его дроби. Умение находить дробь от числа и решать задачи, обратные данной, является той основой, на которую опираются все типы задач на проценты. Несмотря на то, что в этот последний вариант учебника проценты не вошли, само понятие и задачи, с ним связанные, включены в рабочую тетрадь и позволят тем классам, которые по своим темпам и глубине усвоения основного материала опережают усредненные нормы, не исключать из программы эту тему. Она на протяжении многих лет успешно изучалась в 3 классе трехлетней начальной школы. Схема — это ключ к решению любых, как прямых, так и обратных, задач на нахождение дроби от числа и числа по дроби, включая задачи на проценты, поскольку 1% — это 0,01 от величины или числа. А чтобы на схеме показать 0,01 часть от величины, нужно величину разделить на 100 равных частей и взять 1 часть.

     Это и будет 1 %.

                                                          А

                      0,01 от А

  1% от А                                      100

    Примеры моделей вынесены в приложение 4.                                                

В общем виде на схеме связь между компонентами при нахождении дроби от числа выглядит так:

                                                     b

           e          m

                                      k                      c

где b — величина или число;

с — на столько равных частей нужно делить величину;
е — одна из с равных частей;

   к — столько равных частей е взяли; т — часть от b .

Составим по схеме равенства: b : с = е (обратные ес = b и b: е = с)

ек=т (обратные т : к — е и т : е= к)

 Из этих двух составляются новые равенства:

b : с к= т, т: (b : с)=к; т: к=b : с

   е

т: к с= b; b : (т: к)=с

  е

     В заданиях для детей дроби берутся исключительно позиционные, в том числе десятичные. Схемы, которые используются, детям давно знакомы, они с ними работали больше года.

Это значит, что изучение этой темы не является обязательным, тем более что ее нет в перечне минимума содержания на выходе из начальной школы. Однако рассмотрение отношений, связанных с нахождением дроби от числа (и наоборот), позволяет заложить тот фундамент, на котором и будут строиться в дальнейшем не только эти понятия, понятие процента, но и понятие пропорции и др.

    Логическим завершением темы. «Десятичные дроби и действия с ними» является обсуждение вопроса: «Какими мерами измеряют величины?» (так озаглавлен в учебнике тот раздел, который посвящен отношениям между стандартными мерами для измерения разных величин и выполнению действий с ними). Появление десятичных дробей, было связано с естественной потребностью более точного измерения величин. Если до этого мы старались подбирать для измерения такие величины, в которых основная мерка умещалась целое число раз, а появляющимся (как правило, случайно) остатком пренебрегали, то теперь мы можем более точно производить измерения величин и описывать результат не только с помощью составных мер. Вместо 3 м 2 дм 5 см можно записать десятичную дробь 3,25 м, где цифра 3 сообщает о количестве метров, 2 — о десятых частях метра — дециметрах, а цифра 5 — о десятых частях дециметра или, что все равно, о сотых частях метра — сантиметрах.

     Если ребенок переводит одни единицы измерения в другие с трудом или с ошибками, то учитель должен обратиться к этой модели.

Что это значит? Это означает лишь следующее: нужно вернуться к предыдущим этапам, которые фактически были «свернуты» преждевременно. То есть вместо того чтобы дети под руководством учителя практически изготовили меры для измерения длин, площадей, объемов, а затем осуществили с ними практические действия, учащиеся лишь говорили о них и мало действовали. Именно поэтому и необходимо вернуться к практическим измерениям, описанию способов и результатов измерений графической схемой (отрезками, фигурами или с помощью числовой прямой) и, наконец, к записям отношений в знаковой форме с помощью равенства, например: А — 3,7 см или В= 2,3 л.

Прежде чем выполнять те или иные арифметические действия с величинами, нужно сравнить наименования каждого компонента в выражении с величинами. Их 3 основных типа:

     В заданиях первого типа над числами (без наименований  сразу выполняются указанные действия:

 4035 кг + 129 кг = 4164 кг

4035

+  129

4164

     В заданиях второго типа нужно сначала выразить и записать значения величин в одних и тех же единицах измерения, а затем выполнить указанные действия с числами.        

