Биографии математиков
занимательные факты по алгебре (7 класс) на тему

Содержание.

1. Введение.                                                                          2-3стр.
2. Биография Леонардо Пизанского.                                 4-5стр.
3. Книга-энциклопедия.                                                      6-9стр.
4. Награды и заслуги Леонардо Пизанского.                   10-11стр.
5. Заключение.                                                                    12-13стр.
6. Список использованной литературы.                           14 стр.
7. Приложение.                                                                    15-21стр.

Введение.

При написании этой работы я стремилась к следующей цели: показать, как история развития общества влияла на деятельность математиков, насколько для них было важно, какие были сделаны открытия в этой области знания до них, раскрыть все достижения Леонардо Пизанского в области математики.

В период раннего Средневековья Европа не знала практически никакой математики, она не владела мастерством счета, не имела никакой теоретической базы. Европа была в таком сильном упадке, что не имела даже представления о том, что существует какой-то другой мир отношений, мир науки и искусства. Чтобы что-либо подобное узнать, людям приходилось преодолевать огромные расстояния, приходилось познавать и воспринимать совершенно иную культуру. Европа стремилась познать Восток, другую цивилизацию. Самым лучшим способом для этого оказалась не война, не миссионерство, а именно наука. Наука объединяла взгляды на окружающий мир и сближала.

Чтобы осознать многие открытия, сделанные древними, потребовалось не одно столетие. И хотя ученым казалось, что познавать они приехали восточную мудрость во всеоружии, зная многое, то, что они узнали, поразило их воображение и толкнуло на новые открытия.

Совершенно, казалось бы, незначительные преобразования приводили к потрясающим результатам. Введение арабских обозначений прекратило пользование римскими досками для счета – абаками, а используя арабскую письменность, европейцы восхитились простотой операций. Стала развиваться теория чисел. Леонардо из Пизы, Фобиначчо, Фома Аквинский, Региомонтанус, Сципион дель Ферро, Лука Пачоли и другие, Кардано и Тарталья, и, наконец, Кеплер, Коперник, Виет и Непер – все они медленно, но верно приводили хаос в математике к его сегодняшнему виду, создавали универсальные обозначения, способы вычисления, подготавливали почву для творчества Лейбница, Эйлера, Кантора, Тихо Браге, Артура Кели, помогали развиться и примыкающим к математике наукам. Каждый в отдельности и все вместе, они создали тот математический аппарат, доступный школьникам, существующий сейчас.

То, что, казалось бы, обычная арифметика, «теорийки», векторы, изучаемые с первого и до последнего класса в школе, самые элементарные для нас принципы коммутативности, ассоциативности – все это грандиозный рывок в математике со времен упадка Римской империи или большой пройденный еще раз шаг вперед. Математиками были почти обычные люди, которые ели, спали, любили, дрались, иногда пили, дурачились, которые в основной своей массе не считали себя сверхчеловеками, но которых подчас возводят в ранг полубожеств. Они просто сравнивали окружающий мир с сухими и выверенными теоремами, рассматривали его внимательно и удивлялись результату.

Биография Леонардо Пизанского.

Леонардо Пизанский.

Творчество  Леонардо Пизанского оказало решающее влияние на развитие алгебры и теории чисел, в частности на исследования таких математиков, как Франсуа Виет и Пьер Ферма.

  Леонардо родился в большом итальянском городе-республике Пизе. Его часто называют Фибоначчи – «сын Боначчи» (Доброго). Настоящая его фамилия, по-видимому, Биголло. По крайней мере, так он поименован в акте о покупке земли, которую совершил по доверенности для своего родственника.

   Отец Леонардо был нотариусом республики Пиза.  Вскоре после рождения сына его послали со служебным поручением в Буджи (ныне Алжир), где он выполнял обязанности, близкие к консульским. Когда Леонардо исполнилось 12 лет, отец вызвал его к себе, чтобы познакомиться с делами, в первую очередь с коммерческими расчетами. Все эти сведения сообщает сам Леонардо в предисловии к фундаментальному труду «Книга абака».

 Леонардо путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии и Провансу и везде старался познакомиться с различными способами счета и началами алгебры. Он убедился, что техника счета по десятичной позиционной системе намного превосходит все другие.

  Вернувшись в Пизу, Леонардо серьезно занялся математикой. Он познакомился с «Началами» Евклида и, соединив эти знания с тем, что он узнал от арабских ученых, составил в 1202 году «Книгу абака»  – настоящую энциклопедию математических знаний его эпохи. Здесь проявилась высокая одаренность автора: труд Леонардо не ученическая компиляция, а глубоко продуманное и во многом оригинальное произведение. В нем рассматриваются вопросы алгебры, геометрии и теории чисел.

В 1223 году Леонардо посвятил второе издание этой книги своему другу Микеле Скотто – придворному астроному и астрологу императора Фридриха II, тому самому, которому Данте упомянет в «Божественной комедии». (Данте поместил его в восьмой круг ада, в четвертый ров, вместе с другими обманщиками, выдававшими себя за прорицателей:

А следующий, этот худобокий,

Звался Микеле Скотто и большим

В волшебных плутнях почитался докой.)

  Это посвящение говорит о близости Леонардо к сицилийскому двору Фридриха II Штауферна, первого из просвещенных деспотов Италии, которыми впоследствии было так богато Возрождение. Но даже в то суровое время Фридрих сумел прославиться особой жестокостью. Рассказывали, будто он разрешал проводить анатомические исследования на живых людях – осужденных преступниках. При этом он покровительствовал литературе и наукам и сумел окружить себя учеными и философами.

   При дворе установились научные диспуты. На одном из них придворный философ магистр Иоганн Палермский предложил Леонардо Пизанскому два вопроса, которые на современном математическом языке выглядят следующим образом:

1) найти корень уравнения

х³ + 2х² + 10х = 20;

2) найти рациональные решения системы уравнений

х² + 5 = u²;

х² – 5 = у².

Леонардо провел тщательные исследования обеих задач и написал две книги – «Цветок» и «Книга квадратов». Он привел ответы для обеих задач и в процессе рассуждений доказал частный случай Большой теоремы Ферма, открытой лишь спустя 400 лет.

Книга-энциклопедия.

В 1202 г. Возникла на свет именитая «Книга абака» («Liber abaci») Леонардо Пизанского (более известного под прозвищем Фибоначчи – отпрыск Боначчи), наикрупнейшего евро математика эры Средневековья. Этот большой труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько веков. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такового рода, автор которого был христианином.

В книге впервые дается решение задачи про кроликов, над которой бились математики не одно столетие. Спрашивается, сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит в месяц  по паре, способной в свою очередь через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибнет. Ответ дается суммой ряда 1 + 1 + 2 + 3 +
+ 5 + 8 + ... + 144. Каждый член этого ряда, начиная с третьего, является суммой предыдущих::

a   = a  + a…

Последовательность a  в дальнейшем стали называть последовательностью Фибоначчи.

