Основные этапы исследования элементарных функций
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Урок по алгебре по теме

«Основные этапы исследования элементарных функций»

9 класс

Исследование свойств функции имеет в алгебре и ее приложениях большое  практическое значение. Поэтому на всех уроках этой темы учитель должен систематизировать план исследования, проводя  сравнительный анализ свойств  различных функций.

1.Организационный этап.

2.Целеполагание, определение учебных задач.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Сегодня проводим повторительно-обобщающий урок по теме «Основные этапы исследования элементарных функций». Определим цель урока. Учащиеся высказывают мнения, учитель обобщает, приходят к единому мнению.

Цель урока: развитие навыков чтения графиков функций и отработка каждого пункта алгоритма исследования функции  на аналитических и графических представлениях.

Учитель: Что необходимо сделать на уроке, чтобы достичь поставленной темы? Учащиеся высказывают мнения, учитель обобщает, приходят к единому мнению.

Задачи урока

• Повторить основные понятия по данной теме:

• Область определения функции;
• Область значений функции;
• Возрастание и убывание функции;
• Ограниченность функции;
• Выпуклость функции;
• Четные и нечетные функции и расположение их графиков;

• Уметь применять теоретический материал к исследованию элементарных функций, заданных графическим и аналитическим способами;
• Подготовиться по данной теме к экзамену за курс основной школы.

3.Этап актуализации знаний учащихся.

Устная работа. Фронтальный опрос. За каждый верный ответ даётся 2 балла. С небольшой помаркой, но в целом верный ответ – 1 балл. В итоге все баллы суммируются. Результат – отметка за урок.

Учитель: Повторяем теорию.

1. Сформулируйте понятие области определения функции. Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определённое число y, то говорят, что задана функция y = f(x) с областью определения Х. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.

Учитель: Да, правильно. В реальной жизни иногда говорят: «Каковы мои функции?» или «Каковы мои функциональные обязанности?», спрашивая тем самым: «каков круг моих действий, моих обязанностей» или «что я должен делать, как действовать». В реальной жизни слово «функция» означает «действие» или «правила действий». Обратите внимание, что фактически тот же смысл имеет и математический термин «функция», который вы сказали.

2.Что такое область значений функции? Множество значений функции y = f(x),  x X называют областью значений функции и обозначают E(f).

3.Найти область определения и область значений функций, представленных на слайде.

1) D(y)=, E(y)=;  2) D(y)=[, E(y) =[;

3) D(y)=[, E(y) =[;  4) D(y)=(, E(y) =(;  5) D(y)=(,

E(y) =(;  6) D(y)=(, E(y) =(;  7) D(y)=(, E(y) =(.

4. Какое свойство функции показано на следующих рисунках. Дайте определение.

На рисунках показаны возрастающая и убывающая функции.

Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве , если для любых двух элементов x1 и x2 множества Х, таких, что x1  x2, выполняется неравенство f(x1)   f(x2).

Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве , если для любых двух элементов x1 и x2 множества Х, таких, что x1  x2, выполняется неравенство f(x1)   f(x2).

Правильно, иными словами, функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Каким термином объединяют «возрастающая функция»  и «убывающая функции»? Их объединяют общим названием монотонная функция.

5. Дайте определение свойству функции, показанном на следующем слайде.

На слайде показана ограниченная функция.

Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве , если существует число m такое, что для любого значения x выполняется неравенство

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве , если существует число М такое, что для любого значения x выполняется неравенство

Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной.

Ограниченность функции легко прочитать по её графику: функция ограничена снизу – это значит, что её график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой y = m (на первом рисунке); функция ограничена сверху – это значит, что её график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y = M  (на втором рисунке).

6. Вспомним ещё одно свойство функции. В 7-м и 8-м классах мы упоминали про свойство выпуклости функции.

Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рисунок №1). Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рисунок №2).

7. Какое множество называется симметричным?

