«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
материал для подготовки к егэ (гиа, алгебра, 9 класс) по теме

Пояснительная записка

Цель работы:

• систематизация задач по теме «Прогрессия»;
• выделение базовых задач по данной теме;
• разделение задач на 2 уровня – базовый и углубленный, и 3 подуровня – знакомая задача, модифицированная задача и незнакомая задача (составление матрицы МСЗ)
• подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике

Арифметическая и геометрическая прогрессия играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников. Рассматриваемый материал входит как в базовый уровень обучения, так и в углубленный. Задачи и методы их решения, как правило, встречаются при проведении ГИА и ЕГЭ.

Многоуровневая система задач по теме «Прогрессии» поможет старшеклассникам получить более высокий результат при сдаче итоговой аттестации. Задачи подобраны таким образом, что их можно использовать как для индивидуальной, так и для групповой работы.

БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ПРОГРЕССИИ»

БЗ 1. Подведение под понятие арифметической  прогрессии по определению

БЗ 2. Подведение под понятие арифметической прогрессии по характеристическому свойству

БЗ 3. Подведение под понятие геометрической прогрессии по определению

БЗ 4. Подведение под понятие геометрической прогрессии по характеристическому свойству

БЗ5. Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

БЗ 6. Задача на определение взаимосвязи между основными параметрами арифметической прогрессии {an, a1, d, Sn, n}

БЗ 7. Задача на определение взаимосвязи между основными параметрами геометрической прогрессии {bn, b1, q, Sn, n}

БЗ 8. Задача нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии

БЗ 9. Приложение всех перечисленных задач к практическому применению

                     БЗ№1

З.З. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.

Ответ: n=128.

 М.З Велосипедист, едущий в гору, в первый час достиг высоты 200 м, а за каждый следующий час поднимался на высоту, на 20 м меньше, чем в предыдущий. За сколько времени он достиг высоты 900 м?

     Ответ: за 6 часов велосипедист достиг высоты 900 м.

Н.З При каком значении х числа Зх + 2, dх - 4 и dх + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

О т в е т: х = -5,5.

БЗ№2

З.З Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии , у которой b1=4 ,q=

Ответ: число 75 не может быть членом заданной геометрической прогрессии.

Н.З После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.

Ответ:b7 = 760∙(0,8)6 ≈ 200 (мм рт. ст.).

Б.З№3

З.З Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?

Ответ: турист был в пути 8 часов

М.З При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии

О т в е т: а20 = 115

Н.З Сумма трех положительных чисел равна /2. Найти произведение ctg· ctg если известно, что ctg, ctg, ctg образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: ctgctg = 3.

Б.З.№4

З.З Срочный вклад 1000 р., положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10 %. Каким станет вклад через 3 года?

Ответ: Через три года вклад будет равен 1331 р.

М.З Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: t =0,5

Н.З Решить уравнение 

Ответ: -1

Б.З.№5

З.З Найти a1 и d, если a11=6; a16=8,5.

Ответ: а1=1; d=0,5.

М.З  При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Ответ: а1=3, d =4

Н.З Известно, что некоторая арифметическая прогрессия содержит члены a2n и a2m такие, что имеет место следующее соотношение a2n /a2m = -1. Существует ли член этой прогрессии, который равен нулю? Есть существует, какой номер этого члена

Ответ: Существует, его номер n + m.

Б.З№6

З.З Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

М.З Известно, что L, M, N - соотвественно l-й, m-й, n-й члены геометрической прогрессии. Доказать, что L m-nM n-lN l-m = 1.

Док-во: Выразим L, M, N через первый член геометрической прогрессии A и знаменатель q:

L = Aql - 1.

M = Aqm - 1.

N = Aqn - 1.

Тогда L m-nM n-lN l-m =

= Amq(l - 1) m / Anq(l - 1) n · Anq(m - 1) n / Alq(m - 1) l · Alq(n - 1) l / Amq(n - 1) m =

qlm / qln · qmn / qml · qnl / qnm = 1.

Что и требовалось доказать

Н.З. Разность арифметической прогрессии не равна нулю. Числа, которые равны произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найти его знаменатель.

Ответ: -2.

Б.З.№7

З.З При каких значениях х прогрессия

является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.

Ответ: данная геометрическая прогрессия . не может быть ни при каком значении х.

М.З

Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25/4, а   сумма   квадратов ее членов равнялась 625/24.

Ответ: 5,1, 1/ 5….

Н.З В  квадрат со стороной а вписан  путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким  же   образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.

Б.З№8

З.З Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа.

Ответ: (4; 8; 16)  или  .

М.З Определить числа a, b и c, если известно, что a, b, c - три последовательных члена геометрической прогрессии; a, b + 2, c образуют арифметическую прогрессию, а числа iar a, b + 2, c + 9 - геометрическую прогрессию.

Ответ : a = 4, b = 8, c = 16 или

 и

Н.З  Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

Ответ: если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18.Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2.

Б.З№9

З.З Длина сторон прямоугольного треугольника три последовательных члена возрастающей арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии, если его периметр равен 120.

Ответ: Ответ: d=10

М.З Длины сторон треугольника равны трём последовательным членам арифметической прогрессии с разностью d. Чему равно расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника?

Ответ: d/3.

Н.З Определить треугольник, длины сторон которого образуют геометрическую прогрессию, а величины внутренних углов - арифметическую прогрессию.

Ответ: равнобедренный треугольник (a = c) с углом при вершине в 60°, то есть, равносторонний треугольник.

Литература:

1. Учебник Алгебра-9 А.Г.Мордкович;
2. Типовые тестовые задания ЕГЭ-9 кл. Т.В.Колесников 2007г.
3. Сборник тестов 7-9 кл. А.Г.Мордкович 2004г.
4. Электронный учебник-справочник Алгебра 7-11 кл
5. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM, 1995.
6. Самарский областной институт повышения квалификации и переподготовки работников образования «Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике 2004»,Самара, 2004.
7. Министерство образования и науки Самарской области Государственное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Самарского областного института повышения квалификации и переподготовки работников образования «Методическое обеспечение подготовки учителей математики к введению профильного обучения», Самара, 2008.
8. Интернет источники: ru.wikipedia.org

intelmath.narod.ru/zno2010proba9-12.html

www.kollegi.kz/load/reshenie_zadach_na…progressii