Простейшие тригонометрические уравнения
материал для подготовки к егэ (гиа, алгебра, 10 класс) по теме

              ПРАВИЛА

                 ОБРАЗЦЫ

             ЗАДАНИЯ

Уравнение sin x = a, где IаI ≤ 1 все корни находят по формуле

  Х = (-1)n arcsin a + 𝛑n, где n∈Z.

Решения уравнения cos x = a, где IаI ≤ 1, находят по формуле

  Х = ±arccos a + 2𝛑n, где n∈Z.

Уравнение tg x = a решают по формуле  

 х = arctg a + 𝛑n, где n∈Z.

А уравнения ctg x = a – по формуле

   Х = arcctg a + 𝛑n, n∈Z.

В некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

1) sin x = 0;        x=𝛑n.

2) sin x = 1;        x=  + 2𝛑n.

3) sin x = -1;       x= -  + 2𝛑n.

4) cos x = 0;       x=  + 𝛑n.

5) cos x = 1;       x= 2𝛑n.

6) cos x = -1;     x= 𝛑 + 2𝛑n.

7) tg x = 0;         x = 𝛑n.

8) ctg x = 0;       x =  + 𝛑n.

1. Решить уравнения:

           а)  sin x = .

Решение:  х = (-1)narcsin  + 𝛑n,

где n∈Z. Так, как arcsin  = , то

х = (-1)n  + 𝛑n, где n∈Z.

Ответ: х=(-1)n  + 𝛑n, где n∈Z.

            б)  cos 3x = - .

Решение: 3х = ± arccos (-  ) +

2𝛑n, где n∈Z. Так, как arccos(-)=

𝛑- arccos  = 𝛑 -  = , то   получаем  3х = ± + 2𝛑n, где n∈Z

   Х= ±  + , где n∈Z.

  Ответ:  х = ±   +  , где n∈Z.    

             в)  tg  = 2.

Решение:       = arctg 2 + 𝛑n,где n∈Z,

          Х = 2 arctg 2 + 2𝛑n, где n∈Z.

Ответ: х = 2 arctg 2 + 2n, где n∈Z.

 РЕШИТЬ  УРАВНЕНИЯ:

           1. cos 2x = 1

              2. sin x -   = 0;

              3. tg  = - 1;

              4.  2cos x = -1;

              5. sin (2x - ) = ;

              6. 2 cos( x - ) = 1;

              7. 2 sin(x + ) = ;

              8. cos(  - 3x) = ;

              9. sin (  + x) = ;

            10. sin 5x = 0;

            11. 2 sin  cos  = ;

            12. cos2 x – sin2 x = ;

            13. cos2 x – sin2 x = ;

            14. sin2 x – cos2 x = 1

            15. 2 cos x +  = 0;

            16. tg x  ctg x + cos x = 0.