«Liber abaci»(«Книга абака»), либо трактат по арифметике (а конкретно так можно истолковать заглавие, поскольку под «абаком» Леонардо соображал не счетную доску, а арифметику), различалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не лишь азы науки о числах и действиях над ними, но и базы учения об уравнениях, т.е. Алгебры. Не считая того, в «Liber abaci» имелось огромное количество задач практического содержания, иллюстрировавших разные приемы решения, как арифметические – тройное правило, правило товарищества, способ ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному либо нескольким уравнениям.

Само изложение было словесным, лишенным привычных для современного читателя знаков и формул, а решение примеров и задач, носивших, как мы говорим сейчас, частный характер, сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той либо другой конкретной ситуации, и часто сопровождалось разъяснениями либо полезными комментариями автора.

Книга была адресована не лишь ученым мужам, но и более широкому кругу читателей: купцам, счетоводам, торговцам, чиновникам и т.д. В предисловии отмечалось, что автор написал свой труд, чтобы «род латинян» не прибывал более в незнании излагаемых в нем вещей. Но для многих из тех, кому предназначалась «Liber abaci», книга оказалась трудновата, поэтому несмотря на популярность и доработанное автором издание 1228 г., не получила того широкого распространения, которого заслуживала.

 До нас «Liber abaci» дошла как раз во втором варианте. Её первое печатное издание возникло на родине математика, в Италии, в средине XIX в.

Зато трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. «Liber abaci» была востребована математиками эры Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить её по достоинству, ведь книга различалась не лишь богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и способов, но и строгостью, доказательностью изложения.

На протяжении нескольких веков по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики – арифметикой и алгеброй и черпали из него задачки и уникальные способы решения, благодаря чему уже в XV–XVI вв. те разошлись по бессчетным итальянским, французским, германским, английским, а позднее и российским рукописям, печатным книгам и учебникам. Некие задачки либо их аналоги можно найти и в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), и в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), и в «Арифметике» Магницкого (1703), и даже в «Алгебре» Эйлера (1768).

Универсальный задачник.

Большую ценность «Liber abaci» придавало наличие в ней множества разнообразных задач, одни из которых были взяты из арабских и иных источников, а остальные придуманы самим автором. Огромную группу составляли чисто арифметические и алгебраические примеры: на выполнение действий над числами, извлечение корней, решение уравнений либо систем и т.д. В другую группу входили сюжетные задачки (в том числе связанные с житейскими ситуациями): на смешение, определение стоимости либо количества купленного продукта, раздел имущества и различного рода денежные расчеты меж людьми (задачки коммерческой арифметики) и т.п. К примеру, к задачкам на смешение относились два вида задач «на сплавы»: на определение пробы сплава, сделанного из остальных сплавов известного состава и количества, и на выяснение того, сколько каждого из данных сплава будет нужно, чтоб получить сплав подходящей пробы. А одной из обычных задач коммерческой арифметики была задачка на раздел некой суммы средств пропорционально долям участников.

В трактат Фибоначчи вошли также текстовые задачки на воспроизведение определенного деяния, к примеру, нахождения числа по его части. Вот одна из них. Четвертая и третья части дерева находятся под землей и составляют 21 фут. Чему равна длина всего дерева?

Некие из затронутых в труде Леонардо вопросов в различное время завлекали внимание ученых-математиков и не раз упоминались в более поздних сочинениях. Так вышло, в частности, с популярной в средние века задачей на отыскание наименьшего комплекса разных гирь, с помощью которого можно уравновесить хоть какой груз с целочисленной массой, не превосходящей заданного числа.

Но более известной по сей день остается, естественно же, задачка о размножении кроликов, в первый раз появившаяся конкретно в «Liber abaci». Её решение привело Фибоначчи к открытию чуть ли ни самой известной числовой последовательности:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , названной потом его именованием и породившей множество исследований, в особенности связанных с исследованием параметров золотой пропорции.

Награды и заслуги Леонардо Пизанского.

Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги-энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался очень широкий круг вопросов:

• Индусская система нумерации;
• Правила действий над целыми числами;
• Дроби и смешанные числа;
• Разложение чисел на обыкновенные множители;
• Признаки делимости;
• Учение об иррациональных величинах;
• Методы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;
• Характеристики пропорции;
• Арифметическая и геометрическая прогрессии;
• Линейные уравнения и их системы.

Наконец, отдельная глава была посвящена квадратным уравнениям и геометрическим задачкам на применение теоремы Пифагора. Основную часть сведений автор кропотливо собирал, путешествуя по различным странам как купец, кое-что почерпнул из трудов Евклида (а по сути – из наследия античных математиков). Необыкновенную ценность представляло подробное изложение малоизвестной тогда в Европе индусской (десятичной) системы счисления и новейших способов вычисления, позволявших заметно упростить всевозможные расчеты и удачно решать большой круг задач.

В собственном труде Леонардо упомянул о различных нумерациях, как узнаваемых у него на родине, так и использовавшихся в странах Востока, которые он посетил, и показал достоинства индусской системы счисления. А начинался трактат так: «Девять индусских символов суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих символов и знака 0, который именуется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число». Нужно сказать, отдельные случаи использования данной системы встречались и ранее. С Востока её привозили паломники, ученые, купцы, посланники и военные. Более старый европейский манускрипт, в котором упоминаются придуманные индусами числа, относится еще к концу X в. Но десятичная система счисления совсем медлительно проникала в западные страны и получила там обширное распространение только в эру Возрождения.

Отметим также, что конкретно благодаря Фибоначчи европейцы познакомились с общими правилами решения квадратных уравнений, описанными в трактате Аль-Хорезми.

Но Леонардо Пизанский был не лишь автором-составителем энциклопедии «Liber abaci». В ней математик отразил и результаты собственных научных изысканий. В частности, в этом труде он в первый раз:

• определил правило для нахождения суммы членов случайной арифметической прогрессии;
• разглядел возвратную последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих ему чисел;
• ввел термин «частное» для обозначения результата деления;
• обрисовал метод приведения дробей к общему знаменателю с помощью нахождения наименьшего общего кратного знаменателей (более оптимальный, чем употребляли арабские математики).

Не считая того, что Фибоначчи без помощи других разработал ряд алгебраических приемов решения задач, изучил некие уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным, и первым посреди европейских ученых подошел к введению отрицательных чисел и их толкованию как долга, что по тем временам являлось большущим достижением.

Заключение.

Рывок в математике подтолкнул к развитию других наук, например, физику. Мнимости, алгебраические  выкладки в геометрии привели к более расширенному и глубокому пониманию мира, развитию неприкладных наук: астрономии, общей биологии (сколько бактерий окажется в банке, где вначале было всего две бактерии). Работы Леонардо Пизанского (Фибоначчи) создали основу для возрождения греческой науки познания, ввели до тех пор мало известные обозначения арабов в среду философов-математиков, доказали необходимость расширять связи с Востоком. Еще одно достижение этого ученого нельзя не заметить: «Книга абака» была доведена до просвещенной общественности. Студенты потянулись на Восток с той же ретивостью, что и крестоносцы.

Как отмечают исследователи, «Liber abaci» не просто выделяется, а резко возвышается над средневековой литературой по арифметике и алгебре. До этого всего благодаря фундаментальности изложения и обилию рассмотренных в ней способов и задач. Уровень сочинения оказался столь высок, что осилить и пользоваться изложенными в нем сведениями смогли основным образом ученые-математики, отчасти современники Леонардо, и в еще большой мере – представители последующих поколений.