Если числовое множество Х  вместе с каждым своим  элементом х содержит и                       противоположный элемент – х,  то данное множество Х является  симметричным.

1) Симметричное множество. 2) Несимметричное множество.  3) Несимметричное множество.

4) Симметричное множество.  5) Несимметричное множество.  6) Симметричное множество.

8. С каким свойством функции связано понятие симметричное множество?

Со свойством четности и нечетности функции.

Дать определение четной функции и нечетной функции.

Функцию y = f(x), x  X называют чётной, если  для любого значения х из множества Х выполняется равенство  f(-x) = f(x). Функцию y = f(x), x  X называют нечётной, если  для любого значения х из множества  Х  выполняется равенство f(-x) = - f(x).

Можно ли по графику  определить является ли функция чётной, нечётной или не является ни той ни другой?

Если график функции y = f(x) симметричен относительно оси  Y, то y = f(x) – четная.

Если график функции y = f(x)  симметричен относительно начала  координат, то y = f(x) – нечетная.

Правильно. В этом и состоит геометрический смысл свойства четности и нечетности функции.

Верно и обратно: График четной функции симметричен  относительно оси Y.  График нечетной функции симметричен относительно начала координат.  

Задание из вариантов ГИА. Какая из функций является чётной?

У вас есть памятка – алгоритм исследования функции на чётность. Сегодня на уроке нам он понадобится.

(Приложение 1).

4. Выполнение учащимися (индивидуально и коллективно)  письменных заданий обобщающего и систематизирующего характера.

1) Работа в группах.

Используя основные этапы исследования элементарных функций, прочитать график. Обсудить в группах, аргументировать, придти к единому мнению, предложить классу.

(Учащиеся работают в группах по четыре человека. Используют памятку с основными этапами исследования элементарных функций (Приложение 2). Результат озвучивают классу. Выступающему – 5 баллов. За дополнения, уточнения, математические замечания  - 2 балла).

2)  Индивидуальное письменное задание.

Учитель выступает в роли консультанта. Первым трём учащимся, выполнившим задание, дополнительно до 5 баллов.

3) Выполнить задание у доски с полным объяснением. Один учащийся у доски, остальные  - на месте.

Учащийся работает на отметку. Баллы не начисляются. Если в классе найдутся обучающиеся, которые решают задание быстрее, чем решение появится на доске, дополнительно до 5 баллов.

5. Контроль и самопроверка знаний.

Учащиеся выполняют тест (Приложение 3).

6. Подведение итогов занятий.

Учащиеся делают выводы по уроку.

Повторили основные понятия по данной теме:

• Область определения функции;
• Область значений функции;
• Возрастание и убывание функции;
• Ограниченность функции;
• Выпуклость функции;
• Четные и нечетные функции и расположение их графиков.

Применили теоретический материал к исследованию элементарных функций, заданных графическим и аналитическим способами.

Объявляются баллы: 15 баллов и выше – «5»

                                     10 – 14 баллов – «4»

                                     5 – 9 баллов – «3»

Учащиеся оценивают себя и сдают тетрадь.

7. Информация о домашнем задании.

Приложение 1  

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y = f(x) на четность

1. Найти область определения функции (D(f)).

2. Установить, симметрично ли множество D(f). Если нет, то записать, что функция не является ни четной, ни нечетной.  

    Если да, то переходить к третьему шагу алгоритма.

3. Сравнить f(-x) и  f(x):

    - если f(-x) = f(x), то функция – четная;

    - если f(-x) = - f(x), то функция – нечетная;

    - если хотя бы в одной точке  выполняется соотношение f(-x) ≠ f(x) и хотя бы в одной точке  

      выполняется соотношение f(-x) ≠ - f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Приложение 2

Основные этапы исследования элементарных функций.

1.Область определения функции – D(f).

2.Область значений функции – E(f).

3.Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции).

4.Ограниченность функции.

5.Наибольшее и наименьшее значения функции (yнаиб., yнаим.).

6.Непрерывность функции.

