Решение тригонометрических уравнений (подготовка к ЕГЭ)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Разработка темы

«Решение тригонометрических уравнений»

в итоговом повторении в 11 классе,

при подготовке к экзаменам.

Цель уроков:

• Повторить и систематизировать раннее  изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
• Повторить методы решения уравнений.
• Решить сложные уравнения , встречающиеся на ЕГЭ.
• Проверить усвоение материала.

          1 урок:     «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).

           2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».

           4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.

            6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.

Урок №1:  «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»

Цель:

1. Повторить и систематизировать раннее  изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
2. Решение  уравнений, с выбором ответов.
3. Воспитывать умение применять полученные знания.

Ход урока:

1. Решение уравнений вида .
2. Решение уравнений вида
3. Решение уравнений вида  и
4. Итог урока.

Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:

.

 и

Вспомним, как они решаются.

1. Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

.  

где    

Частные случаи:

Решить уравнения:

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ(найти соответствие):

2.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

, где

если , то

Частные случаи:

Решить уравнения:

1. 

Ответ: .

2.  

Ответ: .

3.

Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):

3.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:

Решить уравнения:

1.  

Ответ: .

2.  

Ответ: .

3.

Ответ: .

Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)

Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:

решение аналогичное предыдущему случаю.

4.Итог урока:

Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:

 .

Можно обращаться за консультацией.

Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.

Уроки №2-3: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами»

Класс делится на небольшие группы по 2-3 человека, заранее они получают задания по одному из методов решения уравнений, а затем на уроке показывают своё решение. Остальные учащиеся записывают решение и задают интересующие их вопросы, на которые отвечает данная группа.

ЦЕЛИ УРОКА:

1. систематизировать знания учащихся по теме;
2. показать различные методы решения тригонометрического уравнения на примере одного уравнения;
3. воспитание у учащихся культуры мышления;
4. формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;
5. показать красоту решения уравнений.

ПЛАН УРОКА:

1. Решение тригонометрических уравнений различными способами;

1. Используя формул половинного угла;
2. Используя формулы приведения
3. Приведение к однородному квадратному уравнению;
4. Введение вспомогательного угла;
5. Используя формулы  понижение степени;
6. Используя универсальные подстановки;
7. Решение уравнения возведением в квадрат;

2. Итог урока.

ХОД УРОКА :

1. Постановка целей урока и конечного результата (каждая группа объясняет свое решение, используя кодоскоп, отвечает на возникшие вопросы).

1.        

Используя формул половинного угла.

;

;

;

;                или                        разделим на ;

, ;                        ;

, .                        , ;

                                        , .

Ответ: , ; , .

2.        

Используя формулы приведения

;

из суммы делаем произведение

;

;

;

;

;

, ;

, ;

, ;                        , ;

, .                                        , .

Ответ: , ; , .

3.        

Приведение к однородному квадратному уравнению.

;

;

;

;  (верно при любых )

;

;                или                ;

;                                        , .

, .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: , ; , .

4.        

 введение вспомогательного угла

;

;

;

;

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

если , то

, ;

, ;

, .

Второй способ:

 разделим на :

;

;

;

, ;

,                 или                , .

Ответ: , ; , .

5.        

Используя формулы  понижение степени:

;

        Проверка ОДЗ:        ;

                                ;

                                ;

                                .

Возведем уравнение в квадрат:

,        умножим на 2;

;

;

;

;

;                        или                        ;

, ;                                        , ;

, ;                                        , .

Если -нечетное, , то ;

-1=1 – неверно .

Если -нечетное, , то  ;

;

-1=1 – неверно.

Если k – чётное, , то ,

следовательно ,

1=1 верно

если n – чётное, ,то ,

следовательно ,

1=1 верно.

Ответ: , ; , .

6.        

Используя универсальные подстановки:

;        ;        , при .

Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней ,  корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.

;

Если , , то ;

        ;

        ;

         – неверно.

Следовательно ,  не является корнем уравнения.

Выполним подстановку:

,         пусть ;

;

;

;

;                                или                        ;

;                                                ;

, ;                                        , ;        

, .                                , .

Ответ: , ; , .

7.        

Решим уравнение возведением в квадрат. Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.

;

;

;

;

;

, ;

, .

Проверка корней:

Если  ;                 ;         

                                                      ;

                                                      1=1 – верно;

        ;                ;

                                                 ;

                                                  1=1 – верно;

;                 ;

                                            ;

                                        -1=1 – неверно;

        ;                ;

                                                  -1=1 – неверно;

Ответ: , ; , .

ИТОГ УРОКА:

• Сегодня на уроке мы с вами решили одно уравнение семью способами и это ещё не предел методов  решения. При решении уравнений вы можете использовать один из предложенных способов, самое главное каждое  уравнение имеет решение и его надо найти!
• оценивается работа каждого учащегося, подчеркивается самостоятельность, грамотность при выполнении заданий, взаимопомощь, активность.

ЗАДАНИЕ НА ДОМ:

Решите уравнение  всеми предложенными способами и попытайтесь найти ещё хотя бы один другой способ решения.

Уроки №4-5: «Решение более сложных уравнений, предложенными способами»

ЦЕЛИ УРОКА:

1. обобщить полученные знания;
2. научить нахождению чужих ошибок и не делать своих;
3. показать красоту решения тригонометрических уравнений.

ПЛАН УРОКА:

1. Разбор ошибок (с использованием кодоскопа);
2. Решение тригонометрических уравнений различными способами;

1. Решение уравнений разложением на множители;
2. Решение с помощью замены переменных;
3. Решение однородных уравнений;
4. Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения;
5. Преобразование произведения в сумму;
6. Введение вспомогательного угла;
7. Решение линейных уравнений;
8. Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей;
9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ.

3. Итог урока.

1.   Разбор ошибок (с использованием кодоскопа)

1.   sinx=0.5

x=(-1)narcsin0.5+2n,

x=(-1)n +  ,.

2.   cos3x=0.5

3x=arccos0.5+2n, ,

3x= +2 n, ,

x= .

3.   sin4x=2

4sinx=2,

sinx=0.5,

x=(-1)narcsin0.5+ n, ,

x=(-1)n+ .

4.   tg2x=5

2x=arctg5+ n, ,

x=arctg2.5+ n, .

2.   Решение тригонометрических уравнений различными способами.

1.   Решение уравнений разложением на множители:

а)   sin2x-cosx=0,

2sinx cosx  cos x=0,

cosx(2sin x – 1 =0,

2sin x-1 =0                  или                cos x  =0

sinx=0.5                                 x=+ k, .

x=(-1)n+ n, .

Ответ: (-1)n+ n, , + k, .

Для домашней работы:  sinx+cosx=sinxcosx + 1

2.   Решение с помощью замены переменных:

а)   6cos 2x+5sinx-7=0,

6(1-sin 2x)+5sinx-7=0,

6-6sin 2x +5sinx-7=0,                                 sinx=t,  ItI  1,

6t2 -5t+1=0,

t=                                                         t=

sinx=                        или                          sinx =0.5

x=(-1)narcsin + n,                         x=(-1)k +  k,

Ответ: (-1)narcsin + n, ,  (-1)k +  k,

Для домашней работы:         1) cos 2x + cosx – 2=0;

2) tg 2x – 3tgx + =0.

б)   sin 4x+cos 4x – 2sin2x + sin 22x=0, 

прибавим и вычтем   2sin2x·cos2x  для выделения полного квадрата

(sin2x + cos 2x)2- 0.5(4sin2 xcos2x) + sin22x - 2sin2x = 0,

1- sin22x – 2sin2x + sin22x=0,

sin2 2x – 2sin2x + 1 =0,                         sin2x = t,    -1t1

t2 – 8t + 4 = 0,

D=64- 16 = 48 , D>0, 2 корня

t = 4- 2,

t = 4 +2,  (не удовлетворяет условию  -1t1)

   sin2x = 4-2  ,

2x = (-1)k arcsin(4-2  ) +  k,

x = (-1)karcsin(4 - 2)+  k, .

Ответ:  (-1)karcsin(4 - 2)+  k, .

3.   Решение однородных уравнений

asin x +bcosx = 0

asin 2x + bcosxsinx + c cos 2x = 0

Метод: разделив обе части уравнения на sinx( sin 2x)  или на cosx(cos 2x) отличных от нуля, иначе не выполняется основное тригонометрическое тождество, получим уравнение линейное или квадратное относительно новой переменной:

atgx + b = 0,                a tg 2x + btgx + c =0

Решим уравнение:

6sin 2x + sinx cosx – cos 2x = 2,

6sin 2x + sinx cosx – cos 2x -2 sin 2x – 2 cos 2x =0,

4sin 2x + sinxcosx  -3cos 2x = 0   /Разделим на cosx, cosx отличен от нуля

4tg 2x + tgx – 3 =0

tgx=t,

4t2 + t -3=0,

t= -1,                                                 t =

tgx = -1,                                         tgx=

x= -  +  Пn, .                                x = arctg  +  Пk, .

