Математика в историческом развитии
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Математика в историческом развитии.

«Леонтий Филиппович Магницкий

и его «Арифметика»

2013 год

                1. Страницы биографии Л. Ф. Магницкого.

                2. Первый печатный учебник математики.

                3. Использование задач Магницкого на уроках математики.

                4. Применение занимательных задачи из «Арифметики» во

                    внеурочной деятельности.                                      

Леонтий Филиппович Магницкий (1669 - 1739)

«… именован  прозванием Магницкий

    и учинён Российскому благородному

       юношеству  учителем математики...»

                                                             Петр I

      19 июня 1669 года в городе Осташкове, на земле, где берёт начало великая русская река Волга, родился мальчик. Родился он в небольшом деревянном доме, расположенном у стен Знаменского монастыря, на берегу озера Селигер, в большой крестьянской семье Теляшиных, славившейся своей религиозностью.  При крещении ребёнку дали имя Леонтий, что в переводе с греческого означает «львиный».

       Время шло. Мальчик рос и креп духом.  Он помогал отцу, «работою своих рук кормившего себя» и свою семью, а в свободное время «был страстный охотник читать в церкви мудрёное и трудное».                                              Есть на Селигерской земле такой источник культуры – монастырь Нило-Столобенская пустынь. В период расцвета монастыря в XVII веке он был выдающимся центром духовно-нравственного просвещения и образования России. Именно здесь в богатейшей монастырской рукописной библиотеке приобретал крестьянский сын свои первые знания.

   Сын Филиппа Теляшина, человека скромного и религиозного, с детства возлюбил Бога от всей души, готовился к духовной карьере, прислуживал чтецом в церкви, но судьба распорядилась иначе.

   Озеро Селигер богато рыбой. Селигерская рыба славилась по всей России. Как только устанавливался санный путь, обозы с замороженной рыбой отправлялись в Москву, Тверь и другие города.  В зимнюю пору крестьяне Иосифовской слободы послали в Иосифо-Волоколамский монастырь обоз с рыбой. С этим обозом отправили юношу Леонтия. Ему тогда было около шестнадцати лет.

     В монастыре поразились необычными способностями  крестьянского сына: он умел читать и писать, чего простые крестьяне в большинстве своём не умели. Монахи решили, что этот юноша станет хорошим чтецом и оставили у себя «для чтения». Затем Теляшина направили в Московский Симонов монастырь. Юноша и там поразил всех своими незаурядными способностями. Настоятель монастыря решил, что такому самородку нужно обучаться дальше и отправил его учиться в Славяно-греко-латинскую академию. В академии в то время изучали богословие, логику, философию, стихосложение и риторику, латинский и греческий языки. Особый интерес у молодого человека вызывали математические задания. А так как математика тогда в академии не преподавалась, и русских математических рукописей было ограниченное количество, он изучил данный предмет, по словам сына Ивана, «дивным и неудобовероятным способом». Для этого он изучил латинский, греческий язык в академии, немецкий, голландский, итальянский самостоятельно. Изучив языки, он перечитал множество иностранных рукописей и овладел математикой настолько, что его стали приглашать в богатые семейства преподавать этот предмет.

    Посещая своих учеников, Леонтий Филиппович столкнулся с проблемой. По математике, или как тогда говорили арифметике, не было для детей и юношей ни одного пособия и ни одного учебника. Молодой человек начал сам составлять примеры и интересные задачки. Объяснял он свой предмет с таким жаром, что мог заинтересовать даже самого ленивого и не желающего учиться ученика, каких немало было в богатых семьях.

      Слухи о талантливом учителе донеслись до Петра I. Российскому самодержцу нужны были русские образованные люди, потому что почти все грамотные люди были выходцами из других стран. Прибыльщик Петра I, Курбатов А.А., представил царю Теляшина. Императору очень понравился молодой человек. Он был поражён его познаниями в области математики. Пётр I дал  Леонтию Филипповичу новую фамилию. Он назвал Теляшина Магницким – человеком, который как магнит притягивает к себе знания. Царь Пётр назначил Леонтия Филипповича «российскому благородному юношеству учителем математики» в только что открывшейся Московской Навигацкой школе. Математико–навигацкую школу Пётр открыл, а учебников не было. Тогда царь, хорошо подумав, поручил Леонтию Филипповичу написать учебник по арифметике.