Практически только спустя три столетия после выхода в свет «Liber abaci» стало заметно её влияние на работы остальных авторов. С появлением труда Фибоначчи европейские ученые эры Средневековья, бывшие часто философами-схоластами либо духовными лицами, для кого математика не была главным занятием, стали уделять больше внимания алгебре и затрагивать в собственных исследованиях её новейшие вопросы. Но первых серьезных результатов удалось достичь лишь в эру Возрождения, к началу XVI столетия, когда группа итальянских математиков (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Иероним Кардано, Людовико Феррари) получила общее решение кубических уравнений, положив тем самым начало высшей алгебре.

Выходит, что  ученый Леонардо Пизанский не лишь превзошел, но и на многие десятилетия опередил западноевропейских математиков собственного времени. Подобно Пифагору, привнесшему в греческую науку знания, некогда полученные от египетских и вавилонских жрецов, Фибоначчи во многом способствовал передаче обретенных им в юности математических знаний индусов и арабов в западноевропейскую науку и заложил фундамент для её дальнейшего развития.

Список использованной литературы.

1. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики перевод /Пер. И. Погребысского. М.: Наука, 1978.
2. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика М.: Аванта +.
3. Харенберг Бодо. Хроника человечества. М.: Большая энциклопедия, 1996.
4. Сайт http://n-t.ru/

Приложение.

Знакомые задачки из трактата Фибоначчи.

Некоторые арифметические и алгебраические задачки из «Liber abaci», с которыми обязаны просто справиться (в различие от первых читателей книги Леонардо) и сегодняшние школьники. Задачки эти интересны не лишь, а время от времени и не столько своими решениями либо конкретным математическим содержанием. Во многом они любопытны с исторической точки зрения, поскольку имеют свою биографию, выдержали испытание временем, «прижились» и благополучно дошли до наших дней. К тому же, рассматривая предложенную кем-то задачку, никогда не бывает лишне ознакомиться с чужим рассуждением и сопоставить его с своим решением. Тем более, когда читателя и автора разделяют столетия, а то и тысячелетия!

Задачка 1. отыскать число, 19/20 которого равны квадрату самого числа.

Ответ: 19/20.

Комментарий. Ответ очевиден каждому, кто знаком с понятием квадрата числа. Решая задачку с помощью квадратного уравнения 19/20 x = x2 мы получим еще одно удовлетворяющее условию задачки число – 0.

Автор же, разумеется, имел в виду число, хорошее от нуля. Что вообще-то неудивительно. Во времена Леонардо Пизанского нуль не признавался за корень уравнения, т.е. за число. Впрочем, это не мешало неким математикам и до, и после Фибоначчи делать простые операции с нулем, который воспринимался ими как знак, обозначавший «ничто».

Задачка 2. Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтоб узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Природа кроликов такая, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а появляются кролики со второго месяца. Сколько пар кроликов будет через год?

Ответ: 377 пар.

Комментарий. Даже одной данной задачки хватило бы Фибоначчи, чтоб бросить след в истории науки. Конкретно в связи с ней сейчас почаще всего и упоминается имя ученого. Решая задачку о размножении кроликов, Леонардо обрисовал бесконечную числовую последовательность (an), хоть какой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие члены:

a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an, где n ≥ 1.

Для математиков она является до этого всего классическим примером рекуррентной последовательности, элементы которой, числа Фибоначчи, владеют многими очень увлекательными и нашедшими нежданные внедрения качествами. Из них обширно понятно следующее: предел дела an+1 к an при неограниченном возрастании n устремляется к знаменитому числу Ф ≈ 1,618, выражающему божественную пропорцию.

Что же касается ответа в задачке о кроликах, то (в согласовании с указанными в тексте условиями) он совпадает с 13-м членом построенной Леонардо последовательности 1, 2, 3, 5, 8, ... – числом 377. тут каждое число, начиная со второго, показывают, сколько всего пар кроликов будет насчитываться к началу еще одного месяца.

Заметим, что Фибоначчи разглядывал свою задачку для взрослой пары кроликов (на это указывают слова «рождаются кролики со второго месяца»). Если же решать её для новорожденной пары, получится другая последовательность, в таком случае ровно через год количество животных возрастет до 233 пар особей.

Спустя полтора столетия индийский математик Нарайана разглядывал похожую задачку: отыскать число скотин и телок, происходящих от одной скотины в течение 20 лет, при условии, что скотина в начале каждого года приносит телку, а телка, достигнув трех лет, дает такое же потомство в начале года. Если решать задачку, составляя рекуррентное соотношение, придем к последовательности 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ... .

Задачка 3. Семь старух отправляются в Рим. У каждой по семь мулов, каждый мул несет по семь мешков, в каждом мешке по семь хлебов, в каждом хлебе по семь ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Ответ: 137 256 предметов.

Комментарий. Перед нами отлично популярная, встречающаяся у различных народов задачка-шутка, как её частенько называют историки математики, полагая, что в былые времена она была всего только нехитрой забавой для учеников. А ведь эта восходящая еще к старым египтянам задачка, вернее её решение, служит прелестной наглядной иллюстрацией построения геометрической прогрессии и нахождения суммы первых n её членов по известному первому члену и знаменателю. И конкретно в таком качестве её вполне можно употреблять в обучении детей математике.

От аналогичной задачки из папируса Ахмеса задачка из трактата Фибоначчи, по сути, различается только тем, что в ней суммируются не пять, а шесть чисел:

S6 = 7 + 72 + ... 76 = [7 · (76 – 1)]/6 = 137 256

Напомним её условие: «У семи лиц по семи кошек, любая кошка съедает по семи мышей, любая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семь мер зерна. Как значительны числа этого ряда и как велика их сумма?» А вот для сравнения российский вариант задачки, рассмотренной в книге Леонардо: «Шли семь старцев, у каждого старца по семь костылей, на каждом костыле по семь сучков, на каждом сучке по семь кошелей, в каждом кошеле по семь пирогов, в каждом пироге по семь воробьев. Сколько всего?»

Задачка 4. Выбрать пять гирь так, чтоб с их помощью можно было взвесить, хоть какой груз массой от 1 до 30 целых весовых единиц. При взвешивании все гири разрешается класть лишь на одну чашку весов.

Ответ: нужно взять гири с массами 1, 2, 4, 8 и 16 весовых единиц.

Комментарий. Затронутый в задачке вопрос равносилен вопросу о представлении натурального числа n ≤ 30 в виде суммы не более пяти разных натуральных чисел из комплекса m1, ..., m5 , не превосходящих n:

n = a1 · m1 + a2 · m2 + a3 · m3 + a4 · m4 + a5 · m5 ,

где каждый из множителей a1, ..., a5 равен 1 либо 0 (гиря или кладется на чашку весов, или нет). Но тогда естественно перейти к двоичной системе счисления:

n = a5 · 24 + a4 · 23 + a3 · 22 + a2 · 21 + a1 · 20.

таковым образом, в набор обязаны входить гири, массы которых выражаются числами 1, 2, 4, 8 и 16.