6 м + 25 дм = 6 м + 2,5 м = 8,5 м или 60 дм + 25 дм = 85 дм = 8,5 м

      С заданиями третьего типа можно поступить двояко: либо поступить так же, как с выражениями II типа: выразить все значения величин в одних и тех же единицах измерения, либо выполнить действия над числами с одинаковыми наименованиями: 8 км 28 м + 16 км 152 м

8 км 028 м      

+ 16 км 152 м       этот 0 необходимо дописать, поскольку в 1 км=1000м,

 24 км 180 м       значит, число метров должно быть записано тремя

                               Цифрами, а у нас их 2.

     Итак, величина как результат измерения определяется числом, выраженным в определенных единицах (мерах). Для обозначения величины пишут это число, а рядом наименование. Одна и та же величина в разных единицах (имеется в виду измеренная разными мерами) выражается разными числами. Например:

6 см = 60 мм        1 ч = 60 мин        3 кг = 3000 г

    Как известно, типичными являются ошибки, которые допускают ученики при решении текстовых задач, когда величины выражены разными единицами измерения. В этом случае ученики выполняют действия над числовыми значениями величин, не обращая внимания на наименования. Во избежание подобных ошибок важно, прежде чем приступить к вычислениям, выделить цветом наименования величин. Цвет, как уже неоднократно писалось, имеет огромное значение для понимания и запуска механизма зрительной памяти. Потом цвет уйдет, а привычка останется: сначала смотреть на то, в каких единицах измерения (мерах) выражена та или иная величина, а затем приступать к вычислениям.

      В связи с вышесказанным напомним основные положения, связанные с однородными величинами (величины одного рода, или однородные величины, — это величины, которые выражают
одно и то же свойство объектов: длина бассейна, высота комнаты и ширина стола — величины одного рода).        

    1. Любые две величины одного рода сравнимы. Это значит, что для любых однородных величин А к В справедливо одно и только одно из отношений:        

   А< В, . А = В,    А> В.

2.        Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно:
если А< В   и    В < С,   то А < С.

3.        Величины одного рода можно складывать, в результате
получают величину того же рода. Сложение величин коммутативно (обладает переместительным свойством) и ассоциативно(обладает сочетательным свойством):

А+ В = С

 (А + В) + С = А + (В+ С)

4.        Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Если А — В = С, значит, В + С = А.

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода: В = А • X, где X — любое положительное действительное число.
6. Величины одного рода можно делить, получая в результате

число: X = В : А.

Перечисляя основные положения, связанные с однородными величинами, важно обратить внимание на то, что не существует операции умножения величины на величину. Существует условная запись произведения, например: 5 см 3 см = 15 см2. Ее широко используют в физике.

Изучив методику преподавания темы «Десятичные дроби» в системе Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова и учебник Э.И. Александровой, используя рабочую программу учителей НОУ «Ногинская гимназия», составлены примерные конспекты уроков – открытие новых знаний по темам «Нумерация величины меньшей, чем заданная исходная мерка», «Запись и чтение десятичных дробей». Опыт учителей, работающих в данной системе показывают, что ученики добиваются большего результата при введении десятичных дробей, как результат измерения величин.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Изменение общей ситуации современного образования ставит новые образовательные задачи перед школой, актуализирует роль и значение личности. Новые задачи требуют перестройки процесса обучения в школе. В содержание школьных предметов необходимо включить новые более теоретизированные  знания на основе междисциплинарных связей.

     Перед современной школой ставятся новые цели: создание условий для формирования и полного осознания математики через развитие их индивидуальных качеств и способностей еще с начальных классов.

