Конспект урока по геометрии в 11 классе по теме "Конус"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Тема урока: Площадь поверхности конуса.

Цель урока:

Познакомить учащихся с формулами нахождения площади поверхности конуса. Формировать навык решения задач по нахождению элементов конуса. Показать возможность применения конуса в различных областях, углубление знаний по данной теме. Воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры диалога. Развитие математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал, презентация.

План урока

I.     Организационный момент

II.    Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

III.   Устные упражнения.

IV.   Объяснение нового материала.

V.     Первичное закрепление.

VI.   Практическая работа.

VII. Усвоение новых знаний.

VIII. Самостоятельная работа.

IX.    Задачи для решения.

X.     Итог урока.

XI.   Задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент

Организуется начало урока. Активизируется внимание учащихся на начало учебного процесса. Демонстрируется готовность к началу урока.

II. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

На предыдущем уроке мы говорили о конусе, познакомились с его элементами, научились находить элементы конуса. Сегодня мы познакомимся с новыми фактами относящиеся к конусу и новые знания вы будете добывать сами, работаем под девизом.

Девиз урока: Искра знаний возгорается в том, кто достигнет понимания собственными силами. (Слайд 2)

Но прежде вспомним элементы конуса.

III. Устные упражнения

Вопросы классу. (Слайд 3)

1. Дайте определение конуса.

2. Какая поверхность называется конической? (объясните)

3. Назовите элементы конуса и покажите их на чертеже.

Элементы конуса:

коническая поверхность,

Р – вершина конуса,

РО – ось,

РО – высота,

РА, РВ, РС – образующие,

АО - радиус

IV. Объяснение нового материала

Рассмотрим задачи:

1. Сколько потребуется краски, для того чтобы покрасить пожарное ведро, если на 100см² необходимо затратить 10г? (Слайд 4)

2. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы? (Слайд 5)

В первой и во второй задачах мы имеем дело с конусом. Чтобы решить задачи, что необходимо найти?

Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса.

Мы попробуем сейчас это сделать.

- Как вы думаете, что принимается за площадь боковой поверхности конуса?

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки.

- Что является разверткой боковой поверхности конуса?

Разверткой боковой поверхности является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. (Слайд 6)

Развертка конуса

Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую и радиус основания.

  , -градусная мера дуги

Длина дуги сектора  равна длине окружности основания конуса .

 выразим  через  и ,   , тогда

,   . (Слайд 7)

Как найти площадь полной поверхности?

Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и площади основания.

,          .

Итак, чтобы найти площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности конуса необходимо знать длину образующей и радиус основания.

На доске записаны формулы:  (Слайд 7)

,     .

V. Первичное закрепление

Решаем устно по готовым чертежам (Слайд 8)

1. Радиус конуса равен 6, а образующая – 10. Найти площадь боковой поверхности, площадь основания и площадь полной поверхности конуса. (Слайд 8)

 ( , )

2. Высота конуса равна 4, а образующая – 5. Найти площадь боковой поверхности, площадь основания и площадь полной поверхности конуса. (Слайд 8)

( , )

Вернемся к задачам о которых говорили в начале урока.

Решим задачу 1. (Слайд 9-10)

Сколько потребуется краски, для того чтобы покрасить пожарное ведро, если на 100см² необходимо затратить 10г?

Для решения задачи надо измерить:

а) длину окружности основания ведра: С= 54см          

б) образующую: ℓ=38см

Найти: Sбок.

     Решение:

             Sбок.= πRℓ                                       

             С= 2πR  

             R=С:2π

Sбок.= πRℓ= πСℓ:2π=Сℓ:2

Sбок.=54·38:2= 1026см²

1026:100·10·2=205,2г

Ответ: 205,2г

Решим задачу 2. (Слайд 11-12)

Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания  6 метров?

Дано: h=4 м

           d=6 м

Найти:

Решение:

,

, 

,

Ответ: ≈ 46 м²

VI. Практическая работа (приложение 1)

Работа в группах по два человека.  (По вариантам)

Каждому варианту дается модель конуса.

Задание.

Все записи выполняются в тетради. Чертеж можно не делать.

Оборудование.

На каждом столе имеется модель конуса, линейка, нитка.

Выполнение работы.

Укажите свой вариант.

Запишите формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса.

Выполнив необходимые измерения, для нахождения площади боковой поверхности конуса и найдите её.

Проверка результатов работы.  (Слайд 13)

Определяя площадь боковой поверхности конуса, вы измеряли длину образующей и диаметр, находили радиус и далее площадь боковой поверхности.

- Давайте посмотрим на результаты вариантов 1и 2. Посмотрите как изменился радиус во втором варианте и что произошло с площадью? (уменьшилась в 2 раза)

- Посмотрите вариант 3 и 4. В четвертом варианте  уменьшилась образующая, что произошло с площадью? (уменьшилась в 2 раза)

- Рассмотрим вариант 6 и 7. В 7 варианте и радиус и образующая уменьшились в 2 раза, что произошло с площадью боковой поверхности? (уменьшилась в 4 раза).

Но конус, который у вас на столе можно взять в руки и выполнить все измерения. Но на практике не всегда можно измерить длину и образующую конуса.

Например (устно)

В стране существуют фермерские хозяйства, которые занимаются выращиванием коров, овец, разводят лошадей. Кормят этих животных сеном. Траву косят, сушат и складывают в копы. Копна сена имеет форму конуса, чтобы найти боковую поверхность конуса мы не можем измерить диаметр и образующую, но можно измерить длину окружности с помощью веревки и далее выразить радиус, а вот как поступить с образующей? (можно измерить перекид копны – это две образующих). Забегая вперед, необходимо находить массу копны по плотности и объему, а чтобы найти объем надо знать радиус и высоту.

VII. Усвоение новых знаний

Задача 1. (приложение 1, решаем с классом)

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а высота конуса равна 12см. Найдите площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности.

VIII. Самостоятельная работа (приложение 2)

Самостоятельная работа проводится по вариантам, дифференцированно, с выбором ответа.

Вариант 1. (для слабых)

Фамилия, имя ученика ___________________________________

Реши задания и выбери правильный ответ, заполни таблицу

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 5см, а радиус основания 3см.

    1). ,             2). ,           3). ,         4). Нет верного ответа

2. Образующая конуса равна 7см, а радиус основания 3см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

     5). ,       6). ,            7). ,           8). Нет верного ответа,       9).

3. Высота конуса равна 12см, образующая 13см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1). ,       2). Нет верного ответа,         3). ,       4). ,        5).

4. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую и радиус основания увеличить в 2 раза?

1). Увеличиться в 2 раза,             2). Не изменится,                     3). Верного ответа нет,

4). Увеличится в 4 раза,               5). Уменьшится в 2 раза,         6). Уменьшится в 4 раза

Вариант 2. (Для сильных)

Фамилия, имя ученика ___________________________________

Реши задания и выбери правильный ответ, заполни таблицу

1. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 4 раза, а радиус основания уменьшить в 2 раза?

1). Увеличиться в 2 раза,             2). Не изменится,                     3). Верного ответа нет,

4). Уменьшится в 4 раза,              5). Уменьшится в 2 раза.

2. Найдите площадь боковой поверхности равностороннего конуса (осевое сечение – равносторонний треугольник), если радиус основания равен 5см.

      1). Нет верного ответа,        2). ,         3). ,       4). 50,     5). .

3. Площадь основания конуса равна см², а образующая равна 6см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

      4).  ,         5). ,         6). ,       7) ,       8). Нет верного ответа.

4. Найдите площадь полной поверхности конуса, если образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°, а высота равна 6см.

     1) ,          2). ,            3). ,          4). Нет верного ответа.

Проверка самостоятельной работы (проверяет сосед).

Ответы к самостоятельной работе (Слайд 15)

Вариант 1.

Город Чехов в 1954 году образован из села Лопасня.

Вариант 2.

В 1572 год – это дата Молодинской битвы, которая по значимости сравнима с Бородинским сражением.