Хотя данную задачку частенько связывают с именованием французского математика и поэта Баше де Мезириака, она встречается еще у Фибоначчи. Возможно, и тот не сам её выдумал. А реальным автором данной до недавнего времени актуальной практической задачки мог быть какой-нибудь сметливый торговец, которому часто приходилось взвешивать свой продукт.

 Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581...1638) известен, в частности, как автор книг по занимательной математике. В одной из них и приведена задачка о хорошей системе гирь.

В «Liber abaci» содержался также более сложный вариант рассмотренной задачки. В нем разрешается класть гири на обе чашки весов, а означает, нужно будет мыслить не лишь о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел ai может воспринимать три разных значения (гиря добавляется или на свободную чашку весов, или на чашку с грузом либо вообще не употребляется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачку для n ≤ 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц.

Оба варианта задачки интересны еще и тем, что отысканные числа являются членами геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задачке 4, можно придти, рассматривая неравенство

30 ≤ 1 + 2 + 22 + ... + 2m–1, либо 30 ≤ 2m – 1.

Его наименьшее натуральное решение m = 5.

Задачка 5. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько средств у каждого?

Ответ: 7 2/17 и 9 14/17 денариев.

Комментарий. Обозначив знаками x и y количество средств, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему, из которой найдем x = 7 2/17 и y = 9 14/17. таковой метод решения напрашивается сам собой, поскольку в задачке говорится о двух неизвестных.

А вот Леонардо Пизанский в собственных рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав её по давно укоренившейся посреди математиков традиции «вещью». Приняв имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x – 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению

x + 12 = 7 (5x – 12).

Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачки и с большим числом людей.

Задачка 6. 30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев – по монете. Сколько птиц каждого вида?

Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

Комментарий. Из-за огромного количества неизвестных данную задачку вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить знаками x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений. Исключив z и выразив потом x через y, получим x = 6 – 3/5 y. Единственное вероятное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22.

Интересно, что данную задачку автор «Liber abaci» разглядывал как задачку на сплав достоинства 1, который обязан получиться из трех целочисленных количеств достоинством 3, 2 и 1/2. Эта же задачка, но с чуток измененными числовыми данными (цена птиц различного вида выражается обратными числами: 1/3, 1/2 и 2) разбиралась еще в одном сочинении Леонардо.

Задачка 7. Решить систему уравнений

Ответ: (15 – 5√5; 5√5 – 5).

Комментарий. На самом деле данная система является симметричной и имеет ни одно, как указал Фибоначчи, а два решения; второе – (5√5 – 5; 15 – 5√5).

Но увлекательна задачка не лишь этим. В «Liber abaci» приведены различные методы её решения.

Во-первых, «стандартный» в нашем понимании: с помощью подстановки y = 10 – x. Исключаем y и сводим задачку к решению квадратного уравнения

x2 + 100√5 – 200 = 10x.

Во-вторых, посредством замены. Пусть y/x = z, тогда x/y = √5 – z. Так как   y/x · x/y =1, приходим к уравнению z(√5 – z) = 1, из которого определяем z. С другой стороны, y = 10 – x, z = (10 – x)/x, откуда просто отыскать x, а потом уже вычислить y. Мысль  первого метода решения смотрится, естественно, прозрачнее и привычнее, но решать им систему технически не проще, чем вторым методом. А, как понятно, в схожих задачках простота вычислений, в особенности, если те соединены с корнями, играется не последнюю роль.

Министерство образования РФ

Владимирский государственный педагогический университет

Исаак Ньютон

                                                                                Выполнила студентка ФМФ

                                                                                  гр. МИ – 52  Порфирова С. С.

                                                                                Проверила Соколова О. А.  

- Владимир 2008 -

Содержание

1. Исаак Ньютон
2. Исчисление бесконечно малых Ньютона
3. Разложения в бесконечные ряды
4. Фдюенты, флюксии и моменты
5. Метод пределов Ньютона
6.  «Перечисление кривых третьего порядка» Ньютона

Исаак Ньютон

Ньютон (Newton) Исаак (4.01.1643, Вулсторп, около Граптема, – 31.03.1727, Кенсингтон), английский физик и математик, создавший теоретические основы механики и астрономии, открывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Готфридом Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисления, изобретатель зеркального телескопа и автор важнейших экспериментальных работ по оптике.

Ньютон родился в семье фермера в деревне Вулсторп, примерно в 75 км к северу от Кембриджа; отец умер незадолго до рождения сына. В 12 лет Исаак начал учиться в Грантемской школе, в 1661 поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета в качестве субсайзера (так назывались бедные студенты, выполнявшие для заработка обязанности слуг в колледже), где его учителем был известный математик И. Барроу. Окончив университет, Ньютон в 1665 получил ученую степень бакалавра. В 1665–67, во время эпидемии чумы, находился в своей родной деревне Вулсторп; эти годы были наиболее продуктивными в научном творчестве Ньютона. Здесь у него сложились в основном те идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, к изобретению зеркального телескопа (собственноручно изготовленного им в 1668), открытию закона всемирного тяготения; здесь он провел опыты над разложением света. В 1668 Ньютону была присвоена степень магистра, а в 1669 Барроу передал ему почетную люкасовскую физико-математическую кафедру, которую Ньютон занимал до 1701.В университете Ньютон читал лекции по физике и математике. Он не женился; члены колледжа, следуя средневековой традиции, оставались холостяками.  В 1687 он опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии» (кратко – «Начала»). В 1695 получил должность смотрителя Монетного двора (этому, очевидно, способствовало то, что Ньютон изучал свойства металлов). Ему было поручено руководство перечеканкой всей английской монеты. Ему удалось привести в порядок расстроенное монетное дело Англии, за что он получил в 1699 пожизненное высокооплачиваемое звание директора Монетного двора. В том же году Ньютон избран иностранным членом Парижской АН. В 1703 он стал президентом Лондонского королевского общества. В 1705 за научные труды он возведен в дворянское достоинство. Похоронен Ньютон в английском национальном пантеоне – Вестминстерском аббатстве.

Основные вопросы механики, физики и математики, разрабатывавшиеся Ньютоном, были тесно связаны с научной проблематикой его времени. Оптикой Ньютон начал интересоваться еще в студенческие годы. В 1672 году он высказал свои взгляды о «телесности света» (корпускулярная гипотеза света). Эта работа вызвала бурную полемику, в которой противником корпускулярных взглядов Ньютон на природу света выступил Роберт Гук (в то время господствовали волновые представления). Отвечая Гуку, Ньютон высказал гипотезу, сочетавшую корпускулярные и волновые представления о свете. Эту гипотезу он развил затем в сочинении «Теория света и цветов», в котором описан также опыт с кольцами Ньютона и установил периодичность света. При чтении этого сочинения на заседании Лондонского королевского общества Гук выступил с притязанием на приоритет, и раздраженный Ньютон принял решение не публиковать оптических работ. Многолетние оптические исследования Исаака Ньютона были опубликованы им лишь в 1704 (через год после смерти Гука) в фундаментальном труде «Оптика». Принципиальный противник необоснованных и произвольных гипотез, Ньютон начинает «Оптику» словами: «Мое намерение в этой книге – не объяснять свойства света гипотезами, но изложить и доказать их рассуждениями и опытами». В «Оптике» Ньютон описал проведенные им чрезвычайно тщательные эксперименты по обнаружению дисперсии света и показал, что дисперсия вызывает искажение в линзовых оптических системах – хроматическую аберрацию. Ошибочно считая, что устранить искажение, вызываемое ею, невозможно, Ньютон сконструировал зеркальный телескоп. Наряду с опытами по дисперсии света он описал интерференцию света в тонких пластинках и изменение интерференционных цветов в зависимости от толщины пластинки в кольцах Ньютона. По существу Ньютон первым измерил длину световой волны. Кроме того, он описал здесь свои опыты по дифракции света.

