Использование стандартных задач
методическая разработка по алгебре по теме

Использование стандартных задач.

Л. Н. Каримова

Г. Санкт-Петербург, 2013 г.

        Каждый учитель знает содержание курса, который преподаёт. В нашем распоряжении имеется достаточное количество нестандартных задач, однако в большинстве случаев они рассчитаны на внеурочные занятия, в связи с чем для непосредственного использования на уроках могут оказаться либо слишком трудными, либо не имеющими связи с изучаемым материалом, чаще на них просто не хватает времени из-за разной подготовки учащихся. В то же время существуют стандартные задачи, которые можно решать как стандартным, так и нестандартным (как правило, более изящным) способом. Эти задачи всегда органически связаны с изучаемым материалом; кроме того, допуская нестандартное решение, приучают учеников не довольствоваться шаблоном, а нацеливают на вдумчивый подход.

        За время работы в школе убедилась в том, что стандартные задачи с нестандартным решением уместно и полезно решать на уроках повторения в начале учебного года и в конце каждой четверти. В ряде случаев они уже давно находят применение в школьной практике, в частности при обучении приёмам устного счета. Сюда можно отнести упражнения на применение законов действий и признаков делимости (например: 828 75=207∙4∙25∙3=621∙100=62100 ), особые случаи нахождения процентов от числа (10%, 25%,12,5% и т.п.), применение формул сокращенного умножения (48∙52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496; 472=(50-3)2=2500-300+9=2209, извлечение корня √54∙150 = √9∙6∙6∙25 =30.

         Рассмотрим ещё несколько примеров.

    1. Среди упражнений со скобками на выполнение арифметических действий следует время от времени использовать примеры, где вычисление целесообразно начинать не с первой скобки. Например:

     а) ( 567∙97 + 315∙79 )(132∙3 – 396 )=( 567∙97 + 315∙79 )(396 – 396)=0;

     б) (2⅟43 - ⅚)(3⅜ + 3⅝) = (2⅟43 - ⅚)∙6 = 126/43 – 5 = 76/43.

    2. Среди упражнений на сложение и вычитание обыкновенных дробей должны встречаться и такие, где уместен отказ от приведения дробей к общему знаменателю.

 Например:

11/14 + 29/45 + 23/28 – 5/6 + 16/45 + 11/28 = 22 +2823 + 11 + 2945+  16 - ⅚ = 2⅙.

    3. При упрощении выражений вида

3 - √2

√2 – 1

Обычно числитель и знаменатель умножают на сопряжённое знаменателю выражение, поэтому полезно рассмотреть один – другой пример такого же вида, допускающий нестандартное решение:

а)     2√3 - √6              √6 ( √2 -1)             √6

         √2 – 1                     √2 – 1

б)   √6 + √2                 √2 – 2                 √2 - √2               0.

       √3 + 1                   √2 – 1

    4. Уравнения:

                                                          Х + ⅟х = 4⅟2   и   Х + ⅟х = 3⅓.

Очень похожи одно на другое. Их можно решать стандартным способом сведения к квадратному уравнению. Однако нетрудно заметить, что второе уравнение допускает и нестандартное решение: его корни   х1 = 3  и  х2 = ⅓ очевидны. А т.к. всякое квадратное уравнение имеет не более двух корней, то на этом решение и заканчивается.

    5. При решении иррационального уравнения учащиеся прежде всего начинают «уединять» радикал, «возводить» обе части уравнения в степень и т.д., тогда как нередко в этом нет никакой необходимости, особенно в тех случаях, когда уравнение имеет решений или имеет только одно решение, которое к тому же легко отыскивается подбором. Поэтому наряду с уравнениями, требующими стандартного подхода, должны быть и например, такие:

а)  √ 3-2х + √ х – 2 = 1;

б)  √ х + 7 + √ х+ 1 +√ х- 3 = 5

в)  √ х+ 3 - √ 2х + 1 = √ х- 4.

Прежде чем непосредственно приступить к решению уравнения такого рода, ученик должен всмотреться в него, проследить поведение отдельных членов уравнения

 при допустимых значениях неизвестного и т.п. Так в первом из данных уравнений второй радикал имеет смысл при  х ≥ 2, тогда как первый радикал при этих значениях  х  смысла не имеет, т.е. уравнение не определено ни при каких значениях  х.

            Второе уравнение определено при  х ≥ 3, однако нетрудно заметить, что при указанных значениях  х  левая часть уравнения, больше 5, т.е. она не может равняться правой части.

            Наконец, в третьем уравнении, которое определено при  х ≥ 4, левая часть отрицательна и не может быть равной неотрицательной правой части.

    6.При решении некоторых уравнений нестандартное решение иногда становится возможным на основе следующего факта: монотонная функция каждое свое значение принимает только один раз.

Рассмотрим уравнения

2х + 4х = 20   и   2х + 3х = 13

Каждое их уравнений имеет единственное решение  х = 2, хотя первое из них можно решить и стандартным способом, сведя его к квадратному относительно  2х.

     Уроки повторения можно сделать столь же интересными и увлекательными, как и уроки по изучению нового материала, т.к. одним из недостатков при повторении материала является копирование, что не вызывает у учеников особого интереса. Стараюсь использовать разнообразные приёмы повышения познавательной мотивации детей. Стандартные задачи являются одним из них. На практике уместно отклонение от «стандарта», что способствует развитию математического мышления.