Системы линейных уравнений с двумя переменными
методическая разработка (алгебра, 7 класс) по теме

Тема урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Учитель: Журбина Мария Анатольевна

Цели урока:

Образовательная: Ввести понятие системы линейных уравнений с двумя переменными, ее решения; разобрать графический способ решения системы линейных уравнений; закрепить навыки построения графиков линейных функций.

Развивающая: Развивать математическую речь и графическую грамотность учащихся.

Воспитательная: Воспитывать ответственное отношение к математике и аккуратность при построении графиков.

Тип урока: урок изучения нового учебного материала.

Ход урока.

1. Организационный момент и мотивация учебной деятельности.

                        Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда –

Сиянье ваших умных глаз.

К чему слова, без промедленья,

Мы начинаем наш урок.

2. Мотивация к уроку.

Послушайте продолжение сказки про деда-Равняло  и догадайтесь чем сегодня мы будем заниматься на уроке?

Сказка про деда-Равняло (продолжение)

Как-то раз решил дед-Равняло усложнить задачу своему внучку Равнялке. Выстроил он опять по обе стороны от себя числа, соединил их знаками, самые резвые в скобки взял, да все это время следил, чтобы одна часть другой равнялась. Только на этот раз спрятал он два числа, одно под маской «икс», другое – под «игрек». И снова просит своего Равнялку найти эти числа. Долго думал маленький Равнялка, перегонял числа то в одну сторону, то в другую, ничего не выходило, не мог он найти решение. Решил, наконец, помощи у деда просить. Дед у него был опытным в своем деле и, конечно же, помог внучку решить такую сложную задачу.

Итак, ребята, о чем идет речь в этой сказке?

 Правильно! Тема сегодняшнего урока: «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Сегодня на уроке мы познакомимся с определением системы линейных уравнений, ее решения, с примером построения модели задачи в виде системы на примере задачи из учебника И. Ньютона. Рассмотрим один из способов решения систем уравнений с двумя переменными.

3. Актуализация опорных знаний.

Вопросы для повторения.

Какие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными?

Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?

Что является графиком линейного уравнения?

Сколько решений может иметь линейное уравнение с двумя переменными?

У вас на столах лежит мини-тест, решите задания теста и выполните взаимопроверку.

Мини – тест.

1) Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными

а) ах2+ bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0

2) Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0

а) (2; 3); б) (5; 6); в) (1; 2)

3) Выберите график линейного уравнения

4) Сколько решений имеет уравнение 3х + 2у – 16 = 0

а) 1; б) 3; в) много

5) Сколько решений имеет уравнение 3х+5=3х ?

а) 1; б) решений нет; в) много

Тест проверяется и выставляется оценка (взаимопроверка)

Ключ к тесту

4. Историческая справка

А сейчас послушайте небольшую историческую справку об ученном, который написал первый научный труд об уравнениях.

Абу Джафар Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми

Общепризнанно, что основателем алгебры является Абу Джафар Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми, который родился приблизительно в 786 г.

Современное слово «алгоритм» произошло от имени аль-Хорезми, который был самым выдающимся математиком своей эпохи, и связано с названием его книги «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» (книга рассказывала о способах решения уравнений и задач, связанных с повседневной жизнью). В переводе название означает «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». Общепризнанно, что данная книга Аль-Хорезми является первым серьезным научным исследованием в данной области знаний. От названия этой книги произошло и само слово «Алгебра».

Преобразование в этой книге выполняется посредством двух операций - аль-джабр и аль-мукабаля. Слово "аль-джабр" Аль-Хорезми употребляет в значении "восполнение" для обозначения процесса перенесения отрицательного числа из одной части уравнения в другую, «аль-мукабала» означает «противопоставление», то есть приведение подобных членов в обеих частях уравнения. 

5. Ознакомление с новым материалом.

Исаак Ньютон сказал:

“Чтобы решить вопрос, относящийся к числам 
или к отвлеченным отношениям величин, 
нужно лишь перевести задачу с родного языка 
на язык алгебраический”.