     Поэтому, учитывая все вышесказанное, необходимо выделить следующие основные параметры подготовки учителя математики к своей работе:

- повышение уровня психолого-педагогической и методико-технологической подготовки педагога за счет освоения им соответствующих знаний о личности школьника, так как высокий профессионализм педагога основывается, прежде всего, на целостной системе общенаучных, психолого-педагогических, специальных и частнометодических качеств;

- обучение новым педагогическим технологиям, их применению, средствам их реализации и умению контролировать собственную деятельность в рамках развивающего обучения;

- формирование представлений о специфике педагогических технологий, о новых формах организации обучения в условиях развивающего обучения.

     Наиболее эффективными формами работы следует считать индивидуальную и групповую, потому что мы точно знаем уровень каждого ученика в отдельности, это помогает избежать негативных процессов внутри ребенка (он не сравнивает себя с другими и, следовательно, не считает себя хуже или лучше кого-то).

     При работе над избранной темой нам удалось реализовать поставленные цели:

1. изучены общие дидактические принципы и психолого-педагогическая природа их;
2. Раскрыть методические особенности введения темы «Десятичные дроби» в условиях реализации концепции развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В. Давыдова.

Задачи, поставленные перед нами в начале работы решены: мы изучили математическую литературу; выявление место и роль учебной деятельности учащихся в общем учебном процессе; изучили деятельностную систему при изучении данной темы; изучили и обобщили методические требования к изучению темы «Десятичные дроби»; выработали предложения по использованию элементов развивающего обучения в традиционной школе.

     Гипотеза, выдвинутая в нашей работе подтверждена: изучение десятичных дробей как систематических, полученных в результате измерения,  позволяет добиться большего результата при переходе от общего к частному.

     Предложенная система позволяет не только сохранить природу числа, но и раскрыть последовательное расширение от натуральных до действительных чисел.

     Современные тенденции в образовании заставляют нас по-иному относиться к процессу обучения. Влияние и включение новых технологий в образовательную деятельность привело к существенному и реальному сдвигу в сторону развивающей системы обучения. Но вместе с тем, несмотря на все позитивные стороны этих технологий, существует еще масса факторов, которая препятствует:

- это, прежде всего, нежелание «старых» учителей переходить на новую систему («Зачем переходить если, работая в школе 10-15 лет уже сформировался основной, как правило узкий, методический аппарат?»);

- это и недостаточное наличие методической литературы;

- также это «обычные» классы по 20-25 человек, где понятное дело индивидуальный подход практически не осуществим;

- это и жесткие рамки времени и программы и многое другое.

      Подводя итог, можно сделать вывод, что современная школа пока не готова полностью к переходу на развивающую систему обучения, но в целом за такой системой, как видится нам, будущее российского образования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балл А.Г. Общая теория задач.– М., 1990.
2. Гуденов Я.Н. Психолого-педагогические основы методики обучения
   математике. – М.: Педагогика, 1987.
3. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. – М., 1986.
4. Ирошников Н.П. Организация обучения математике в 4-5 классах сельской школы: Пособие для учителей. – 2-ое изд., перераб. – М.: Просвещение,1982.
5. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. – М., 1981.
6. Калягин Ю.М., Аганясян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин  Г.Л.  Методика преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. - М.: Просвещение, 1975.
7. Карлащук В.И. Обучающие программы. - Солон-Р, 2001 г.
8. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М., 1968.
9. Ляпина С.Е. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: Просвещение, 1975.
10. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в IV классах. – Минск: Народная Асвета, 1976.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Алгебра  в  6-8  классах  М.: Просвещение, 1988.
12. Махмутов М.И. Проблемное обучение. Основные вопросы теории. – М.:
    Педагогика, 1975.
13. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учебник для 5 кл. средней школы. –М.: Просвещение, 1994.
14. Программа развивающего обучения. Математика. – М.:Просвещение, 1988.

15. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в средней школе. - Минск.: Народная Асвета, 1990.
16. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М., 1995.
17. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в  средней школе- М.: Просвещение, 1985.
18. Шеврин Л.Н, Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5 кл. средней школы .– М.: Просвещение, 1994.
19. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. – М., 1989.
20. Якиманская И.С. Развивающее обучение. – М., 1979.
21. Корешкова Е.А. Вычислительная культура.- Ногинск, 2004.
22. Александрова Э.И. Математика 4 класс. – М., 2002.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Чтение десятичных дробей

Десятичная дробь

                                            Двенадцать  целых  семь

                                           12     ,    7

                               Три    целых  шестьдесят четыре

                                3    ,  0064

                                                  Нуль целых   восемь

                                             0   ,  08

Приложение 2

Отличия эмпирического и теоретического обобщения

Приложение 3

Демонстрационный материал «О переносе запятых»

Приложение 4

Примеры «Нахождение дроби от числа и числа по дроби, включая задачи на проценты»

Если же нужно взять несколько частей от величины (А), например 0,3, то сначала показывают 0,1 часть, а затем ее берут 3 раза:

      0,1       0,3 от А                       А

                   3

                                                 10  

Значит, 0,27 от величины А или 27%, выглядят на схеме так:

                                                            А

                               0,27 от А

                    0,1 от А      

                                         27

                                               100

Если один из компонентов каждого равенства неизвестен, то его всегда можно найти. В формулах, помогающих найти неизвестные компоненты (они даны на цветном фоне), необычной для учителя в таком поиске дроби от числа и наоборот может быть только форма записи дроби. Более привычна для учителя (но не для ученика) такая запись: «найтиот числа 28» вместо «найти 0,37 от числа 28», что одно и то же, поскольку в
обоих случаях величину нужно делить на 7 равных частей и взять
3 таких части:                      

                                                  28

                         -0,3 от 28            

    3                                      

                                                        7

0,17, или      от 28, или 28:7=4                                          

0,37, или      от 28, или 28:73=12                                      

Приложение 5

Рабочая программа

НОУ «Ногинская гимназия»

по математике

в 4-ом классе

2006/2007 учебный год

Учитель       Просяник Светлана Леонидовна

Составлено на основе Государственной программы по математике

Э.И.Александровой (образовательная система Д.Б. Эльконина-

В.В. Давыдова).

Учебники: Математика. Э.И.Александрова

«Вита-Пресс» Москва,-2003

Рабочая программа по математике в 4-ом классе (РО)

1-ое полугодие.

(80 часов)

Приложение 6

Конспекты уроков.

УРОК № 1.

Тема: Постановка учебной задачи. Нумерация величины меньшей, чем заданная исходная мерка.

Цели:

1. Разобрать запись чисел в различных системах счисления.
2. Познакомить детей с понятием «дробь».

ХОД УРОКА.

1. Самоопределение к деятельности.

Здравствуйте, ребята. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь соседу! Проверьте, пожалуйста, все ли вы приготовили к уроку! Все готовы? Садитесь!

        Тема сегодняшнего урока: Нумерация величины меньшей, чем заданная исходная мерка.

2. Актуализация знаний и затруднения в индивидуальной деятельности.

- На прошлом уроке вы обсуждали случаи, с которыми вам приходилось сталкиваться при измерении величин.

К какому выводу вы пришли? Приведите примеры.

- Бывают величины, для измерения которых необходимо иметь:

а) только одну мерку:

                                                    А

                  Е                                         =3

б) систему мерок:

        Е

        Е2

       Е3

                                                                  2134

                                                                  . . .

в) одну дополнительную веерку или выражение вида:

                                               А

   Е

          С

                                             =3           =4            = 3·4

Молодцы! Мы с вами повторили материал, пройденный на прошлом уроке. А теперь давайте выполним следующее задание.

3. Постановка проблемы.

Задание вы будете выполнять в группах.

Измерьте длину А (13 клеток) меркой Е. Запишите результат в:

1 группа: пятеричной системе счисления, если Е=5 клеткам;

2 группа: шестеричной системе счисления, если Е=6 клеткам;

3 группа: десятеричной системе счисления, если Е=10 клеткам.

У учеников в процессе выполнения задания возникает проблема: получается остаток, который меньше, чем основная мерка.

Давайте проверим, что получилось.

Ученики выходят к доске и объясняют полученные результаты.