IX. Задачи для решения (приложение 1)

Задача 2. (дополнительно)

Осевое сечение конуса равнобедренный треугольник площадь которого равна 60см², высота конуса 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Используя формулу нахождения площади треугольника можно найти диаметр (АВ=10см). Далее находим радиус (R=5см). По теореме Пифагора находим образующую (АР=13см). Находим площадь полной поверхности (S=90πсм²).

Задача 3.

Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Найдите радиус основания, высоту конуса, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности конуса.

,

,

Задача 4.

Площадь основания конуса равна 16π, а площадь осевого сечения равна 32. Найдите высоту конуса и площадь боковой поверхности.

                                Sосн.=16π,   SАВС=32.

                                                       Найдите: H. Sбок.

Решение:

Sосн.=/.

R2=16 тогда r=4

АС=2r=8.

SАВС=

H =8.

Sбок=

△ВОС; прямоугольный. По т.Пифагора

Ответ: H=8,    Sбок=16

X. Итог урока

1. Какова тема сегодняшнего урока?

2. Какие виды задач мы решали на уроке? (на нахождение площади поверхности конуса, практические задачи).

3. Чтобы получить конус какую фигуру и как надо вращать?

4. Какую фигуру вы получите при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям? (усечённый конус)

Тема следующего занятия «усеченный конус».

Подведение итогов, выставление оценок.

XI. Задание на дом (приложение 3)

Слайд 16

Задача 1.

Задача 2.

Приложение 1.

Задачи к уроку

1. Практическая работа

Задание.

Все записи выполняются в тетради. Чертеж можно не делать.

Оборудование.

На каждом столе имеется модель конуса (с указанным вариантом), линейка, нитка.

Выполнение работы.

Укажите свой вариант.

Запишите формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса.

Выполнив необходимые измерения, для нахождения площади боковой поверхности конуса и найдите её.

2. Решение задач

Задача 1.

       Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°, а высота конуса равна 12см. Найдите площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности.

Задача 2.

        Осевое сечение конуса равнобедренный треугольник площадь которого равна 60см², высота конуса 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Задача 3.

       Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите радиус основания, высоту конуса, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности конуса.

Задача 4.

        Площадь основания конуса равна 16π, а площадь осевого сечения равна 32. Найдите высоту конуса и площадь боковой поверхности.

Приложение 2. 

Вариант 1.

Фамилия, имя ученика ___________________________________

Реши задания и выбери правильный ответ, заполни таблицу

1. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 5см, а радиус основания 3см.

    1). ,             2). ,           3). ,         4). Нет верного ответа

2. Образующая конуса равна 7см, а радиус основания 3см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

     5). ,       6). ,            7). ,           8). Нет верного ответа,       9).

3. Высота конуса равна 12см, образующая 13см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

1). ,       2). Нет верного ответа,         3). ,       4). ,        5).

4. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую и радиус основания увеличить в 2 раза?

1). Увеличиться в 2 раза,             2). Не изменится,                     3). Верного ответа нет,

4). Увеличится в 4 раза,               5). Уменьшится в 2 раза,         6). Уменьшится в 4 раза

Вариант 2.

Фамилия, имя ученика ___________________________________

Реши задания и выбери правильный ответ, заполни таблицу

1. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 4 раза, а радиус основания уменьшить в 2 раза?

1). Увеличиться в 2 раза,             2). Не изменится,                     3). Верного ответа нет,

4). Уменьшится в 4 раза,              5). Уменьшится в 2 раза.

2. Найдите площадь боковой поверхности равностороннего конуса (осевое сечение – равносторонний треугольник), если радиус основания равен 5см.

   1). Нет верного ответа,        2). ,         3). ,       4). 50,     5). .

3. Площадь основания конуса равна см², а образующая равна 6см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

   4).  ,         5). ,         6). ,       7) ,       8). Нет верного ответа.

4. Найдите площадь полной поверхности конуса, если образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°, а высота равна 6см.

     1) ,          2). ,            3). ,          4). Нет верного ответа.

Приложение 3.

Задание на дом

Задача 1.

Задача 2.