Предлагаю вам задачу из “Всеобщей арифметики” Ньютона: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. “Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей”. Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?

Перед вами таблица перевода задачи с родного языка на язык алгебраический, наша задача заполнить левый столбик таблицы (на доске таблица, правый столбик заполнен, левый заполняется совместно с учащимися).

Зная, что ноша моя станет вдвое тяжелее твоей, составим первое уравнение системы у + 1 = 2(х – 1); твоя поклажа стала бы одинакова с моей, составим второе уравнение у – 1 = х + 1.

Моделью данной ситуации стали два уравнения, имеющие общее решение, такую модель называют системой линейных уравнений с двумя переменными.

Определение: Решением системы линейных уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство. 

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными существует несколько способов: На сегодняшнем уроке мы рассмотрим графический способ решения систем.

Построим графики данных уравнений в одной системе координат. Для этого выразим переменную у из первого уравнения и переменную у из второго уравнения системы через х, получим:

Сколько точек необходимо и достаточно найти, чтобы построить прямую линию? (две)

Первая прямая является графиком первого уравнения, а вторая – графиком второго. Координаты любой точки первой прямой удовлетворяют уравнению

у+1=2(х–1), а координаты любой точки второй прямой – уравнению – (у–1=х+1). Следовательно, координаты точки пересечения прямых удовлетворяют как первому уравнению, так и второму, а значит, являются решением данной системы. 

Значит поклажа лошади 5 мешков, а поклажа мула – 7.

Ответ: (5; 7)

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Как вы думаете, что можно сказать о решении системы, если графики уравнений не пересекаются? (Система решений не имеет)

 Всегда ли можно точно определить координаты точки пересечения графиков? (нет, иногда приблизительно)

Помните о двух вещах!

1. Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет;
2. Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

6. Релаксационная минутка

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.  

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело.

7.  Закрепление изученного материала

А сейчас откройте учебники на странице 197, выполняем упражнение № 1056 устно.

Как проверить является ли пара чисел решением системы уравнений?

(подставить значения переменных в уравнения)

Проверьте, является ли первая пара решением данной системы? (нет)

А вторая? (да)

№ 1060 (а, в) Выполняем по алгоритму.

а)   

                                                                                         Ответ(3; 2)

б)    

                                                                                        Ответ: (0; 2)

№ 1061 (а)

                                                                        Ответ: (0; -3)

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Определите координаты точки пересечения прямых. Запишите соответствующую систему уравнений.

2. Решите с помощью графиков систему уравнений:

Самостоятельная работа

Вариант 2.

1. Определите координаты точки пересечения прямых. Запишите соответствующую систему уравнений.

2. Решите с помощью графиков систему уравнений:

Ответы:

Вариант 1: 1) (-2; 3);                           2) (-2; 2).

Вариант 2: 1) (4; -2);                           2) (2; 1).

Итак,  Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?

Что значит решить систему уравнений?

Какая пара чисел является решением системы уравнений:

1) (-5; - 2),             2) ( -5; - 8),             3) (-3; 6),              4) (-4; -4)?

8. Постановка домашнего задания

        П. 42, № 1058, № 1060 (в, г), № 1061 (б)

Составить математическую модель задачи Аль – Хорезми и решить ее: Найти два числа, зная, что их сумма равна 10, а отношение 4.

9. Выставление оценок, подведение итогов урока. Рефлексия. 

А сейчас напишите на листах, лежащих перед вами как вы усвоили материал урока:

1. Невероятно интересным на уроке было …
2. Я усвоил тему
3. Я недостаточно усвоил тему, но могу дома разобраться самостоятельно
4. Я не усвоил тему, обращусь за помощью к учителю.

Доска бела от мела,

Рука устала, затекла спина,

Мы друг на друга смотрим очумело,

А все-таки задача решена!

Додумались! Добились! «Раскололи»!

Намаялись, однако же смогли!

Забыли о кино и о футболе

Звонку не рады – до чего дошли.

Спасибо за урок!