1 группа:                               А

                        Е

Мерка Е уложилась в А 2 раза и получился остаток 3 клетки.

2 группа:

                                                      А

                          Е

Мерка Е уложилась в А 2 раза и получился остаток 1 клетка.

3 группа:

                                                      А

                                         Е

Мерка Е уложилась в А 1 раз и получился остаток 3 клетки.

Итак, в каждой группе при измерении величины А получился остаток.

4. Проектирование и фиксация нового знания.

Подумайте, как бы вы продолжили измерение?

Может быть разделить основную мерку Е на равные части?

Покажите это наглядно.

Дети выходят к доске и показывают полученный результат.

1 группа:                               А

                 Е

   е1

Мы разделили мерку Е на 5 частей, потому что мы должны измерить величину в пятеричной системе счисления. И новая мерка е1 уложилась 3 раза.

2 группа:

                                                      А

                     Е

     е1

Мы разделили мерку Е на 6 частей, потому что мы должны измерить величину в шестеричной системе счисления. И новая мерка е1 уложилась 1 раз.

3 группа:

                                                      А

                                    Е

      е1

Мы разделили мерку Е на 10 частей, потому что мы должны измерить величину в десятеричной системе счисления. И новая мерка е1 уложилась 3 раза.

Как бы ты предложил записать результат измерения?

Можно записать результат в виде таблицы:

1 группа:   

2 группа:   

3 группа:   

Если же не писать, о каких мерках идет речь в записи числа, то получится число 235, 216, 1310. Эта запись неверна, так как нужен специальный знак, который показывал бы начало измерения уменьшенной меркой.

Математики договорились ставить либо точку, либо запятую. Например, в нашей стране используют запятую, а в Америке – точку:

2,35; 2,16; 1,310    или 2.35; 2.16; 1.310   

В микрокалькуляторах используют точку.

А теперь давайте подумаем как можно назвать новый вид чисел.

Учтите, что при измерении основную мерку нужно было уменьшить, то есть раздробить на части.

После недолгих раздумий, дети предложили правильный вариант названия нового вида чисел.

Дроби.

Новый вид чисел называют дробями, которые, как и многозначные числа, могут быть записаны в разных системах счисления.

5.  Первичное закрепление.

Постройте, фигуры с помощью чисел и мерки Е: 4,518; 2,13; 3,410.

Дети строят фигуры сначала в тетради, а потом проверяют по шаблону, открытому на доске.

6. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Скажите, пожалуйста, что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?

Мы узнали новый вид чисел, который называется дробями.

Молодцы! Всем спасибо за активную работу на уроке! Вы мне очень помогли!

Откройте дневники и запишите домашнее задание: придумать задания аналогичные заданиям, сделанным на уроке.

Урок окончен. Можете тихонечко встать и выйти в коридор на перемену!

УРОК № 2.

Тема: Запись и чтение десятичных дробей.

Цели:

1. Вспомнить как читаются позиционные дроби..
2. Познакомить детей с понятием « десятичная дробь».

ХОД УРОКА.

1. Самоопределение к деятельности.

Здравствуйте, ребята. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь соседу! Проверьте, пожалуйста, все ли вы приготовили к уроку! Все готовы? Садитесь!

        Тема сегодняшнего урока: Запись и чтение десятичных дробей.

2. Актуализация знаний и затруднения в индивидуальной деятельности.

На прошлом занятии вы научились читать позиционные дроби.

Прочитайте дроби: 541,236; 111,1112; 23,134; 9,7810?

Пять четыре одон целых два три в шестеричной системе счисления; один один один целых один один один в двоичной системе счисления; два три целых один три в четверичной системе счисления; девять целых семь восемь в десятичной системе счисления.

Молодцы!

3. Постановка проблемы.

Прочти числа: 1,310; 2,7510; 17,06210; 264,37210.

Десятичная система счисления, как ты уже знаешь, является общепринятой.

Подумайте и скажите: как называются дроби, записанные в десятичной системе счисления?

Дети обсуждают возможные ответы в группах и дают ответ.

Дроби, записанные в десятичной системе счисления, называются десятичными.

Молодцы!

Дроби, записанные в десятичной системе счисления, называют десятичными, а новые разряды имеют свои названия.

Каждая следующая мерка в                      Каждая следующая мерка в

10 раз больше предыдущей                      10 раз меньше предыдущей

 .   .   .   .   .   .   ,   .   .   .   .   .

              Название разрядов                                              Название разрядов

4. Проектирование и фиксация нового знания.

Если после запятой оказались одинаковые цифры, записанные в разных разрядах (2,3; 19,03; 608,003), то необходимо указать разряд, в котором они записаны.

2,3 – две целых три десятых;

19,03 – двенадцать целых три сотых;

608,003 – шестьсот восемь целых три тысячных.

5. Прочтите число 264, 372.

Двести шестьдесят четыре целых три десятых семь сотых две тысячных.

Молодцы! Но эту дробь можно прочитать и по-другому. Потому что 3 десятых – это 300 тысячных, 7 сотых – это 70 тысячных и 2 тысячных.

Значит, всего тысячных 372, так как 300+70+2=372.

Значит, дробь мы можем прочитать как двести шестьдесят четыре целых триста семьдесят две тысячных.

3. Прочтите числа 12,7; 3,0064; 0,08.

Двенадцать целых семь десятых; три целых шестьдесят четыре десятитысячных; нуль целых восемь сотых.

Во время ответов детей постепенно вывешивается схема.

А теперь давайте проверим правильно ли вы выполнили задание.

                                            Двенадцать  целых  семь

                                           12     ,    7

                               Три    целых  шестьдесят четыре

                                3    ,  0064

                                                  Нуль целых   восемь

                                             0   ,  08

6. Первичное закрепление.

Прочти числа и научи тех, кто этого не умеет:

2,75; 1,3; 602,324; 4,8723; 0,2713; 16,001; 800,0003.

Подумайте какой можно составить алгоритм чтения десятичных дробей?

Дети обсуждают ответы в группах, а потом озвучивают.

Чтобы прочитать десятичную дробь, нужно:

1. прочитать число до запятой (дробную часть числа можно прикрыть);
2. сообщить о том, что ты прочитал целую часть данного числа с помощью слова «целых»;
3. прочитать число после запятой (целую часть числа можно прикрыть);
4. сообщить название последнего разряда (если забыл, то нужно посмотреть, как называется соответствующий разряд в целой части).

А можешь ли ты набрать эти числа на микрокалькуляторе? Как это сделать?

Чтобы набрать десятичную дробь, нужно после набора целой части нажать клавишу с изображением точки, которая и используется вместо запятой.

Молодцы! В научных, технических и многих зарубежных книгах для записи десятичных дробей часто пользуются не запятой, а точкой.

1. Прочтите числа 7,9; 6,58; 15,78; 257,143; 1984,43.

Семь целых девять десятых; шесть целых пятьдесят восемь сотых; двести пятьдесят семь целых сто сорок три тысячных; одна тысяча девятьсот восемьдесят четыре целых сорок три сотых.

2.  Набери на микрокалькуляторе числа и прочитай их: 28; 28,3; 28,378; 28,3784.

Двадцать восемь; двадцать восемь целых три десятых; двадцать восемь целых триста семьдесят восемь тысячных; двадцать восемь целых три тысячи семьсот восемьдесят четыре десятитысячных.

7. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Скажите, пожалуйста, что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?

Мы узнали новый вид дробей, который называется десятичные дроби.

Какие дроби называются десятичными?

Десятичными дробями  называются дроби, записанные в десятичной системе счисления.

Молодцы! Всем спасибо за активную работу на уроке! Вы мне очень помогли!

В тетради запишите домашнее задание:

1. придумайте многозначные числа и десятичные дроби. Предложите прочитать их своим друзьям.
2. С помощью десятичной дроби 23,6 постройте фигуру соответствующей площади. Основную мерку выберите самостоятельно.

Урок окончен. Можете тихонечко встать и выйти в коридор на перемену!