Урок итогового повторения в 9 классе" Линейные уравнения с параметром"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

ГБОУ средняя общеобразовательная школа № 12 с углубленным изучением    

английского языка Василеостровского района Санкт-Петербурга

Учитель математики высшей категории     СЕНИНА ЕЛЕНА ВИКТОРОВНА

       Фрагмент урока итогового повторения   по   математики по теме:

 «ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ»

        Рассмотрим уравнения, приводящиеся к линейным и дробно-линейным. Эти типы уравнений хорошо знакомы учащимся, и их решение не вызывает затруднений. Параметр, присутствующий в условии, не создает слишком больших трудностей, но в то же время позволяет сформировать у учащихся отчетливое представление о параметрических задачах и основных принципах их решения.

Рассмотрим уравнения, которые после преобразований приводятся к линейным уравнениям вида:  ах=k, где а и k –параметры.

При решении таких уравнений необходимо рассмотреть два случая:

1. а=0,
2. а≠0

Пример1.  Решить уравнение ах-2х=4а

                                                  (а-2)х=4а

1)  Если а-2=0, то есть а=2, уравнение имеет вид: 0х=8.

      Это уравнение решений не имеет.

2.  Если а≠ 2, то х=4а /(а- 2).

Ответ: если а≠2, то х = 4а /(а-2);

            если а=2, то решений нет.

Пример2.  Решить уравнение а2х - а2 – х +2 =0

Оставим в левой части уравнения выражения с переменной, а константы перенесем в правую часть:

 а2х – х = а2 – а – 2,

(а2 -1 )х = (а -2 )( а +1),

(а – 1)( а + 1)х =(а – 2)(а + 1).

1. Если а = 1, то уравнение перепишем в виде :

0х = -2

Уравнение решений не имеет.

2. Если а = -1, то уравнение перепишем в виде :

0х = 0

Решением будет любое действительное число.

3. Если а≠ ±1, то х = ( а – 2)/ (а – 1 ).

Ответ: если а≠ ± 1, то  х = ( а – 2 )/(а – 1);

            если а = 1, то решений нет:

            если а =-1, то х- любое.

Пример3.  При каких целых значениях параметра а корень уравнения  (а – 5)х  + а = 3 лежит в промежутке 0 ≤ х ‍‍≤ 5 ?

Перепишем уравнение в виде:  ( а – 5)х  = 3-а

1. Если а = 5, то уравнение перепишем в виде:

0х = -2,

Уравнение решений не имеет;

2. Если а≠ 5, то уравнение имеет  корень х = ( 3 – а)/( а – 5).

Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в указанном промежутке.

Для этого решим двойное неравенство:

0 ≤ (3 –а )/(а -5) ≤ 5

а)  (3 – а )/(а -5)≥ 0                                      \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

     (а – 3)/(а -5)≤ 0                    --------------|----------------------|---------------→  а

                                                            +          3            _                5            +

                                                                                 3 ≤ а ≤ 5

б)  (3 –а)/(а – 5) ≤ 5

     (3 – а – 5а + 25) /(а-5) ≤ 0    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\                   \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

      (6а – 28)/(а – 5)≥0              ------------------------|-------------|----------------→  а                                                                                                                                              

                                                                   +                 4⅔     -          5           +

                                                                                    а≤ 4⅔ ,    а> 5

      Решением неравенства является промежуток:

             3≤ а ≤ 4⅔

       В  этом  отрезке находятся  только два целых числа:  3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ:   а = 3,  а = 4.

Пример 4.   При каких значениях параметра  а  корень уравнения  2ах -3 = 4х + а  не меньше  корня  уравнения  5х – а( х +1) = 0 ?

Приведем оба уравнения к виду : ах = k и решим их.

 а) 2ах – 3 = 4х + а,

     2ах – 4х = 3 + а,

     (2а – 4)х = а + 3,

1. Если  а = 2, то  уравнение перепишем в виде:  0х = 5.  Корней  нет.
2. Если  а≠ 2, то   корень   х = (а + 3)/(2а – 4);

         б) 5х – а( х +1) =0,

             5х – ах = а,

             (5 – а)х = а,

       1)  Если   а = 5, то уравнение перепишем в виде : 0х = 5.   Корней нет.

       2)  Если   а ≠ 5, то  корень   х = а/ (5 – а ).

      Учитывая условие задачи, получаем неравенство: (а + 3)/(2а – 4) ≥ а /( 5 – а ),

       ((а +3)(5 – а) – а (2а – 4))/((2а – 4)(5 – а)) ≤ 0,

       (а –(1 - √6))( а –(1+√6))/((а – 2)(а – 5))≥ 0,

Данное неравенство решим методом интервалов:

          1 - √6                      2                                1+ √6                            5

      +                    _                               +                                 _                                  +

------------|-------------------|----------------------------|------------------------|----------------------→ а

\\\\\\\\\\\\\\\                          \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\                                  \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

  Ответ: а≤1- √ 6;      2 < а ≤1 +√6 ;      а > 5 .