«Оптика» завершается специальным приложением – «Вопросами», где Ньютон высказывает свои физические взгляды. В частности, здесь он излагает воззрения на строение вещества, в которых присутствует в неявном виде понятие не только атома, но и молекулы. Кроме того, Ньютон приходит к идее иерархического строения вещества: он допускает, что «частички тел» (атомы) разделены промежутками — пустым пространством, а сами состоят из более мелких частичек, также разделенных пустым пространством и состоящих из еще более мелких частичек, и т.д. до твердых неделимых частичек. Н. вновь рассматривает здесь гипотезу о том, что свет может представлять собой сочетание движения материальных частиц с распространением волн эфира.

Вершиной научного творчества Ньютона являются «Начала», в которых ученый обобщил результаты, полученные его предшественниками (Г. Галилей, И. Кеплер, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Дж. Борелли, Р. Гук, Э. Галлей и др.), и свои собственные исследования и впервые создал единую стройную систему земной и небесной механики, которая легла в основу всей классической физики. Здесь Ньютон дал определения исходных понятий – количества материи, эквивалентного массе, плотности; количества движения, эквивалентного импульсу, и различных видов силы. Ньютон впервые рассмотрел основной метод феноменологического описания любого физического воздействия через посредство силы. Определяя понятия пространства и времени, он отделял «абсолютное неподвижное пространство» от ограниченного подвижного пространства, называя «относительным», а равномерно текущее, абсолютное, истинное время, называя «длительностью», – от относительного, кажущегося времени, служащего в качестве меры «продолжительности». Эти понятия времени и пространства легли в основу классической механики. Затем Ньютон сформулировал свои 3 знаменитые «аксиомы, или законы движения»: закон инерции (открытый Галилеем, первый закон Ньютона), закон пропорциональности количества движения силе (второй закон Ньютона) и закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона). Из второго и третьего законов он выводит закон сохранения количества движения для замкнутой системы.

Ньютон рассмотрел движение тел под действием центральных сил и доказал, что траекториями таких движений являются конические сечения (эллипс, гипербола, парабола). Он изложил свое учение о всемирном тяготении, сделал заключение, что все планеты и кометы притягиваются к Солнцу, а спутники – к планетам с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и разработал теорию движения небесных тел. Ньютон показал, что из закона всемирного тяготения вытекают законы Кеплера и важнейшие отступления от них. Так, он объяснил особенности движения Луны (вариацию, попятное движение узлов и т.д.), явление прецессии и сжатие Юпитера, рассмотрел задачи притяжения сплошных масс, теории приливов и отливов, предложил теорию фигуры Земли.

В «Началах» Ньютон исследовал движение тел в сплошной среде (газе, жидкости) в зависимости от скорости их перемещения и привел результаты своих экспериментов по изучению качания маятников в воздухе и жидкостях. Здесь же он рассмотрел скорость распространения звука в упругих средах. Ученый доказал посредством математического расчета полную несостоятельность гипотезы Декарта, объяснявшего движение небесных тел с помощью представления о разнообразных вихрях в эфире, заполняющем Вселенную. Также он нашел закон охлаждения нагретого тела. В этом же сочинении он уделил значительное внимание закону механического подобия, на основе которого развилась теория подобия.

Таким образом, в «Началах» впервые дана общая схема строгого математического подхода к решению любой конкретной задачи земной или небесной механики. Дальнейшее применение этих методов потребовало, однако, детальной разработки аналитической механики (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Ж. Лагранж, У. Гамильтон) и гидромеханики (Л. Эйлер и Д. Бернулли). Последующее развитие физики выявило пределы применимости механики Ньютона.

Задачи естествознания, поставленные Ньютоном, потребовали разработки принципиально новых математических методов. Математика для Ньютона была главным орудием в физических изысканиях; он подчеркивал, что понятия математики заимствуются извне и возникают как абстракция явлений и процессов физического мира, что по существу математика является частью естествознания.

Разработка дифференциального интегрального исчисления явилась важной вехой в развитии математики. Большое значение имели также работы Ньютона по алгебре, интерполированию и геометрии. Основные идеи метода флюксий (наиболее ранней формы дифференциального и интегрального исчислений) сложились у Ньютона под влиянием трудов П. Ферма, Д. Валлиса и его учителя И. Барроу в 1665–66. К этому времени относится открытие Ньютоном взаимно обратного характера операций дифференцирования и интегрирования и фундаментальные открытия в области бесконечных рядов, в частности индуктивное обобщение так называемой теоремы о биноме Ньютона на случай любого действительного показателя. Вскоре были написаны и основные сочинения Ньютона по анализу, изданные, однако, значительно позднее. Некоторые математические открытия Ньютона получили известность уже в 70-е гг. благодаря его рукописям и переписке.

В понятиях и терминологии метода флюксий с полной отчетливостью отразилась глубокая связь математических и механических исследований ученого. Понятие непрерывной математической величины Ньютон вводит как абстракцию от различных видов непрерывного механического движения. Линии производятся движением точек, поверхности – движением линий, тела – поверхностей, углы – вращением сторон и т.д. Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Общим аргументом флюент является «абсолютное время», к которому отнесены прочие, зависимые переменные. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – «моментами» (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределенного интеграла).

В сочинении «Анализ при помощи уравнений с бесконечным числом членов» (1669) Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. Различные рациональные, дробно-рациональные, иррациональные и некоторые трансцендентные функции (логарифмическую, показательную, синус, косинус, арксинус) Ньютон выражал с помощью бесконечных степенных рядов. В этом же труде Ньютон изложил метод численного решения алгебраических уравнений, а также метод для нахождения разложения неявных функций в ряд по дробным степеням аргумента. Метод вычисления и изучения функций их приближением бесконечными рядами приобрел огромное значение для всего анализа и его приложений.

Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» (1670–1671, опубл. 1736). Здесь Ньютон формулирует две основные взаимно обратные задачи анализа:

• определение скорости движения в данный момент времени по известному пути, или определение соотношения между флюксиями по данному соотношению между флюентами (задача дифференцирования),
• определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения, или определение соотношения между флюентами по данному соотношению между флюксиями (задача интегрирования дифференциального уравнения и, в частности, отыскания первообразных).

Метод флюксий применяется здесь к большому числу геометрических вопросов (задачи на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.); здесь же выражается в элементарных функциях ряд интегралов от функций, содержащих квадратный корень из квадратичного трехчлена. Большое внимание уделено в «Методе флюксий» интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, причем основную роль играет представление решения в виде бесконечного степенного ряда. Ньютону принадлежит также решение некоторых задач вариационного исчисления.

Во введении к «Рассуждению о квадратуре кривых» (1665–70) и в «Началах» он намечает программу построения метода флюксий на основе учения о пределе, о «последних отношениях исчезающих величин» или «первых отношениях зарождающихся величин», не давая, впрочем, формального определения предела и рассматривая его как первоначальное.

В «Методе разностей» (1711) Ньютон дал решение задачи о проведении через n + 1 данные точки с равноотстоящими или неравноотстоящими абсциссами параболической кривой n-го порядка и предложил интерполяционную формулу, носящую его имя, а в «Началах» дал теорию конических сечений. В «Перечислении кривых третьего порядка» (1704) приводится классификация этих кривых, сообщаются понятия диаметра и центра, указываются способы построения кривых второго и третьего порядка по различным условиям. Этот труд сыграл большую роль в развитии аналитической и отчасти проективной геометрии. Во «Всеобщей арифметике» (1707) содержатся важные теоремы о симметрических функциях корней алгебраических уравнений, об отделении корней, о приводимости уравнений и др. Алгебра окончательно освобождается у Ньютона от геометрической формы, и его определение числа не как собрания единиц, а как отношения длины любого отрезка к отрезку, принятому за единицу, явилось важным этапом в развитии учения о действительном числе.

Созданная Ньютоном теория движения небесных тел, основанная на законе всемирного тяготения, была признана крупнейшими английским учеными того времени и резко отрицательно встречена на европейском континенте. Противниками взглядов Ньютона (в частности, в вопросе о тяготении) были картезианцы, воззрения которых господствовали в Европе (в особенности во Франции) в первой половине XVIII в. Убедительным доводом в пользу теории Ньютона явилось обнаружение рассчитанной им приплюснутости земного шара у полюсов вместо выпуклостей, ожидавшихся по учению Декарта. Успехи теории Ньютона в решении задач небесной механики увенчались открытием планеты Нептун (1846), основанном на расчетах возмущений орбиты Урана (У. Леверье и Дж. Адамс).

Вопрос о природе тяготения во времена Ньютона сводился в сущности к проблеме взаимодействия, т. е. наличия или отсутствия материального посредника в явлении взаимного притяжения масс. Не признавая картезианских воззрений на природу тяготения, Ньютон, однако, уклонился от каких-либо объяснений, считая, что для них нет достаточных научно-теоретических и опытных оснований. После его смерти возникло научно-философское направление, получившее название ньютонианства, наиболее характерной чертой которого была абсолютизация и развитие высказывания Ньютона: «гипотез не измышляю» («hypotheses non fingo») и призыв к феноменологическому изучению явлений при игнорировании фундаментальных научных гипотез.

Могучий аппарат ньютоновской механики, его универсальность и способность объяснить и описать широчайший круг явлений природы, особенно астрономических, оказали огромное влияние на многие области физики и химии. Ньютон писал, что было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, и при объяснении некоторых оптических и химических явлений сам использовал механической модели. Влияние взглядов Ньютона на дальнейшее развитие науки огромно. «Ньютон заставил физику мыслить по-своему, «классически», как мы выражаемся теперь... Можно утверждать, что на всей физике лежал индивидуальный отпечаток его мысли; без Ньютона наука развивалась бы иначе» (Сергей Вавилов, 1961).

Материалистические естественнонаучные воззрения совмещались у Ньютона с религиозностью. К концу жизни он написал сочинение о пророке Данииле и толкование Апокалипсиса. Однако ученый четко отделял науку от религии. «Ньютон оставил Ему (Богу) еще «первый толчок», но запретил всякое дальнейшее вмешательство в свою солнечную систему» (Ф. Энгельс).

На русский язык переведены все основные работы Ньютона; большая заслуга в этом принадлежит А. Крылову и С. Вавилову.

Исчисление бесконечно малых Ньютона

Уже в рукописях 1664—1666 гг. метод флюксий Ньютона выступил со всеми своими главными особенностями, а именно как алгоритм, основанный на:

1.  дифференцировании (прежде всего степенной функции),
2. понимании интегрирования как действия, обратного дифференцированию, и
3. разложении функций в степенные ряды.

Именно применение степенных рядов и твердая уверенность в том, что любая функция может быть представлена таким рядом, сообщали в глазах Ньютона (так же как Лейбница) его методу характер универсального оперативного исчисления, наподобие алгебраического. Аналогию с алгеброй Ньютон особенно подчеркивал и ею оправдывал употребление самого слова «анализ», которое Виет ранее применил к алгебре. «Все, чего обычный анализ достигает (когда это возможно) при помощи уравнений с конечным числом членов, здесь всегда достигается при помощи бесконечных уравнений. И я не колеблюсь употреблять и здесь термин: анализ. Действительно, рассуждения в нем не менее достоверны, чем в первом, и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все их члены так, чтобы точно узнать из них искомые величины». В другом месте он сравнивал степенные ряды и их роль в инфинитезимальном анализе с десятичными дробями и их ролью в арифметике и алгебре: «И так же, как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения (дроби с составным знаменателем, корни составных величин или неявных уравнений и т. д.) можно с их помощью привести к роду простых количеств; именно... к бесконечному ряду дробей, у которых числители и знаменатели суть простые члены, и, таким образом, с небольшой затратой сил удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми». Не удивительно, что в своих трудах по анализу Ньютон уделял столь важное место приближенному решению уравнений, особенно методу параллелограмма.

Разложения в бесконечные ряды

Одним из первых открытий Ньютона в учении о рядах явилось разложение степени бинома, найденное зимой 1664/65 г. О нем Ньютон довольно подробно рассказал во втором письме к Ольденбургу для Лейбница от 24 октября 1676 г. Изучая «Арифметику бесконечных» Валлиса, Ньютон также занялся интерполированием площадей   кривых

y = (1 - x2)n/2,

но только, в отличие от своего предшественника, который рассматривал последовательности, соответствующие интегралам с постоянными пределами 0 и 1, он проинтерполировал последовательность интегралов  с переменным верхним пределом х для п = 0, 2, 4, 6, т. е. последовательность

x,, , , …

Обнаружив здесь, что коэффициенты вторых членов      следуют в арифметической прогрессии, а также общий закон образования коэффициентов (именно, знаменатели следуют в арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7,…, а числители получаются при последовательном перемножении чисел последовательности  , …   где m – числитель второго коэффициента), он распространил его на нечетные значения п = 1, 3, 5,..., а от этого перешел к интерполированию самой функции

y = (1 - x2)n/2,

и затем

y = (1 – x2)m,

при любом т. Так был установлен общий мультипликативный закон коэффициентов биномиального разложения для любого действительного показателя

В XVIII в. было предложено немало доказательств формулы бинома Ньютона, иногда весьма интересных по идее, но неполноценных, так как оставлялась в стороне проблема сходимости. Полное исследование условий сходимости биномиального ряда в комплексной области дал Н. Г. Абель (1826).

В «Анализе с помощью уравнений» обобщенной формулой бинома Ньютон не воспользовался и здесь производил разложения в ряды при помощи формально-алгебраических операции: неограниченного деления многочлена на многочлен, в частности ряда на ряд, и извлечения корней. Например, спрямление дуги эллипса, приведенное к интегрированию функции            , он произвел, разложив сначала в ряды оба квадратных корня, затем поделив числитель на знаменатель и, наконец, почленно проинтегрировав частное. Так в форме бесконечного ряда был впервые выражен эллиптический интеграл

Располагая разложением величины у в ряд по степеням х, Ньютон умел обратить ряд, т. е. найти разложение х по степеням у. Комбинирование этих и некоторых других приемов доставляло новые разложения.

Рассмотрим один пример из того же «Анализа с помощью уравнений». Прежде всего из характеристического треугольника для окружности   у2 = 1 – х2   длина   дуги s = arcsin х  выражается  интегралом

 так что          

или          

Обращение ряда, т. е. разложение х = sin s, производится на основе метода неопределенных коэффициентов в соединении с методом последовательных приближений. Берется такое же число членов данного ряда, сколько хотят найти в обращенном, скажем три:

и полагается

х = Asα + р,

причем р предполагается выраженным через высшие степени s. Тогда показатель α подбирается так, чтобы после подстановки х в первое уравнение получились по крайней мере два члена одинаковой степени, низшей, чем остальные, а коэффициент А так, чтобы эти члены взаимно уничтожились. В данном случае, очевидно, α = 1 и А = 1, и при подстановке получим

Если теперь положить

р = Bsβ +q,

то из тех же соображений определяется β = 3 и В = - 1/6 и второе уравнение перейдет в такое:

Далее можно аналогично взять q =Csγ + r и т. д. и в конце концов возникает степенной ряд для синуса:

или

Это тот же процесс, который привел Ньютона к методу параллелограмма и который был обобщением его приема численного решения алгебраических уравнений.

После этого по формуле

Ньютон получил ряд

Обращая ряд для

Ньютон выразил показательную функцию

впрочем, он не употреблял еще символа ех.

Во втором письме к Ольденбургу для Лейбница Ньютон привел формулы обращения рядов с буквенными коэффициентами. Если

y=ax+bx2+cx2+dx4+…,

то

Если же

y=ax+bx3+cx5+dx7+…,

то

Ньютон проявляет заботу о сходимости получаемых разложений. Он даже пытается доказать, что при достаточно малом х разность между корнем уравнения (в том числе с бесконечным числом членов) и его последовательными приближениями, т. е. величина, которую он обозначает последовательно р, q, r,…, всегда становится меньше всякой данной величины и, как он выражается, совершенно исчезает при бесконечном продолжении действия. Приводимые им соображения недостаточны. Сначала он рассматривает бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем х ≤ 1/2, затем указывает, что в других случаях числовые коэффициенты рядов по большей части непрестанно убывают, а к этому добавляет: «В случае же, если бы они начали возрастать, достаточно предположить х еще в несколько раз меньше».

Флюенты, флюксии и моменты

Простая в своих принципах структура исчисления бесконечно малых Ньютона отчетливо выражена в «Анализе с помощью уравнений». В этом труде приведены всего три правила. Первое правило имеет предметом квадратуру простых кривых: если у = аxm/п, где т,n - целые числа, то площадь есть  . При m/n > 0 имеется в виду квадратура площади от начала координат до ординаты точки (х, у), т. е. наш интеграл  с переменным верхним пределом. При m/n < -1  (примеры у = х2 и у = х-3/2) имеется в виду квадратура пространства между кривой и осью абсцисс (асимптотой) справа от ординаты точки (х, y), т. е. наш несобственный интеграл ; однако, так как Ньютон вычисляет в действительности только первообразную функцию (в его примерах –x-1 и -2x-1/2), то площадь при вычислении получается отрицательной. Наконец, в случае т/п = - 1 имеется в виду любая неограниченная часть площади между гиперболой и асимптотой, и этим объясняется результат . Примеров, в которых -1 < m/n < 0, здесь нет.

Второе правило относится к квадратуре «сложных кривых с помощью простых» и выражает аддитивное свойство интеграла в конкретном случае суммы нескольких степенных функций. Специально указано, что площади, лежащие под осью абсцисс, выражаются отрицательными числами.

Последнее, третье, правило служит для квадратуры всех остальных алгебраических кривых, для чего их ординаты выражаются суммами бесконечных степенных рядов, «причем действовать над буквами следует совершенно таким же образом, как действуют в арифметике, когда делят, извлекают корни или решают уравнения, пользуясь десятичными дробями».

Метод квадратур, разработанный для алгебраических кривых, переносится и на трансцендентные, - Ньютон вслед за Декартом   говорит о геометрических и механических линиях. Ньютон еще производит спрямление дуги квадратрисы и заключает: «И я не знаю случаев такого рода, на которые не распространяется этот метод в его различных выражениях».

Доказательство первого правила, имеет чисто инфинитезимальный характер. Оно опирается на понятие «момента» величины, как ее бесконечно малого приращения, причем по моменту можно определить и саму величину. Доказательство ведется параллельно в аналитическом и геометрическом плане. Именно, устанавливается, что ордината BD = у кривой ADδ с площадью

есть у = ахт/п (т/п—рациональная дробь). Пусть x возрастает на  бесконечно убывающий или исчезающий момент Вβ = о, тогда площадь увеличивается па величину BDδβ или на прямоугольник BKHβ =  ov, где v - некоторая промежуточная ордината кривой. Обозначив па/(т+ и) = с и т + n = р, Ньютон переписывает выражение для площади в виде zn = cnxp и подставляет в него z +ov, х + о. Затем он опускает в равенстве zn + novzn-1 +… = cn (xp + poxp-1 + …)   члены,   обозначенные многоточием, «которые в конце концов исчезают», отбрасывает равные zn и сnхр, делит на о и, заменив v равным ему (при   исчезании о)у, получает у = ахm/п. «Поэтому и обратно, - заключает он, -  если аxm/n = y, то . Что и требовалось доказать». Так впервые был предложен аналитический вывод значения интеграла  при k ≠ -1 посредством дифференцирования степенной функции. Параллельное геометрическое рассуждение, не связанное с частным видом уравнения кривой ADδ, содержит доказательство с помощью дифференцирования общей теоремы: площадь криволинейной трапеции есть интеграл функции, выражающей ординату кривой, по абсциссе.

Все это было совершенно новым в то время, и значение вывода Ньютона не умаляется ни тем, что он ограничился степенной функцией с рациональным показателем, ни тем, что здесь еще не был поставлен вопрос об объеме класса первообразных функций данной функции, т. е. о постоянной интегрирования.

Аналитической формулы, которую теперь называют по имени Ньютона и Лейбница, т. е. формулы, выражающей определенный интеграл через разность значений первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования, не было ни у того, ни у другого ученого. Она появляется только в XVIII в., причем в учебном руководстве лишь во втором томе «Трактата по дифференциальному и интегральному исчислению»  профессора Политехнической школы в Париже С.-Ф. Лакруа. Но по существу правило, выражаемое формулой Ньютона - Лейбница, было хорошо известно им обоим. Ньютон его высказал в геометрической форме вполне отчетливо, хотя и мимоходом, в одном примере «Метода флюксий и бесконечных рядов».