Ответ:  -  +  Пn, ,   arctg  +  Пk, .

Для домашней работы:        sin 5x +cos5x = 0,

3sin 2x – 2sinx cosx – cos 2x = 0.

4.   Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения

Необходимо действовать по принципу: «увидел сумму, делай произведение»

cos3x + sin2x – sin4x =0,

cos3x + 2 cossin = 0,

cos3x- 2 cos3x sinx = 0,

cos3x (1 – 2sinx) = 0,

cos3x = 0                                          sinx = 0.5

3x = +  П n, ,                        x= (-1)k+  Пk, .

x=+ n,  

первая серия корней содержит полностью вторую серию корней, следовательно

Ответ: + k, .

5.   Преобразование произведения в сумму:

sin5x cos3x = sin6xcos2x,

0.5(sin2x + sin8x) = 0.5(sin8x + sin4x),

sin2x + sin8x =sin8x + sin4x,

sin2x – sin4x = 0,

-2 sinx cos3x =0,

sinx = 0                                         cos3x = 0

x = П n,                                         3x = +П  k, ,  

                                                 x =  +П k, .

Ответ: П n, ,   +П k, .

6.   Введение вспомогательного угла:

 (a,b,c  отличные от нуля)

 ; .

Решим следующее уравнение

 разделим на  (так как )

,

,  ,  .

,

,

, ,

, .

Ответ:

Для домашней работы:        1),

2)

3).

7.   Решение линейных уравнений:

1 способ:

Используя универсальную подстановку:, , , но применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, не является ли  корнем данного уравнения ( иначе будет потеря корня). Это делается путем подстановки данной серии корней в первоначальное уравнение.

Подставим  и убедимся, что это корень уравнения

,

0-1= -1,

- 1= -1(верно).

  пусть

2 способ решения этого уравнения:

sinx+cosx= -1,

если  

если  

Ответ:

8.   Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей:

а)   2sin3x+4cosx=7

Следовательно:

Мы доказали, что данная сумма не должна превосходить 6, а по условию она равна 7, значит уравнение не имеет решения.

б)   3cos3x+cosx=4,

,      

то равенство возможно, если имеет решение система:

,

подставим во второе уравнений значение переменной первого уравнения:

, получили верное равенство, следовательно , является решением системы уравнений.

Ответ:

9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ

Чаще всего при решении уравнения используется несколько способов, например С1 из ЕГЭ 2002г.

                                                        D<0, решений нет.

Ответ: .

Домашнее задание:

Задание В3 из ЕГЭ 2003:

Найти сколько корней имеет уравнение:

Домашнее задание:

Решить уравнение: ЕГЭ-2006:

Домашнее задание:

Задание С2 из демоверсии 2007 года:

Домашнее задание:

Итог урока

Сегодня на уроке мы повторили и разобрали различные способы решения тригонометрических уравнений.

Домашнее задание было выдано в течение урока, а так же вам необходимо подготовиться к контрольному тесту по данной теме, который будете сдавать на компьютерах.

Каждый отвечающий получил оценку.

Урок №6: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.

Тест по теме «Тригонометрические уравнения». Для запуска программы выполните следующие действия:

1. На диске CD-ROM открыть папку «ТРИГОНОМ_УРАВНЕНИЯ»
2. Запустить программу trigon.exe
3. В появившемся окне выбрать нужный вариант.

4. Решить предложенное уравнение и выбрать вариант ответа. Нажав на кнопку соответствующую варианту ответа, произойдет переход к следующему заданию. Всего заданий для каждого варианта семь.

5. После выполнения всех заданий компьютерная программа выдаст результат на экран.  Программа ставит следующие оценки:

«ОТЛИЧНО» – при всех правильных ответах;

«ХОРОШО» – при одном неверном ответе;

«УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при двух неверных ответах;

«НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при трех и более неверных ответах;

6. Для выхода из программы нажмите кнопку «Выход».