Нестандартная система уравнений
статья по алгебре (9 класс) по теме
В данной статье проводится небольшое исследование по решению не совсем стандартной системы уравнений по алгебре в девятом классе.
Скачать:
Предварительный просмотр:
1. Пинько Раиса Васильевна
2. учитель математики
3. Володарская гимназия «София» пгт. Володарское
Алгебра 9 класс
Нестандартная система уравнений.
В настоящее время преподаю алгебру в девятых классах. При изучении темы: «Решение систем уравнений» мы с учащимися сделали небольшое исследование. Хочу поделиться с коллегами.
Работаю по учебнику А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Алгебра» 9класс, «Гимназия» 2009 год. Проводя консультацию с учащимися по подготовке к ГИА при решении (3) мы с учащимися столкнулись с проблемой. Ответ, полученный нами и ответ , приводимый в учебнике, не совпадал. Привожу решение, сделанное нами.
Условие: x2 + y2 + x + y = 18, (1)
x2 - y2 + x - y = 6.
Решение:
К первому уравнению системы прибавим второе. Получим новое уравнение, которое имеет вид:
2x2 + 2x = 24
Или, сократив на 2: x2 + x = 12
Затем, от первого уравнения отнимем второе. Получим второе уравнение новой системы:
2y2 + 2y = 12 или y2 + y = 6.
Итак, имеем новую систему:
x2 + x = 12, x2 + x - 12 = 0, (2)
y2 + y = 6. или y2 + y – 6 = 0.
Оба уравнения, входящие в систему, являются приведенными квадратными уравнениями. Поэтому, применяя теорему Виета, находим решение. Для первого уравнения:
x1 = 3; x2 = -4.
Для второго уравнения:
y1 = -3; y2 = 2.
Итак, мы получили два решения:
x1 = 3; x2 = -4; (3)
y1 = -3. и y2 = 2.
Или эти решения можно записать в виде:
(3, -3), (-4, 2).
В учебнике приводится другой ответ:
(-4, -3), (-4, 2). (4)
Сразу возник вопрос, то ли мы ошиблись, то ли в учебнике опечатка. Начали делать проверку нашего ответа и ответа, приводимого в учебнике.
Проверяем наше решение. Для этого подставляем решение, найденное нами (2) в систему уравнений (1), имеем:
32 + (- 3)2 + 3 + (- 3) = 18,
32 - (- 3)2 + 3 - (- 3) = 6.
или 9 + 9 = 18,
3 + 3 = 6.
Проверяем второе наше решение:
(- 4)2 + 22 + (- 4) + 2 = 18,
(- 4)2 - 22 + (- 4) - 2 = 6.
Действительно:
16 + 4 + ( - 4) + 2 = 18,
16 – 4 + ( - 4) – 2 = 6.
Радуемся, наше решение правильное.
Проверяем решение авторов учебника.
Подставляем решения (4) в нашу систему (1), имеем: для первого решения:
(- 4)2 + (-3)2 + (- 4) + (-3) = 18,
(- 4)2 – (-3)2 + (- 4) – (-3) = 6.
или 16 + 9 + (-7) = 18,
16 – 9 + (-1) = 6.
Второе решение авторов не проверяем, оно совпадает с нашим.
Вот так. Решение авторов тоже верное. Получили парадокс: и наше решение и решение авторов учебника верное.
Сразу же возникает второй вопрос. Как же так получается, что система имеет три различных решения? Рассматривая решение еще раз, пришли к выводу, что это связано с тем, что в данной системе уравнений при их преобразовании оказалось, что первое уравнение системы содержит только переменную x, а второе - только переменную y (см. систему (3)), то есть это просто совокупность двух различных уравнений.
Таким образом, делаем вывод. Так как получилось, что уравнения в системе не связаны между собой, то любое из значений x1 или x2, независимо от того, какое y идет в паре с ним, будет решением первого уравнения системы (2), а следовательно и исходной системы (1). И, наоборот, любое значение y1 или y2 , независимо от того какое x идет в паре с y, также будет решением исходной системы. Следовательно, вывод, к которому мы пришли, система будет содержать не два решения, а большее их количество. Эти решения мы получим, если будем комбинировать различные пары (x, y) из найденных решений, то есть из:
x1 = 3; x2 = -4;
y1 = -3. и y2 = 2.
Итак, имеем:
x1 = 3; x2 = -4;
1) y1 = -3. и y2 = 2. – решения найденные на- ми.
2) x3 = - 4;
y3 = -3 - дополнительное решение из ответов в учебнике, которое получилось, если скомбинировать x2 = -4 и y1 = -3 в найденных нами решениях. А также можем скомбинировать x1 = 3 с y2 = 2, получим новое решение: x4 = 3;
y4 = 2.
Таким образом, мы нашли четыре решения данной системы. В справедливости найденных новых решений предлагаем убедиться самостоятельно, методом подстановки в исходную систему уравнений.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Система упражнений по теме: "Уравнения и системы уравнений".
В данном пособии предложена система упражнений с решениями по теме : "Уравнения и системы уравнений" для учащихся старшей школы....
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/09/picture-174653-1357737750.jpg)
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников при решении заданий, содержащих параметры; углу...
Урок алгебры в 11 классе по теме: "Решение нестандартных показательных уравнений"
Целью данного урока является систематизация умения решать и выбирать способы решения показательных уравнений; рассмотренте использования свойств функции при решении нестандартн...
![](/sites/default/files/pictures/2017/05/20/picture-926252-1495283500.jpg)
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "Решение нестандартных показательных уравнений"
Урок способствует формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творчески способностей учеников при решении задач, содержащих параметры, углубле...
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем....
Технологическая карта урока по алгебре 7 класс "Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Данный урок был проведён в апреле 2021 года на районном семинаре учителей математики. Целевая аудитория - ученики 7 "б" класса, в классе 27 учащихся, класс разноуровневый, но у...
Презентация к уроку в 7 классе по алгебре "Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Данная презентация применялась на уроке во время устной работы. Учащиеся составляли уравнения линейной функции по готовому чертежу....