"Типы логарифмических уравнений и способы их решения"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Типы логарифмических уравнений и способы их решения.

1. Решение  уравнений , используя определение логарифма.

Пример №1 .  log2-х= -5       log2-х=-5,                 -х=2-5,                 х= -  132,

                                           -х>0;                                  -х>0;                         х<0.

 Ответ: -  132.

Пример №2.      Log13log2log2log2-  1х=0,

                               log2log2log2-1х=130

                               log2log2-1х=21

                                  log2-1х=22

                                     -1х=24

                                       Х= - 116                              Ответ:  -116.

Пример №3.        4  1log2х=2  ,  22log2х=2 ,  2log2х =1 ,  log2х=2  ,  х=4.

                Ответ:  4

2.  Потенцирование.

Пример .   log2х+log2х+1=log210-6х-log22 ,

                х>0,                                                                          х>0,

                 х+1 >0,                                                       =>          х> -1,

                 10- 6х>0,                                                                  х<53,                            =>

                  log2хх+1=log210-6х2                                 хх+1=10-6х2

0<х<53 ,                                 0<х<53,

1.           Х= 1

х2+4х-5=0;                           х= -5.    Ответ:   1.

3. Уравнение высших степеней относительно логарифма.

Способ решения- замена переменной.

 При решении уравнений этого типа  нужно обратить внимание на :

loga2x3=3logax2=9loga2x

loga3x=logax3=12logax3=18loga3x

Пример №1.

log22x+log2x+1=7log20,5x;

log22x+log2x+1=7log2x-1;

пусть  log2x=y, тогда  y2+y+1=7y-1;  y≠1.

                                                                  y3-1=7 ;    y3=8;  y=2.

                                                                log2x=2;  x=22=4.

Ответ: 4

Пример №2.

logx55-1,25=logx25;

logx532-1,25=logx5122;

32logx5-54=14logx25

logx25-6logx5+5=0;

Пусть logx5=t;

t2-6t+5=0, t=5, t=1.

logx5=5,  x5=5,  x=55

logx5=1,x=5.

4.Уравнения , содержащие неизвестное в основании и показателе степени.

Способ решения- логарифмирование обеих частей уравнения.

f(x)g(x)=1  ; f(x)g(x)=f(x)z(x);

Пример №1.

xx=1,  x>0,  xlgx=lg1;  xlgx=0; lgx=0;x=1.

Пример №2.

xx=x12x;  x>0;  xlgx=12xlgx;  lgxx-12x=0;

lgx=0;  x=1.или  x-12x=0, x=12x, x=14x2,  x=0 , x=4.

Пример №3.

xlgx=10000;  x>0;  lgx∙ lgx=lg10000;  lg2x=4;  

   lgx=2; x=100;

lgx=-2;x=0,01

5.Уравнения, решаемые с помощью дополнительных сведений из теории логарифмов.

1.loga2x+logx2a=1;       x>0,x≠1,a>0,a≠1                    x>0,x≠1,a>0,a≠1

                                                    logax12+logxa12=1                              logax+1logax=2  (1)

Решу уравнение (1):

loga2x-2logax +1=0  

                                                                 Logax-12=0

                                                                     logax=1

                                                                      X=a

Ответ:  x=a, a>0,a≠1.

Пример 2.

      6log62x+xlog6x=12, x>0,  x≠1,  6log6xlog6x+xlog6x=12,  

xlog6x+xlog6x=12,     2xlog6x=12,   xlog6x=6,

Логарифмируя обе части уравнения, получим:

log6x∙log6x=log66,    log6x=1    или  log6x=-1,   x=6 или    x=16

Ответ   x=6 ,    x=16

6. Графический способ решения уравнений.

logafx=g(x)

Строим в одной системе координат   две  функции  
y=logafx,  y=g(x)

Пример 1. Log2x=x-1

Y=Log2x   и  y=x-1

Ответ : х=1,  х=2.

Пример 2. Log22-x=x2+2x.

Решение .

функция  у= Log22-x     ,   у=x2+2x. 

х≈-2,8  , х≈0,4.