«Для получения должного значения площади, прилежащей к некоторой части абсциссы, - писал он, - эту площадь всегда следует брать равной разности значений z, соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

Из трех основных понятий исчисления бесконечно малых - интеграла, дифференциала и производной - в «Анализе с помощью уравнений» явно выделено только одно - соответствующий дифференциалу момент, понимаемый как бесконечно малая, исчезающая или же неделимая величина, например, как ордината, описывающая своим движением площадь.

В «Методе флюксий и бесконечных рядов» исчисление Ньютона получило гораздо более полное развитие, причем основные понятия и задачи формулируются в механических или квазимеханических терминах. Подобно тому как геометрия в глазах Ньютона была частью общей механики, имеющей дело с точными измерениями, так и новый анализ он трактовал, по сути дела, как часть общей механики, рассматривающую движение в его наиболее абстрактном выражении. Прежде всего в терминах механики формулируются две проблемы, к которым можно свести все   задачи  анализа:

«I. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время.

II. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути».

Для такого сведения все величины рассматриваются, подобно пути, как порождаемые в процессе непрерывного роста или убывания. Они называются флюентами, т. е. текущими величинами, причем их универсальным аргументом является время. Под «временем» здесь понимается, впрочем, не время как таковое, а любая величина, равномерное течение которой выражает и измеряет настоящее время. Флюенты тут же выступают не просто как функции «времени», но в своих взаимоотношениях со скоростями своего изменения, или флюксиями. Таким образом, двумя центральными понятиями анализа окапываются взаимно обратные понятия первообразной и производной функции.

Для исчисления флюксий Ньютон ввел специальную символику, обозначая их с помощью точек над буквами, выражающими флюенты, так что

где t - «время», и т.п. Однако такие обозначения Ньютон начал употреблять лишь четверть века спустя после открытия самого метода флюксий (с конца 1691 г.)и, например, в его собственной рукописи «Метода флюксий» скорости изменения величин v, x, у, z обозначаются новыми буквами l, т, п, r.

Две главные проблемы анализа в терминах метода флюксий гласят:

«1. По данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями». Это задача дифференцирования функции нескольких переменных, зависящих от «времени».

«2. По данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами». Это задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.

В «Методе флюксий и бесконечных рядов» находят применение неограниченно малые моменты текущих величии, которые, как указывает Ньютон, пропорциональны их флюксиям, так что моменты величин х, у, z, ... будут соответственно , где о - момент времени. Оперируя моментами точно так же, как в «Анализе с помощью уравнений», Ньютон на примерах учит дифференцированию целых многочленов от двух или большего числа переменных f(х, у, z, ...)=0, получая при этом для флюксий соотношения, которые можно записать в виде

Это уравнение формально полностью соответствует уравнению в дифференциалах

Ньютон не сформулировал в своем главном труде по теории флюксий даже правила дифференцирования произведения.

Метод пределов Ньютона

В XVII в., да и в XVIII в. связь и различие между понятиями приращения и дифференциала функции были далеки от ясности. Долгое время бесконечно малое приращение функции и дифференциал отождествляли и во всех предыдущих рассмотрениях момент Ньютона выступал именно как бесконечно малое изменение флюенты. Во «Введении» Ньютон пишет, что флюксии относятся «почти как приращения флюент, произведенные в равные и крайне малые частицы времени, и, точнее говоря, находятся в первом отношении зарождающихся приращений».

Представляя себе флюенты разложенными в ряды по степеням приращения аргумента, Ньютон говорит, что их последовательные «флюксии находятся в том же отношении, что и члены (т. е. коэффициенты членов) бесконечных сходящихся рядов». Свое утверждение Ньютон поясняет только примером, разложения f(х)=     хn:

Член поxn-1 он называет первым приращением, или первой разностью флюенты, «которой при ее зарождении пропорциональна первая флюксия». А так как этот же член есть момент данной флюенты (правда, здесь Ньютон этот термин не употребляет), то первый дифференциал функции df (х) выступает теперь как главная линейная часть ее полного - конечного или бесконечно малого - приращения Δf (х) = f(х + о) - f (x). Впрочем эта идея не нашла у Ньютона дальнейшего развития. Последующие члены разложения Ньютон именует вторым, третьим и т. д. приращениями, или разностями, флюенты, заявляя, что вторая флюксия пропорциональна второму приращению, третья — третьему (при их зарождении) и т. д. Если записать разложение f (х + о) в виде

f(x + о) = f(х) + С1o + C2o2 + С3о3 +…,

то утверждение Ньютона, что флюксии второго и высших порядков пропорциональны соответствующим «приращениям», «верно в том смысле, что в равенствах

коэффициенты

не зависят от вида функции f(х)». Ньютоновы «приращения» выражаются через наши дифференциалы, если положить о = dx, равенствами

Метод первых и последних отношений привлек к себе пристальное внимание всех, кто занимался затем обоснованием математического анализа. Плодотворность замысла Ньютона создать общую теорию предельных переходов, включающую операции над исчезающими величинами, на основании понятия предела была подтверждена последующим развитием анализа. Но выяснилось это далеко не сразу. Сам Ньютон сделал в этом направлении только первые шаги. В его рассуждениях место математической аргументации нередко занимало обращение к механической «наглядности», не было определено понятие предела и остались без рассмотрения многие основные свойства пределов и действий с ними. Концепция бесконечно малых величин не была однозначной и ясной. Самое разнообразие формулировок, иногда в одном и том же труде, показывает, что Ньютон оставался ими неудовлетворен. В XVIII в. теория пределов Ньютона нашла и резких критиков, считавших ее логически несостоятельной, и комментаторов, споривших о смысле отдельных ее положений, и узких адептов, требовавших полного отказа от инфииитезимальных приемов, и таких сторонников, которые развивали теорию далее в подлинно ньютоновском духе. Только в 20-х годах XIX в. Коши положил начало тому глубокому и плодотворному синтезу идей Ньютона и Лейбница, который до сих пор продолжает лежать в основании математического анализа.

«Перечисление кривых третьего порядка»  Ньютона

Во второй половине 60-х гг. XVII в. Ньютон присоединил к аналитической геометрии конических сечений новую обширную область кривых 3-го порядка, лишь отдельные примеры которых были известны ранее. Свое «Перечисление кривых третьего порядка» Ньютон опубликовал вместе с «Оптикой» много позднее (Лондон. 1704), однако все главные результаты, содержащиеся в «Перечислении», он довольно подробно изложил еще в рукописях 1667 или 1668 гг., а часть их получил даже в конце 1664 г.

Кривые третьего порядка, согласно Ньютону, могут быть приведены к четырем основным типам, в свою очередь подразделяющимся на 72 вида. Эти четыре типа имеют уравнения

ху2 + су = Р,   ху = Р,   у2 = Р и у = Р,

где

Р = ах3 + bх2 + сх + d

и вид кривой оказывается зависящим от характера корней уравнения Р = 0, а в случае первого типа и корней уравнения

Список литературы

1. История математики с древнейших времен до наших дней, под ред Юникевича, 3т.
2. Интернет