    Магницкий, опираясь на свои задумки для детей, на придуманные для них примеры и задачи, за два года создал самый главный труд в своей жизни – учебник по арифметике. Книга «Арифметика, сиречь наука числительная…», напечатанная на славянском языке, в то время  стала энциклопедией математики.  В ней  были  изложены  арифметика, основы алгебры, сведения по геометрии, тригонометрия, мореходная астрономия и навигация с необходимыми  таблицами и множество задач.

  На первой странице книги изображен дворец науки.  На  престоле  царица «Арифметика», в правой руке символический ключ – ключ  ко всем знаниям. К познанию ведут  пять ступеней:  счисление, сложение, вычитание, деление и умножение.

В первой части первой книги «Арифметика» изложена нумерация целых чисел и все действия с целыми числами. Во второй части рассматриваются числа ломаны, т. е. дроби.

        Характерно, что в тексте «Арифметики» цифры употребляются  современные  –  арабские,  а год издания  книги и нумерация листов в славянской. Это был период замены устаревшей нумерации на более современную.

      Позже Ломоносов назвал  «Арифметику»    «…вратами учености».

      Этот учебник был издан типографическим способом в 1703 году необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. На протяжении 50 лет книга была основным учебником по математике для всех учебных заведений России.

      В Навигацкой школе Леонтий Филиппович отработал учителем 38 лет – больше чем полжизни. Был он скромным человеком, радел о науке, заботился о своих учениках. Он не только преподавал математику, но и следил за тем, как жили его воспитанники, чем питались, во что одевались, получали ли они жалованье. Все хозяйственные дела школы лежали на нём, так как учителя-иностранцы знали плохо русскую жизнь и русский язык. Магницкий заботился о школе, как мать заботится о ребёнке. Главной целью его жизни стало воспитание так необходимых России специалистов и достойных граждан своей страны.

    После образования Морской академии в Петербурге (в неё вошла часть преподавателей и учеников из Навигацкой школы) Леонтий Филиппович стал директором и возглавлял данное учебное заведение 24 года. Сотни талантливых выпускников, нужнейших военных и гражданских специалистов, вышли из стен Навигацкой школы за это время.    Своим первым учителем Леонтия Магницкого называли морские офицеры, математики, инженеры, геодезисты, картографы, географы, архитекторы и … учителя. Уже через два года после открытия школы Магницкий отправил в Воронеж двух самых способных учеников для обучения математике, солдат Петровской армии. Поэтому Леонтий Филиппович не просто первый учитель первого российского светского учебного заведения, но и « учитель учителей».

         Умер Леонтий Филиппович 30 октября 1739 года в возрасте 70 лет.

Вся его жизнь, знания и усердие были посвящены становлению математической школы в России и процветанию Отечества.

Задачи из учебника Магницкого оказались весьма жизнеспособны, многие из них перешли в последующие учебники, и до настоящего времени они часто приводятся авторами арифметических и алгебраических задачников. Эти задачи интересны, они дают возможность почувствовать колорит и особенности языка той эпохи.

Многие из них  пользуются большой популярностью в современном школьном курсе математики при изучении тем «Доли и дроби», «Процентное отношение», «Решение задач на проценты» и др.

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

     На уроках математики в 7 классе по теме «Решение задач с помощью уравнений»  полезно детям предложить решить эти задачи арифметическим способом. Такая работа позволяет развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами,  истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи.

Задача 1.  Как разделить орехи?   Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

Решение: 1 способ: Уменьшив второе количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3 ∙ 4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130:13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.

2 способ: Пусть в меньшей части было х орехов, тогда в большей части было (130-х) орехов. После увеличения меньшая часть стала 4х орехов, а большая после уменьшения стала (130-х)/3 орехов. По условию орехов стало поровну.

4х = (130-х)/3; 12х = 130-х; 13х = 130; х = 10 (орехов) меньшая часть,

130-10=120 (орехов) большая часть.

Задача 2.  Из Москвы в Вологду.    Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?

Решение: 1 способ: За день первый человек пройдет по направлению к Вологде 40 верст и, значит, к началу следующего дня будет опережать второго человека на 40 верст. В каждый следующий день первый человек будет проходить по 40 верст, второй по 45 верст, а расстояние между ними будет сокращаться на 5 верст. На 40 верст оно сократиться за 8 дней. Поэтому второй человек настигнет первого к исходу 8-го дня своего путешествия.

