Презентация к урокам "Решение квадратных уравнений" по алгебре 8 класса.
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Слайд 1

Решение квадратных уравнений. Учитель математики Аксайского казачьего кадетского корпуса Хачатурова Т.Ф.

Слайд 2

Цели урока: Развивать математическую речь, мышление и память; Расширить знания по данной теме, рассмотрев различные способы решения квадратных уравнений; Углубить знания, путём рассмотрения нестандартных задач.

Слайд 3

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер

Слайд 4

Во глубь веков Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений. Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе. Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х 2 = 16, мы получаем два числа: 4, –4.

Слайд 5

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

Слайд 6

Диофантовы уравнения Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Слайд 8

В Древней индии Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате « Ариа-бхатиам », составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой . Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах 2 + bх = с. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Слайд 9

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары : Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась. А двенадцать по лианам... стали прыгать, повисая... Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

Слайд 10

В Древней Азии Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми . Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы .

Слайд 11

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем. . Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

Слайд 12

Квадратное уравнение Квадратным уравнением называется уравнение вида a x 2 + b x+ c =0 , где a, b, с  R (a  0). Числа a, b, с носят следующие названия: a - первый коэффициент , b - второй коэффициент , с - свободный член.

Слайд 13

Задание

Слайд 14

Виды квадратных уравнений

Слайд 15

Решение неполных квадратных уравнений

Слайд 16

Примеры решения неполных квадратных уравнений 6 x 2 = 0 , 2 x 2 - 9 x = 0 х =0. х(2х – 9) = 0 Ответ: х=0 х =0 или 2х – 9 = 0 2х = 9 х = 9 : 2 х = 4,5 Ответ: х =0, х = 4,5

Слайд 17

Примеры решения неполных квадратных уравнений - 2 x 2 + 32 =0 , - 2 x 2 = - 32

Слайд 18

Решение квадратных уравнений по формуле a x 2 + b x+ c =0 Выписать: а =…, в =…, с =… Найдите дискриминант по формуле: Д = в 2 – 4ас Если: Д < 0, корней нет Д = 0, один корень Д > 0, два корня Найдите корни по формуле

Слайд 19

РЕШИТЕ УСТНО:  ). x²=0 ,  ). 4x²=0 , ). 3 x²+12=0 , ). 7 x²-3x=0 , ). - x² + 7=0 . ОТВЕТЫ : 1) нет решений ; 2) x 1 =1 , x 2 =- 7 ; 3) x 1 =- 1 , x 2 = 10 ; 4) x= 0 ; 5) x 1,2 =±√7 ; 6) x 1 = 0 , x 2 = 3/7 ; 7) x= 0 .

Слайд 20

Пример решения квадратного уравнения по формуле 2x 2 – 5 x + 2 = 0, а = 2, в = -5, с = 2 Д = в 2 – 4ас Д = (-5) 2 – 4*2*2 =25 – 16= 9

Слайд 21

Решите уравнения 3х 2 + х – 4 = 0; 10х 2 – 11х + 3 = 0; 5х 2 – 11х + 6 = 0; 3х 2 + 11х + 6 = 0; 2х 2 + х – 10 = 0; 4х 2 + 12х + 5 = 0; 6х 2 + 5х - 6 = 0.

Слайд 22

О теореме Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD , то А равно В и равно D » . Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х ), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает : Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна - p , а произведение равно q , то есть x 1 + x 2 = - p , x 1 x 2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Слайд 23

О теореме Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD , то А равно В и равно D » . Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х ), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает : Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна - p , а произведение равно q , то есть x 1 + x 2 = - p , x 1 x 2 = q (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Слайд 24

x 1 и х 2 – корни уравнения Решение уравнений с помощью теоремы Виета Х 2 + 3Х – 10 = 0 Х 1 · Х 2 = – 10, значит корни имеют разные знаки Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю корень - отрицательный Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2 Например :

Слайд 25

Решите уравнения х 2 – 2х – 15 = 0; х 2 + 2х – 8 = 0; х 2 + 10х + 9 = 0; х 2 – 12х + 35 = 0;

Слайд 26

Если в квадратном уравнении a+b+c =0 , то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен Если в квадратном уравнении a+c =b , то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен Пример : Свойства коэффициентов квадратного уравнения 137 х 2 + 20 х – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = -157. a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0. x 1 = 1, Ответ : 1;

Слайд 27

Второй коэффициент - четный

Слайд 28

Решим уравнение: х 2 + 6х - 7 = 0. х 2 + 6х -7 = 0. ( х +3) 2 – 16 = 0. ( х +3) 2 = 16. х + 3 = 4; х + 3 = -4. х = 1, х =-7. Ответ: 1; -7. Метод выделения полного квадрата (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Слайд 29

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы : 1 вариант: а) -7х + 5х 2 + 1 =0 б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5) 2 вариант: а) 2х 2 + 5х -7 = 0 б) –х 2 = 5х - 14 3 вариант: а) х 2 – 8х + 7 = 0 б) 6х – 9 = х 2

Слайд 30

Я желаю всем удачи! Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач.