Конспект урока по теме " Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов" 7 класс.
план-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Конспект урока по теме:

 « РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ».

Цели: 1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители и их комбинации.

2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

3. Побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: магнитная доска, набор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы, копировальная бумага.

Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа урока ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Этап I. Начало урока посвящается повторению.

В парах выполняется задание теста 1 (3 мин):

ТЕСТ 1

1. Соединить линиями соответствующие части определения.

Оценка- 2 балла.

2. Завершить утверждение.

Представление многочлена  в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.

Оценка – 2 балла.

3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.

Оценка – 2 балла.

4. Отметить знаком плюс «+» верные выражения.

 +  а) а2 + b2 – 2ab = (a-b)2;

     б) m2 + 2mn – n2  = (m-n)2;

     в) 2 p t - p2 - t2 = (p - t)2;

 +  г) 2 c d+c2 + d2 = (c+d)2.

Оценка – 4 балла (по 1 баллу за каждое верно выбранное и верно невыбранное выражение).

ТЕСТ 2

Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.

Вынесение общего множителя

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка

Бывает, что члены многочлена не имеют множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения

Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. «Математическая эстафета» (7 мин).

Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два задания на каждую парту). Эти же задания записаны на доске. Ученики, получившие листок, выполняют первые два задания (разрешается совместная работа) и передают листок впереди сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса.

Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству рядов) с выполненными 8 заданиями.

Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат восемь примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью кодоскопа. В этой работе оценивается коэффициент участия в решении.

Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

Задания

1-й ряд

1. 3 a +12 b
2. 2a + 2b + a2 + ab
3. 9 a2 – 16 b2
4. 7 a2 b – 14 ab 2+ 7ab
5. m2 + mn – m – mg – ng + g
6. 4a2 - 4ab + b2
7. 2 (3a2 + bc) + a (4ab + 3c)
8. 25 a2 + 70 ab + 49b2

2-й ряд

Разложить на множители:

1. 16a2 + 8ab + b2
2. 3m - 3n + mn - n2
3. 5a - 25b
4. 4a2 - 3ab + a – ag + 3bg - g
5. 9a2 - 30ab + 25b2
6. 2 (a2 + 3bc) + a (3b + 4c)
7. 144 a2 - 25b2
8. 9a3b - 18ab3 - 9ab

 3-й ряд

1. 10a + 15c
2. 4a2 - 9b2
3. 6xy – ab - 2bc - 3ay
4. 4a2 + 28ab + 49b2
5. b(a+c)  + 2a + 2c
6. 5a2 c - 20acb - 10ac
7. x2 - 3x - 5x +15
8. 9a 2- 6ac +c2

ЭТАП  II.

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов. Поэтому, чтобы успешно решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.

Задание  4. Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом (6 мин).

У доски одни и те же примеры выполняют несколько учащихся с последующей проверкой правильности выполнения учащимися класса.

Пример 1.36 a6 b3  - 96 a4 b4  + 64 a2 b5.

Решение. 36 a6 b3  - 96 a4 b4  + 64 a2 b5  = 4 a2 b3 (9 a4  - 24 a2 b + 16 b2 ) = 4 a2 b3 (3 a 2 -4 b)2.

          Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. a2 + 2ab + b2-c2 = (a2 + 2ab + b2 - c2).

Решение. a2 + 2ab + b2 - c2 = (a2 + 2ab + b2) - c2 = (a+b)2 - c2 = (a + b - c) x (a + b - c).

Комбинировали два приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. y2 - 3y2 + 6y - 8.

Решение.y3-3y2+6y-8=(y3-8)-(3y2-6y)=(y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2)=(y-2)(y2+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4).

Проверка: (y - 2) (y2 – y + 4) = y3 - y2 + 4y - 2y2 + 2y – 8 = y3 - 3y2 + 6y - 8.

Комбинировали три приема:

- группировку;

- формулы сокращенного умножения;

- вынесения общего множителя за скобки.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

Пример 4.n3 + 3n2 + 2n.

Решение. n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=n(n2+2n+n+2)=n((n2+2n)+(n+2))=n(n(n+2)+n+2)=n(n+1)(n+2).