2 способ: Пусть первый человек проходит за х дней определенное расстояние, а второй это же расстояние пройдет за (х-1) день. Для первого человека это расстояние равно 40х верст, а для второго 45(х-1) верст.

40х=45(х-1); 40х=45х-45; 5х=45; х=9.

Задача 3.  В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. 

Запишем условие задачи

Количество ног – 94

Количество голов – 35

Пусть в клетке было х фазанов, тогда кроликов было (35-х) голов. У фазанов было 2х ног, а у кроликов 4(35-х) ног. Так как всего было 35 ног, то получим уравнение: 2х+ 4(35-х) = 94

Решение 

2х + 4(35-х) = 94

2х + 140 – 4х = 94

2х – 4х = 94 – 140

-2х = - 46

Х = - 46 : (-2)

Х = 23 (фазана)

35 – 23 = 12 (кроликов) 

Ответ: фазанов – 23, кроликов – 12

... Диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос): 

— Дети, представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 

— 70 (35•2 = 70). 

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? 

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов. 

— Сколько их? 

— 24 (94 – 70 = 24). 

— Сколько же кроликов? 

— 12 (24:2 = 12). 

— А фазанов? 

— 23 (35 – 12 = 23). 

Задача 4.  Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей? 

— Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты.
Сколько конфет у нее осталось? 

— Три.

— Если она продолжит раздавать конфеты, то по сколько конфет она даст каждому? 

— По одной (5 – 4 = 1).

— Скольким детям хватит еще по одной конфете? 

— Троим.

— А скольким не хватит? 

— Двоим. 

— Сколько же было детей? 

— Пять (3 + 2 = 5).  

Рассмотрим решение этой задачи с помощью уравнения.
4х+3=5х-2
4х-5х=-2-3
-х=-5
Х=5

Ответ: 5 детей.

Арифметический способ решения данных задач можно предложить и обучающимся 5 класса в качестве дополнительного домашнего задания для желающих при изучении темы «Действия с натуральными числами».

     На уроках математики дети постоянно сталкиваются с задачами на смешение различных веществ. С каждым годом эти задачи усложняются, но принцип их решения не меняется – мы берем одну часть за «x» и отталкиваемся от нее. Леонтий Филиппович Магницкий в своей книге подробно описывает способ решения таких задач без введения переменных.

 Задачи на смешение веществ часто встречаются в жизни – в металлургии, химическом производстве, в медицине и фармакологии и даже в кулинарии.

В металлургии такие задачи возникают, когда нужно знать состав различных сплавов, в химии – количество вещества, вступающего в реакцию, в медицине и фармакологии часто от дозы лекарственного вещества и его составляющих зависит результат лечения, а в кулинарии - вкус полученного блюда.

    Обычно нам нужно узнать, как из двух растворов получить вещество нужной концентрации,  что и в каких количествах добавить, какова доля каждого из составляющих веществ. 

Как мы сейчас решаем такие задачи?

Одну часть берем за «X», составляем уравнения, если нужно, вводим вторую переменную, решаем и получаем нужные значения.

Магницкий  Л. Ф. еще в начале восемнадцатого века, когда еще не было принято использование  переменных, предложил остроумный графический метод решения таких задач.

Рассмотрим метод Магницкого, который мы условно называют «рыбкой» на примере задачи смешения масел.

                                        Как смешать масла?

   У некоторого человека были продажные масла. Одно -  ценою десять гривен за ведро, а другое -  шесть гривен за ведро.  Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою семь гривен за ведро.

        Вопрос: в каких пропорциях нужно смешать эти два масла?

Современный способ решения задачи.

Возьмем одну часть дешевого масла за «X». А часть дорогого масла - за «Y» и получим вот такое уравнение:

• 7( x+y) = 6x+10y
• 7x+7y=6x+10y
• 7x-6x=10y-7y
• x=3y
• 1/3=x/y

Мы получили, что масла нужно смешать в пропорции 1 к 3

Старинный способ решения задачи.

В центре пишем  цену первого масла – 6. Под ним, отступя вниз, пишем цену второго масла. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем стоимость желаемого масла. Соединяем три  цифры отрезками прямых.  Получаем картинку рис.2 –а.

Рис. 2-а        

Первую цену, поскольку она меньше цены желаемого масла,  вычтем из цены смешанного масла,  и результат поставим справа от второй цены по диагонали относительно первой цены. Затем из второй цены, которая больше цены желаемого масла, вычтем цену смешанного масла , а то что останется,  напишем справа от первой цены по диагонали ко второй цене. Соединим точки отрезками, и получим вот такую картину – Рис. 2-б.

