Функции в проектах
материал по алгебре (8 класс) по теме

Введение

Функция в проектах

   Эстетический потенциал школьной математики в большой мере проявляется в так называемых красивых заданиях на координатной плоскости, практикуемых главным образом в шестых классах. Они неизменно вызывают интерес у детей среднего школьного возраста, прежде всего потому, что просты по формуле и разнообразны по внешнему , выражению, ведь на рисунках в координатах могут быть изображены не только отдельные объекты, но даже и целые сюжеты.

   Такие задания пробуждают организацию учеников, заставляют воочию увидеть связь красоты и математики, непосредственно соприкоснуться с миром прекрасного.

   Можно существенно расширить вкрапление красивых заданий в учебный процесс, если шире использовать и другие их дидактические возможности.

   Познавательной деятельности учащегося можно придать еще  ещё большую привлекательность, если при выполнении использовать компьютер.

   Предлагаемые упражнения могут служить одним из средств уровневой дифференциации с элементами профилирования. Распределение упражнений по уровням сложности и по прикладной тематике позволит ученику выбрать задания в соответствии со своими способностями и познавательными интересами.

Примеры

   При изучении темы «Координатная плоскость» полезно строить занимательные рисунки по координатам. Ребёнок должен знать, что из абстрактных точек он может получить знакомый рисунок.

Тип задания

   Постройте точки по координатам и соедините их последовательно.

   В процессе изучения темы «Функции» при построении графиков функций на итоговых уроках ученики с удовольствием выполняют задания, в результате которых на координатной плоскости получаются забавные рисунки зверей, цветов и др.

Тип задания

   Постройте графики функции на заданных отрезках.

   Подобные задания помогают тесно сочетать абстрактность теории и наглядность практики, соединять полезное с приятным.

Тип задания

   Графические задания можно с успехом использовать при изучении темы «Площадь криволинейной трапеции». Вместо однообразных упражнений по вычислению интегралов можно предложить учащимся найти площадь какой-нибудь фигуры.

   Предлагаемый подход не претендует на универсальность. Не все  математические понятия можно визуалировать . Тем не менее применение этого подхода  в процессе обучения «дает свои плоды»- уроки математики становятся интересными и красивыми.

   Относительная «новизна» заданий, неожиданная фабула интригуют учащихся, а положительные эмоции включают второе дыхание.

   Имеются широкие возможности для рисования объектов.

   Есть много нетрадиционных задач, которые не вошли в учебники и методические пособия…

   Система задач поможет достигнуть желаемого результата обучения: свободного оперирования координатами точек; умений восстановить систему координат по координатам одной точки; построить линию, проходящую через данные точки; находить на графике точки с указанными координатами; находить множество точек, координаты которых отвечают определенным условиям; видеть математические закономерности в расположении точек кривой и строить линию, аналогичную данной; строить различные занимательные рисунки с помощью графиков; вычислять площади заштрихованных фигур.

Основная часть

«Математические портреты в природе»

   Понятие «функция» является важнейшим в математике, с помощью функции описываются различные явления в процессы: физические, химические, статистические, природные и т.п. Этому понятию уделяется много внимания в школьном курсе алгебры и начал анализа. В частности, вопросом построение и преобразования графиков много внимания уделяется в школьных учебниках.

   График- это наглядное изображение функциональной зависимости, он демонстрирует общий характер поведения функции, вскрывает его особенности.

   Профессор А. Хинчин называл понятие функции не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем стержнем, который проходит «от элементарной арифметики до внешних разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое преподавание… Поэтому, во-первых, что ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин…»

   Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления связаны между собой. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удается убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

   С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Идея зависимости некоторых величин восходит, по-видимому, к древнегреческой науке, Там величины имели геометрическую природу.

Сам термин «функция» возник лишь в 1664 году в работах немецкого учёного Г. Лейбница. Но Лейбниц всё-таки оставался в круге геометрических представлений. Только ученик Лейбница – И. Бернулли дал 1718 году определение функции ,свободное от геометрических образов: «функцией  переменной величины называется количество, образовано каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Гениальный ученик Бернулли – Петербургский академик Леонард Эйлер определяет функцию так: «Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями».

Итак, знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать её разнообразнейшие явления.

«Математическими портретами» закономерности природы служит функция.

В математике всякое правило, устанавливающее соответствие, называется функцией.

Рассмотрим ещё небезынтересный вопрос, не очень сложный. Но и не такой уж простой. Этот вопрос обсуждают персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки».

Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существующие, но тех же пропорций?

Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его увеличился бы в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей не хватило бы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.

Рассуждение вполне строгое и убедительное.

Эту строгость и убедительность ему придало знание двух функциональных зависимостей. Первая – устанавливает соответствие меду размерами подобных тел и их объёмами: объём изменяется, как куб размера. Вторая – связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь изменяется, как квадрат размера. Говоря на языке математики, линейный размер играет роль независимой переменной или аргумента, а объём и площадь являются зависимыми переменными или функциями.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f и когда он появился? Этот символ изобрёл в 1733 году французский математик А. Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Функция, как правило. Описывается словами. Словесное описание – один из способов задания функции, и притом не лучший.

Можно задавать функцию табличным способом. Выписать в ряд или в столбик несколько значений аргумента, а ниже или рядом поместить соответствующие функции.  

   Из истории функций

Слово «Функция» (от латинского functio–совершение, выполнение) Г. Лейбниц употреблял с 1673г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Г. Лейбницем и И. Бернулли.

   Развитие понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика- незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

Литература

   1) Дмитриева, Н. Я. Мы и окружающий мир [Текст]: метод. пояснения к курсу/ Н. Я. Дмитриева, А. Н. Казаков. – М.: Федерал. науч. метод. Центр им.Л. В. Занкова, 2002.

   2) Дмитриева, Н. Я. Мы и окружающий мир [Текст]: учеб. для 1 кл.: в 2 ч / Н. Я. Дмитриева , А. Н. Казаков. - Самара: Корпорация «Федоров»; Изд-во «Учеб. лит- ра», 2005, 48 с.

   3) Коксетер, Г. С. Новые встречи с геометрией [Текст] / Г. С. Коксетер, С. Л. Грейтцер. – М.: наука, 1978.

   4) Предметные недели в школе. Математика [Текст] / сост. Л. В. Гончарова. – Волгоград: Учитель, 2004.

   5) Цукарь, А. Я. Рисуем графиками функций [Текст] /  А. Я. Цукарь // Математика. – 1999. - № 7, 22, 23, 24, 25.

   6) Цукарь, А. Я. Рисуем графиками функций [Текст] /  А. Я. Цукарь // Математика в школе. – 1999.- №4. –С. 80-81.

    7) Шилов, Г.Е. Что такое функция [Текст] /Г.Е. Шилов // Математика в школе. – 2003. - №1. С. 4 – 10.

    8) Я познаю мир [Текст]: Детская энциклопедия. Животные / сост. П.Р. Ляхов. – М.: ООО «Изд-во АСТ – ЛТД», 1998. – 544 с.