7.Выпуклость функции.

8.Исследование функции на четность.

Основные этапы исследования элементарных функций.

1.Область определения функции – D(f).

2.Область значений функции – E(f).

3.Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции).

4.Ограниченность функции.

5.Наибольшее и наименьшее значения функции (yнаиб., yнаим.).

6.Непрерывность функции.

7.Выпуклость функции.

8.Исследование функции на четность.

Основные этапы исследования элементарных функций.

1.Область определения функции – D(f).

2.Область значений функции – E(f).

3.Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции).

4.Ограниченность функции.

5.Наибольшее и наименьшее значения функции (yнаиб., yнаим.).

6.Непрерывность функции.

7.Выпуклость функции.

8.Исследование функции на четность.

Основные этапы исследования элементарных функций.

1.Область определения функции – D(f).

2.Область значений функции – E(f).

3.Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции).

4.Ограниченность функции.

5.Наибольшее и наименьшее значения функции (yнаиб., yнаим.).

6.Непрерывность функции.

7.Выпуклость функции.

8.Исследование функции на четность.

Основные этапы исследования элементарных функций.

1.Область определения функции – D(f).

2.Область значений функции – E(f).

3.Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции).

4.Ограниченность функции.

5.Наибольшее и наименьшее значения функции (yнаиб., yнаим.).

6.Непрерывность функции.

7.Выпуклость функции.

8.Исследование функции на четность.

Приложение 3

Тест по теме «Основные этапы исследования функций»

1 вариант

1.Найдите область определения функции :

  a) x > 2;                б) x < 2;                 в)  ;                    г)  .    

2.Исследуйте на ограниченность функцию  y = 2x2 – 3x – 1.

а) ограничена сверху;  б) ограничена снизу;  в) ограничена и сверху и снизу;  г) не ограничена ни снизу

                                                                                                                                         ни сверху.

3.Среди заданных функций укажите возрастающие:

  1) y = 2x2;           2) y = 5x – 1;              3) y = 3 – x;               4)  .

 а) 2) и 4);            б) 1), 2), 4);              в) 3);            г) 1) и 2).

4.Среди заданных функций укажите четные:

  1) y = 2x2;            2)  ;                3) y = 5x;                  4) y = .

а) 1) и 3);              б) 1) и 2);                 в) 3) и 4);                г) 1) и 4).              

5.Среди заданных функций укажите нечетные:  

   1) y = 2x2;            2) y =  ;                3) y = 5x;                  4) y = .  

а) 1) и 3);               б) 2) и 4);                в) 2) и 3);                г) 3) и 4).

6.Найдите область значений функции y = 4 – x2:

а) ;            б) );           в)  ;              г) [4;  .

        Тест по теме «Основные этапы исследования функций»

1 вариант

1.Найдите область определения функции :

  a) x > 2;                б) x < 2;                 в)  ;                    г)  .    

2.Исследуйте на ограниченность функцию  y = 2x2 – 3x – 1.

а) ограничена сверху;  б) ограничена снизу;  в) ограничена и сверху и снизу;  г) не ограничена ни снизу

                                                                                                                                         ни сверху.

3.Среди заданных функций укажите возрастающие:

  1) y = 2x2;           2) y = 5x – 1;              3) y = 3 – x;               4)  .

 а) 2) и 4);            б) 1), 2), 4);              в) 3);            г) 1) и 2).

4.Среди заданных функций укажите четные:

  1) y = 2x2;            2)  ;                3) y = 5x;                  4) y = .

а) 1) и 3);              б) 1) и 2);                 в) 3) и 4);                г) 1) и 4).              

5.Среди заданных функций укажите нечетные:  

   1) y = 2x2;            2) y =  ;                3) y = 5x;                  4) y = .  

а) 1) и 3);               б) 2) и 4);                в) 2) и 3);                г) 3) и 4).

6.Найдите область значений функции y = 4 – x2:

а) ;            б) );           в)  ;              г) [4;  .