Рис. 2-б.

Затем определяем соотношение полученных справа величин между собой. Мы видим, что рядом с ценой дешевого масла стоит цифра 3, а рядом с ценой дорогого масла – цифра 1. Это означает,

что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т. е. для получения масла ценою 7 гривен, нужно взять масла  в пропорции 1 к 3, т.е. дешевого масла должно быть втрое больше, чем дорогого масла.

Сравнивая оба способа – современный и старинный (Магницкого), мы видим, что ответы,  полученные двумя способами,  идентичны, значит такой способ вполне применим к решению данной задачи  на смешение веществ.

Рассмотрим другие подобные задачи.

Задача на смешение  веществ в повседневной жизни.

         Может ли данная методика  пригодиться в современной жизни? Конечно,  может, вот, например,  в парикмахерской.

Однажды в парикмахерской подошел  ко  мне  мастер с неожиданной просьбой:

- Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не можем справиться?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого! – добавил другой мастер.

- В чем задача? – осведомился я.

- У нас есть два раствора перекиси водорода: 30% и 3% . Нужно получить 12 % раствор. Не поможете ли нам  правильно подсчитать пропорции?

Как мы будем  решать эту задачу?

Вот два способа, какими можно решить задачу.

1 способ.

     Обозначим искомую  часть 30% раствора – х, а 3% -раствора  - y. Соответственно, надо получить 0,12 (х+у).

Запишем уравнение:

0,03у+0,3х=0.12(x+y)

0,3х-0,12х=0,12у-0,03у

0,18х=0,09у

х=2у

Ответ: для получения 12%-го раствора нужно взять одну часть 30% раствора и две части 3%-го раствора перекиси.

2  способ  - метод  Магницкого.

В центре пишем  концентрацию  первого раствора – 30 %. Под ним, отступя вниз, пишем концентрацию второго раствора- 3% или 0, 03. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем концентрацию желаемого раствора – 12% или 0, 2. Соединяем три  цифры отрезками прямых.

Из первой концентрации, поскольку она больше желаемой, вычтем 0,12, подпишем справа от 0,03 результат 0, 18, который оказался по диагонали от 0,3. Из 0, 12 вычитаем 0, 03 и подписываем справа от 0,3 результат – 0,09, который тоже оказывается по диагонали от значения 0, 03.  Соединяем все отрезками и получаем «рыбку» (рис. 3).

Рис. 3.

Соотношение полученных величин – 0, 09 и 0,018 – составляет 1 к 2, т. е. первого раствора концентрацией 30 % надо взять в 2 раза меньше, чем 3%-го раствора.

Ответы, полученные двумя методами, идентичны.

Как вы видите, способ решения без введения переменных намного легче и нагляднее.

Рассмотренный метод Магницкого можно использовать при подготовке к ГИА.

В части С экзаменационной работы содержится задача на смешение веществ.

Например,    Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60% ,  в каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота.

                Решим и эту задачу двумя способами.

1 способ.          Пусть часть первого сплава – х, а второго – у

Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0, 35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у,  а кол-во золота составляет        0,4( х+у).

Составим уравнение:

• 0, 35х+0,6у=0,4(х+у)
• 35х+60у=40х+40у
• 20у=5х
• х/у=4/1

Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием   35% и 60%,  нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.

2 способ – метод Магницкого.    

Аналогично методу рыбки, описанному выше,  формируем изображение, показанное на рисунке 4.

Рис. 4

Результат:  соотношение полученных величин составляет 1 к 4, значит 35%-го сплава надо взять в 4 раза больше, чем 60%-го.

      Применение такого способа может помочь быстро и правильно решить эту довольно сложную задачу.

            На представленных примерах видно, что изящный графический метод решения задач на смешение веществ Магницкого Л. Ф. не потерял своей актуальности и привлекательности  на сегодняшний день. Достижения современной математики нисколько не уменьшают заслуг замечательных  русских ученых, творивших несколько веков назад, о чем нельзя забывать  изучающим математику в наши дни.

    Некоторые занимательные задачи из книги Л.Ф. Магницкого находят широкое применение  во внеурочной работе по математике, например, на занятиях математического кружка. Приведем примеры таких задач.

Задача 1.
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой воз сена?

    Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности, но и позволяют детям осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанное с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.