Урок исследование по теме "Теорема Виета"
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Сценарий урока  

Битюцких Л.П., учитель математики,

МКОУ «Частоозерская СОШ»,

Курганская обл.                                                                                        

Тема урока  «Теорема Виета».

8 класс.

Тип урока:   урок - исследование.

Задачи урока:

1. Создать условия для исследовательской деятельности учащихся при изучении нового материала. «Открыть» теорему Виета. Научиться применять ее при решении приведенных квадратных уравнений, при составлении уравнений по его корням. Познакомить учащихся с методами исследования (теоретическими и эмпирическими).
2. развивать интеллектуальные умения: сравнивать, обобщать, анализировать, систематизировать.
3. Уделить внимание эстетическому воспитанию, показать учащимся, что математика имеет свою красоту и изящество.

Оборудование: чертежные инструменты, компьютер, мультимедийный проектор.

Девиз урока: «Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Франс Анатоль.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Учитель:   Какую тему учили на прошлом уроке? Вспомним способы решения квадратных уравнений.

                      ax2 +bx +c =0

1. D=b2 – 4ac.        x1x2 =
2. D=k2 – ac.           x1x2 =
3. a + b + c=0.        x1=1    x2=

Учитель: Сегодня на уроке постараемся все вместе найти новый способ решения квадратных уравнений, используя интересную теорему. Она носит название «Теорема Виета».

Задача урока: «открыть» теорему Виета, и так запишем тему урока.       Слайд 1.   «Теорема Виета».

Учитель: Сегодня урок - исследование. Научиться исследовать – значит самостоятельно узнавать новое. Я вам буду помогать. В течение урока вы будите сами оценивать свою работу на маршрутных листах.

Отлично –              Сомневаюсь -              Не получается -        

Учитель: Поможет нам «открыть» теорему Виета путешествие по станциям.

Слайд 2. Станции:

1. Теоретическая.
2. Исследовательская.
3. Историческая.
4. Практическая.
5. Лирическая.

4. Изучение нового материала.

Слайд 3.Станция теоретическая.

Учитель: Из двух данных уравнений, какое легче решить?

Слайд 4.

                6x2 – 18x + 12 = 0      (1)

                x2 – 3x + 2 = 0            (2)

Учитель: Почему  второе уравнение решать легче? Как из (1) получить (2)?

(вспомнить правило равносильности уравнений). Второе уравнение имеет  особое название. Какое?

Из уравнения   ax2 + bx +с = 0 получите приведенное квадратное уравнение.

ax2 + bx +с = 0   (разделим обе части уравнения на а)

x2 +  +  = 0 – запись не очень удобная, поэтому ввели обозначения.

x2 + px  + q = 0,          и        

Учитель: Сегодня на уроке нас будут интересовать именно такие уравнения. Теорему Виета будем открывать для таких уравнений.

Слайд 5Станция исследовательская..

Учитель: Вспомним методы исследования.

 В соответствии с тремя уровнями усвоения материала  класс разбит на группы учеников  1-«Продвинутые», 2-«Обученные», 3-«Некомпетентные».

Каждая группа получает уравнения для решения. 1 и 2 группа решают самостоятельно. 3группа решает у доски под руководством учителя.

Слайд 6.    Решить уравнения.

x2 – 3x + 2 = 0        x2 + 11x – 12 = 0      x2 – 5x + 4 = 0

x2 – 2x – 3 = 0        x2 + x – 6 = 0             x2  + 5x – 6 =0

Учитель: Заполним все вместе таблицу.

Опытным путем подошли к закономерности.

Найти закономерность между p, q  и  x1, x2.

Как зная корни уравнения, найти p и q?

Слайд 7.

Гипотеза: Если дано приведенное квадратное уравнение, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Учитель: Решить уравнение:    x2 – 4x + 8 = 0.

Вопрос: Для всех ли уравнений подходит это утверждение?  Значит, формулировка требует уточнения.

Слайд 8. Если приведенное квадратное уравнение имеет корни x1 и x2 , то

x1  + x2  = - p

x1  × x2 = q.

Учитель: Проверили опытным путем только на 6 уравнениях, но математика наука точная, чтобы утверждать, надо доказать.

Еще  Леонардо да Винчи говорил «Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства».

1 группа доказывает самостоятельно, 2 группа самостоятельно изучает доказательство по учебнику, стр. 127-128.  3 группа работает с учителем у доски.

                  x2 + px + q = 0.

1. D> 0.     D= p2 – 4q.     x1 =       x2 =

x1 + x2 =  +  =   =  = - p.

x1 × x2 =   ×  =  = =  = =q.

2. D=0.    x1= x2  =  =                            D=- 4q

                                                                         0=-4q,   =4q

x1 + x2 =  +  =  = -p.

x1 × x2  =  ×  =  =  = q.

Гипотеза  доказана, она получила название теоремы Виета.

Слайд  9. Станция историческая.    

  Франсуа Виет – французский                                                            математик, положивший начало алгебре как науке о решении уравнений. Родился в 1540 году на юге Франции. Знаменитую теорему открыл в 1591 году.

Умер в 1603 году.

V. Закрепление материала.

Слайд 10.Станция практическая.

Учитель: Любая исследовательская работа должна иметь практическое применение. Рассмотрим практическое применение теоремы Виета.

Слайд 11. При решении приведенных квадратных уравнений  (можно решать не решая).

Учитель: Назовите корни уравнений.

       x2 – 9x + 20 = 0.                     (5 и 4)

       x2  + 11x – 12 = 0.                  (-12 и 1)

       x2  + x – 56 = 0.                      (7 и 8)

Слайд 12. Если x1  и x2  корни уравнения, то  x1 + x2 = -p  и x1 ×x2 = q.

Учитель:  Можно составлять примеры самим.  Составить уравнения по имеющимся корням:

1. 4 и -6                   (x2  + 2x – 24 =0)
2. 7 и -2                   (x2  - 5x  -14 =0)

Слайд13. Метод пристального взгляда.

Учитель: Решите устно уравнение, где  b-  2010 год  и с – 2011 год.

         x2  + 2010x – 2011 = 0.

Слайд 14. При решении систем уравнений.        

 x + y = 5,

 x × y = 6.

Слайд 15.Станция лирическая.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни  - и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе a,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе b, в знаменателе a.

5. Рефлексия.

Учитель: Посмотрите на маршрутные листы. Все ли этапы вы отметили?

Оцените значком последний этап – Как я работал?

6. Домашнее задание.

П. 24, №583, №596 (1столбик), №599. Для отличников и хорошистов доказательство теоремы.