Комбинировали три приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- предварительное преобразование;

- группировку.

Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прием разложения на множители – предварительное преобразование.

Даем ему характеристику.

Оценка – 4 балла (по 1 баллу за каждый правильно, самостоятельно решенный пример).

Задание 5. (7мин) Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ax2+bx+c=0(a≠0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества.

1.Решить уравнения:

а) x2-15x+56=0

Решение.

x2-7x-8x+56=0,

(x2-7x)-(8x-56)=0,

x(x-7)-8(x-7)=0,

(x-7)(x-8)=0,

x-7=0 или x-8=0,

x=7 или x=8.

Ответ: 7; 8.

b) x2+10x+21=0

Решение.

x2+10x+25-4=0,

(x+5)-4=0,

(x+5-2)(x+5+2)=0,

(x+3)(x+7)=0,

x+3 или x+7=0,

x=-3 или x=-7.

Ответ: -3,-7.

Отмечаем, что при разложении многочлена x2+10x+21 на множители мы «увидели» полный квадрат (x2+10x+25=(x+5)2) и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

2. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (3n-4)2-n2 кратно 8.

Решение. (3n-4)2-n2=(3n-4-n)(3n-4+n) = (2n-4)(4n-4)=8(n-2)(n-1).

Так как в полученном произведении один множитель делится на 8, то все произведение делится на 8.

3. Вычислить 38,82+83 ∙ 15,4-44,22.

Решение. 38,8+83 ∙ 15,4-44,22=83 ∙ 15,4-(44,22-38,82)=83 ∙ 15,4-(44,2-38,8) (44,2+38,8) = 83 ∙ 15,4-5,4 ∙ 83=83 ∙ (15,4-5,4) = 83 ∙ 10=830.

4.Доказать тождество:

 (a2 + 3a)2 + 2(a2 +3a) = a (a + 1) (a + 1) (a + 2) (a + 3).

Способ  I

Преобразуем левую часть равенства  в правую.

(a2+3a)2 + 2 (a2+3a) = (a2+3a) (a2+3a + 2) = (a2 +3a) (a2 + 2a + a + 2) = a (a +3) (a (a+2) +(a+2)) = a (a+3) (a+2) (a+1) = a (a+1) (a+2) (a+3) ч.т.д.

                     Способ  II

    Преобразуем правую часть равенства в левую.

a (a+1) (a+2) (a+3) = (a (a+3)) ((a+1) (a+2)) = (a2+ 3a) (a2+3a +2) = (a2+ 3a)2 +2(a2 + 3a) ч.т.д.

            Для каждой задачи задания 4 указываем комбинацию применяемых примеров.

Оценка -  6 баллов (по 1 баллу за каждое правильное решение).

Этап  III.

Задание 6. (Резерв времени 5 мин).

Учитель предлагает ученикам в тетрадях и «за доской» выполнить следующие задачи на выбор:

1. Доказать, что число 370 ∙ 371 ∙ 372 ∙ 373 + 1 можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.

(5 баллов.)

2. Доказать, что значение выражения  2x2+4x+4y2-2x+1  неотрицательно при любых значениях x и y.

(4 балла.)

         Учитель наблюдает за работой и при необходимости помогает, руководит работой учеников.

         Указания:

1. a (a+1) (a+2) (a+3) +1 = (a2 +3a +2) (a2 + 3a) +1 = ((a2 +3a +1) +1) ((a2 +3a +1) -1) = (a2 +3a +1) 2.

В нашем случае a =370.

Доказательство:

2. 2x2 + 4 xy + 4y2 -2x +1 = (x2 +4xy +4y2) + (x2 -2x +1) = (x + 2y)2 + (x – 1)2 ≥ 0, т.к.  (x + 2y)2 ≥ 0 и (x -1)2 ≥ 0 при любых x  и y.

Как только ученики у доски справятся с работой, им можно предложить сесть на свое место, а потом каждый по очереди объяснит свое решение у доски. (Остальные проверяют выполнение задания на доске и у себя в тетрадях).

Учащиеся проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою работу на уроке.

Подведение итогов урока. (2 мин)

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировки, использование формул сокращенного умножения, - учащиеся познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.

Домашнее задание:

Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока