Сборник задач."Использование дробей при решении текстовых задач в 5-8классах"
учебно-методическое пособие по алгебре (5 класс) по теме

Стручкова Любовь Дмитриевна

Сборник задч

Использование дробей при решении текстовых задач

в 5-8 классах

   Сборник  предназначен для использования при повторении пройденных тем по дробям, и особенно, по решению задач. В ней даются в виде математических моделей: схем, таблиц, числовых и буквенных выражений и равенств – решения различных задач с дробями. В применении дробей учащиеся чаще всего испытывают затруднения, так как дроби принимают разный смысл, смотря из ситуации. Например, дробь сначала изучается как доля одного целого, потом – отношение части на целое, а дальше – рассматриваем дробь как число. Как число мы выполняем сложение, вычитание, умножение и деление дробей, записываем любое число в виде дроби.

Содержание

Часть 1  Задачи на  дроби из курса 5 класса

1. Применение общего равенства для решения задач на нахождение части, целого и дроби
2. Задачи с остатками
3. Задачи на составление уравнений

Часть 2  Задачи на совместную работу из курса 5 класса

Часть 3  Задачи на движение из курса 6 класса

Часть 4  Задачи на составление  целых уравнений

Часть 5  Задачи на составление дробно-рациональных уравнений

1. Изменение скорости путника
2. Два путника с разными скоростями
3. Два путника с разными скоростями и расстояниями.

Из истории дробей

                                                               «Несть се дивно, что в целых, а то похвально, что в            

                                                                 долях…»  (16 век)

     В Древнем Риме знание дробей пользовалось особым почетом и уважением. Чтобы освоить учение о дробях, приходилось заучивать огромное число правил действий с дробями.

   Унция – это одна двенадцатая часть древнеримской единицы масс – АСС. Со временем унции стали применять для измерения других величин. Постепенно происходил переход от конкретных дробей к отвлеченным дробям, не связанным с какой-нибудь определенной мерой.

   У Древних римлян унция обозначалась чертой «- », половина асса, или 6 унций, - S. Например, семь двенадцатых записывались так: «S-»

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем была создана в Индии, только там не писали дробной черты.  А записывать дробь в точности так, как сейчас, стали арабы. Общеупотребительной эта запись дробей стала лишь в XVI веке.

   Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н.э.):  «Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10». Ответ: х- 1/3х – 1/4х = 10, х=24.

Часть 1  Задачи на дроби из курса 5 класса

1.1 Нахождение неизвестных: части, целого, дроби

1.1 Задачи на нахождение части, целого, дроби

Задача 1  Коля отдыхал на свежем воздухе 120 мин. Из них 5/6 всего времени он играл в волейбол. Сколько времени играл Коля в волейбол?

Задача 2   Турист прошел 15 км, что составляет  2/3 его маршрута.  Сколько всего километров должен пройти турист?

Задача 3  Ученик на приготовление домашней работы затратил  2 часа.  На выполнение заданий по математике ушло 35 минут. Какая часть времени приготовления домашней работы ушло на математику?

Задачи для самостоятельной работы

1. В олимпиаде по математике победителями стали 8 человек, что составило 4/7 числа ее участников. Сколько человек приняли участие в олимпиаде по математике?

1. На пришкольном участке посадили  25 деревьев. Число посаженных деревьев составило 5/16 деревьев, которые запланировано посадить. Сколько деревьев запланировано посадить на пришкольном участке?
2. В дачном кооперативе 27 участков. Из  них 4/9  участков уже застроены. На скольких участках уже застроены дома?
3. В классе 24 человека. Из них 10 девочек. Какую часть всех учащихся класса составляют девочки?
4. В книге  225 страниц. Аня прочитала  75 страниц. Какую часть книги прочитала Аня и какую часть ей осталось прочитать?

1.2 Задачи с остатками

1. Шура  потратила  35 р., что составило 5/11 всех её денег.  Сколько денег у нее осталось?

Решение:   2.  У мамы было  5000 р. Из них 30% она затратила на продукты, а на остальные деньги купила  6 стульев. Сколько рублей стоит  1 стул?

Решение:

3. В рулоне 80 метров ткани.  На шитье женских костюмов ушло 3/5 рулона, на шитье мужских костюмов –  7/8  остатка. Сколько осталось ткани в рулоне?

Задачи для самостоятельного решения

1. Для корма КРС заготовили 12 тонн сена. До нового года привезли во двор ¼ часть сена, до 8 марта привезли -  2/3 остатка. Сколько сена ещё осталось привести?
2. Семья  заготовила на зиму 70 банок консервированных овощей. В 3/5 этих банок были огурцы, в 4/9 оставшихся – помидоры, а в остальных банках – морковь. Сколько банок моркови было заготовлено на зиму?
3. В классе 18 учеников.  Половина ходит на секцию, из другой половины 2/3 занимаются вокалом, а остальные занимаются в предметных кружках. Сколько учеников занимаются в предметных кружках?
4. Петя готовил уроки. На математику он потратил 1/3 этого времени, а на географию – ¼ оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько – по географии.

3. Задачи на составление уравнений

Задача 1.  Найти число, если 4/5 от него равны числу, 8/11 которого составляют 32.

  Решение:

Эта задача приводится к решению уравнения. Обозначим за х  искомое число. Тогда

                                           4/5х = 32 : 8/11

                                           4/5х = 44

                                               х = 44 : 4/5

                                               х = 55

Задача 2.  В классе 25 учеников, причем число девочек составляет 3/5 числа мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?

                                                  Решение:

Решите самостоятельно

1. В доме  100 квартир, причем число двухкомнатных квартир составляет ¾ числа трехкомнатных квартир. Сколько двухкомнатных и сколько трехкомнатных квартир в доме?
2. Найти два числа, если одно из них составляет  2/7 другого, а их сумма равна 27.
3. Найти два числа, если одно из них составляет 5/6 другого, а их разность равна 3.

Часть 4  Задачи на составление уравнений с дробями из курса 7 класса

Задача №693 (учебник 7 класса С.А.Теляковского)

Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на 1  быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?

Решение:

Реши самостоятельно

Задача №694

  Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Какова длина дистанции?

Задача №695

  От лагеря до привала пионеры шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались в лагерь со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от лагеря был сделан привал?

Часть 5  Задачи на составление дробно-рациональных уравнений

           5.1  Изменение скорости путника

 Задача №60 с.187 (А-8 Виленкин)

  Повысив скорость поезда на 10 км/ч, удалось сократить на 1 час время, затрачиваемое на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда

                                             Решение:

                                    Реши самостоятельно

Задача №59 (Виленкин)

   Велосипедист выехал из города в поселок по дороге, длина которой 24 км, а  возвратился по другой дороге, длиной 30 км. Несмотря на то, что на обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч, на обратный путь он затратил на 6 мин  больше, чем на путь из города в поселок. С какой скоростью возвращался велосипедист?

Задача из пособия Дудницына

  Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта Б. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

          5.2   Движение по реке

          5.3   Два путника с разными скоростями

1.    Два путника с разными скоростями и расстояниями