"Уравнения и способы их решения", 9 класс
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Элективный курс

 Уравнения и способы их решения

Автор:

                                                                   учитель математики

                                               МБОУ «Красноармейская

               средняя

                                                                   общеобразовательная школа»                  

                                                                   Красноармейского района ЧР

                                                     Андреева Рена Валерьяновна

Пояснительная записка

            Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике  - выявление средствами предмета «Математика» направленности личности, её профессиональных интересов. В связи с потребностью подготовки обучающихся к сдаче ГИА повышаются требования к учащимся 9 класса. Для того, чтобы заинтересовать их математикой, углубить и расширить у них  знания, решая нестандартные задачи, считаю целесообразным включение предметно-ориентированного элективного  курса «Уравнения и способы их решения».

          Умение решать различные виды уравнений необходимо показать при сдаче ГИА по математике,   т.е. при поступлении в ВУЗы и техникумы.  Данный элективный курс является развитием ранее приобретённых знаний при решении различного вида уравнений. Здесь рассматриваются различные способы решения уравнений. Процесс обучения строится на следующих методических принципах: регулярности, параллельности, опережающей сложности, смены приоритетов, вариативности, самоконтроля, быстрого повторения,  моделирования ситуаций. Теоретические основы большинства тем относятся к программе основной школы. Однако глубина их проработки, идейная насыщенность задач и уравнений предполагают более высокий уровень развития учеников, чем тот, которого достигают школьники по окончании основной школы.

         В технологии проведения занятий предусмотрены  этапы изучения теории, решения практических задач, исследовательских работ, проведения обучающих самостоятельных работ, задания для самопроверки обучающихся и степени усвоения данного курса.

        Уравнения и  задачи данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию обучающихся и проверить свои способности к математике.

Цель элективного курса:

 научить обучающихся решать уравнения различными способами.

Задачи:

•  вызвать интерес у обучающихся к изучению математики;

• создать целостное представление о теме и значительно расширить  спектр задач,    посильных для учащихся;

•  сформировать умения и навыки решения уравнений разных типов;

•  рассмотреть различные способы их решения;

• развивать исследовательскую и познавательную деятельность обучающихся;

•  создать культуру труда и умение самостоятельно применять полученные знания.

Учебно – тематический план

(1ч в неделю, всего 16 ч)

Содержание программы

Дидактические материалы к элективному курсу

«Уравнения и способы их решения»

1. Вводное занятие Решение линейных уравнений. Решение квадратных уравнений различными способами

Методы решения уравнений.

• уравнение 1 степени: ах + в=0
• уравнение 2 степени: ах2 + вх + с =0
• уравнение 3 и 4 степени:

а) метод разложения на множители;

б) метод введения новой переменной;

в) рассмотри уравнение, как квадратное;

г) графический метод.

Перед нами стоит задача: рассмотреть методы решения уравнений 3 и 4-й степени.

Рассмотрим уравнения:

1. Любое уравнение первой степени можно привести к виду ах + в=0, , где х  – переменная,   а и в– числа, причем .

Значит:

Уравнение имеет 1 корень.

2. Любое уравнение 2-ой  степени можно привести к виду ах2 + вх + с =0 , где х  – переменная,  а,в,с – числа, . Это хорошо известное нам квадратное уравнение. Мы знаем, что корни  этого уравнения можно вычислить по формуле

Т.о. уравнения  2-й степени мы можем решать с помощью формул, используя теорему Виета  и свойства коэффициентов.

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Метод введения новой переменной. Биквадратные уравнения. Решение уравнений 3-й и 4-й степей.

 Любое уравнение 3-й степени мы можем привести к виду: ax3 + bx2  + cx + d = 0

 Уравнение 4-й степени – к виду:  ax4 + bx3  + cx2 + dx + e = 0

Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они очень сложные, а вот для уравнений 5 и 6 степени таких формул вообще не существует. Поэтому встает вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул корней.

Попытаемся найти эти “ключики” к решению.

а) Рассмотрим уравнение  x3 – 36x =0

Как бы вы начали решать это уравнение?

Разложить многочлен в левой части на множители x(x - 6)(x + 6) = 0

Произведение = 0, если хотя бы один из множителей = 0, т.е.

х = 0 или х – 6 = 0 или х + 6 = 0  

Значит, уравнение имеет 3 корня: -6; 0; 6.

А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение: х3 – 8х2 – х + 8 = 0

В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.

х1 = -1   х2 = 1  х3 = -8

Ответ: –1; 1; 8.

Как же можно назвать метод решения этих уравнений?

(Метод разложения на множители)

б) Дано уравнение:

Ваши предложения по его решению?

 (Предлагают раскрыть скобки).

Найти решение такого уравнения довольно сложно.

Каковы особенности данного уравнения?

Выражение х2 – 5х  встречается в уравнении дважды: во 2-й и 1-й степени, т.е. уравнение похоже на квадратное

Обозначим: х2 – 5х = у

Получим новое уравнение:

То выражение  может принимать значения 36 или –6.

  х2 – 5х = 36                 х2 – 5х = - 6      

х1 = 9    х2 = - 4             х3  = 2      х4  = 3

Значит, исходное уравнение имеет четыре корня: – 4; 2; 3; 9.

(Что мы сделали для решения?)

(Ввели новую переменную).

Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.

Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.

Решить уравнения, сводящиеся к квадратным:

1. (х2 + 3)2- 11(х2 + 3) + 28 = 0

2. (х2 – 2х - 1)2 + 3х2 – 6х -13= 0

3. (х2 + х - 1) (х2 + х + 2) = 40

4. 4(х2 - х)2  + 9(х2 - х) + 2 = 0

Введение новой переменной позволяет решать и биквадратные уравнения вида

ах4 + вх2 + с =0

Например:

Или другой пример:

– уравнение корней не имеет.

3. Графическое решение уравнений

в) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.

И тогда на помощь приходят графики.

Рассмотрим уравнение

В правой части хорошо знакомая квадратичная функция; слева – функция вида у = ах3, графики которой умеем строить.

Решить уравнение, значит,  найти такие значения x, при которых значения этих функций будут равны, т.е. нужно найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

Графики имеют одну точку пересечения, значит,  уравнение имеет один корень.

Графический способ позволяет найти приближенные значения корней.

4.  Решение дробно – рациональных уравнений

Работа по группам:

Проконтролировать умение учащихся решать дробно-рациональные уравнения с разными знаменателями, требующими разложения на множители.

5. Решение уравнений, содержащих знак модуля

Уравнения вида | f(x)| = b, bR

При b<0 решений нет,

При b=0 имеем f(x)=0,

При b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно совокупности двух уравнений

Пример: | х-5 | =2  

     откуда х = 7 и х = 3.

Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так:

  |  х – 5 |= 2

Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 2 равно 5. Откладываем на числовой прямой от точки 2 отрезок длиной 5 (в обе стороны)

Получим ответ: 7 и 3.

Упражнения.Решить уравнения:  1). | 8х+5|=10                         3). | х2  -5х +3|=1

                                   2). | 3х+2|=4                            4).  |х2-7х+9 |=3

                                    Уравнение вида f(| x| )=g(x), где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения

Уравнение равносильно совокупности систем: и  

Пример: решить уравнение  х2 + | х | -6 =0

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

и

Уравнение имеет два решения: -3 и 2.

Решением уравнения являются числа 3 и –2.

Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2.

Решением второй системы совокупности есть число –2.

Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2.

Замечание:

Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного.

Пусть | х| =t, тогда и уравнение можно записать так:

Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2.

Берем только 2. Имеем | х| =2, т.е. х=.

Уравнение вида | f(x)| =g(x)

Уравнение равносильно совокупности систем: и  g(х)≥0

Пример: | 2х-5| =х-1

и

и

и

Числа х=4 и х=2 удовлетворяют данному уравнению.

Пример: | х3+3х2 +х|=-х+х3

Решение. Решим уравнения  х3+3х2 +х=-х+х3  и х3+3х2 +х=х –х3.  Первое из них имеет корни  - 2/3 и 0, а второе 0  и  -3/2. Легко  видеть, что условие х3 – х ≥ 0выолняется только при х = 0 и при х = -2/3. Следовательно,  -2/3 и 0 корни исходного уравнения.

Упражнения.

Решить уравнения:  1). | 8х+5|+2х=4х                 3). | х2  -3х|= х 2 -2х

                                   2). | 3х+2|=4х -2                  4).  |3х2  -5х - 8| =3х +8

Уравнение вида ׀ƒ1(х)׀+ ׀ƒ2(х)׀ + ׀ƒn(х)׀… + =g(х)

Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к совокупности систем, не содержащих знак модуля.

Пример: | 2х-3| +| х-3| =| 4х-1|

2х-3=0, х=1,5,          х – 3 = 0    х = 3

х-3=0, х=3,

4х-1=0, х=0,25

Вся числовая прямая разбивается на четыре промежутка.

х = -5

2) х = 1

3) Нет решений

4) Нет решений

Ответ: -5 и 1.

Пример: | | х-1| +2| =1

Можно при решении данного уравнения ввести вспомогательную переменную | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так:

Получаем:

Данные уравнения решения не имеют, т.к. модуль числа неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:  1). | х+2| + |х - 2| =6         3). | х+3| - | х -3| =6      

                                   2). | х+ 1| -|х - 3| =2          4).  |х2 -9| +|х - 2| = 5

                                    5). |х - 2|+2 |х-4|=3х-10

Литература:

1.Сидоров Н. Н. «Модуль числа. Уравнения и неравенства». Чебоксары.

1998 г. Учебное пособие для учащихся 8-11 классов альтернативных школ.

2. Алимов Ш. А. «Алгебра 7», «Алгебра8»,«Алгебра 9».Москва.

«Просвещение». 2009 г.

3. Алгебра. Готовимся к ГИА.  Подготовка к итоговой аттестации. Под ред. Ф. Ф. Лысенко. Издательство «Легион». 2013 г.