Применение производной к исследованию функций
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему
В работе приводится теоретический материал по исследованию функций и задания открытого банка задач ЕГЭ по данной теме
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 126 КБ |
Предварительный просмотр:
Цели:
- изучив теоретический материал иметь представление
монотонности и экстремума функций.
- научиться находить промежутки монотонности и экстремумы
функций, а так же точки перегиба и промежутки выпуклости.
- научиться применять изученный материал к решению задач.
Исследование функции на монотонность и экстремумы.
1.Теорема: Если производная функции у=f(x) в данном промежутке значений x положительна, то функция возрастает на этом промежутке; а если производная отрицательна, то функция убывает.
Экстремумом функции являются точки максимума и минимума.
---если при переходе через точку x1 производная меняет знак с (+) на (-) , то функция у=f(x) в точке x1 имеет максимум,
--- если при переходе через точку x2 производная меняет знак с (-) на (+) , то функция у=f(x) в точке x2 имеет минимум,
--- если знак производной не меняется, то функция не имеет экстремума.
2. Алгоритм исследования функции на монотонность:
1) Найти область определения D(f).
2) Найти производную функции f /(x).
3) Найти критические точки первого рода, то есть f / (x) =0.
4) Расположить критические точки в порядке возрастания на числовую прямую и определить знак производной f /(x) на каждом из интервалов.
5) Сделать вывод:
--- если f / (x)>0, то у=f(x) возрастает
--- если f / (x)<0, то у=f(x) убывает.
Задание : Исследовать функцию y=3x4-6x2+4 на монотонность и экстремумы.
Решение: По алгоритму исследуем функцию
- Найдем область определения: D(f)=R.
- Найдем производную данной функции y/ =12x3-12x.
- Приравняем производную к нулю y/=0
12x3-12x=0
Найдем критические точки 12x(x2-1)=0
x=0 или x2-1=0
x1=1 x2=-1
4) Расположим критические точки на числовой прямой и расставим знаки на каждом промежутке.
__ + __ +
X
-1
0 1
min max min
5) Вывод: функция у=f(x) убывает при x , так как f / (x)<0
функция у=f(x) возрастает при x , так как f / (x)>0
точки min: x=-1 y=1
x=1 y=1
точка max: x=0 y=4
Значения функции y для точек максимума и минимума находим, подставляя в исходное уравнение.
Выпуклость функции. Точки перегиба.
1.Выпуклость графика функции.
Y
x
a x1 b x2
График функции y=f(x) на промежутке (a;b) называется выпуклым вверх, если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках x1 промежутка (a;b).
График функции y=f(x) на промежутке называется выпуклым вниз, если график расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках x2 промежутка.
2. Признак выпуклости графика.
Пусть функция y=f(x) , где x (a;b) имеет первую и вторую производные. Тогда, если f//(x)<0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке график функции выпуклый вверх; если же f//(x)>0, то график функции выпуклый вниз.
Задание Исследовать функцию y=x3-3x2+2x+1 на выпуклость.
Решение: 1) Найдем первую производную y/=3x2-6x+2
2) Найдем вторую производную y//=6x-6
Приравняем ее к нулю, т.е. y//=0
6x-6=0
x=1
3) Расставим эту точку на числовую прямую. И исследуем знак второй производной на интервалах:
- + x
1
4) Вывод: -- график выпуклый вверх при x(-
;1] , т .к. f//(x)<0
-- график выпуклый вниз при x[1;+
), т.к. f//(x)>0
3. Точки перегиба.
Определение: Точка графика дифференцируемой функции, являющаяся одновременно концом интервала выпуклости вниз и концом интервала выпуклости вверх, называется точкой перегиба.
Задание : Найти точки перегиба функции y=x4-2x3+1
Решение: 1) Найдем первую производную функции y/=4x3-6x2
2) Найдем вторую производную функции y//=12x2-12x=12x(x-1)
Приравняем y//=0
12x(x-1)=0
x=0 или x=1 – критические точки второго рода
3) Расставим критические точки второго рода на числовую прямую и исследуем знак на интервалах:
+ - + x
0 1
x=0 y=1 точка (0;1) точки перегиба
x=1 y=0 точка (1;0)
Производная в заданиях единого государственного экзамена.
В 9 . Графики функций, производных функций. Исследование функций.
1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
2. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение.
3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [-13;1].
4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-2; 6 ].
5. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.
6. На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней.
7. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] f(x) принимает наибольшее значение.
9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 4). В какой точке отрезка [-6; -1 ] f(x) принимает наибольшее значение.
10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
9.
Литература: 1 В.П. Григорьев. “Элементы высшей математике”
Москва, 2007г. Издательский центр, “Академия”.
2. Открытый банк задач ЕГЭ по математике
3 В.Г. Власов. “Конспект лекции по высшей
математике”. Москва. 2007 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка учебного занятия по теме" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции"
Разработка учебного занятия по теме :" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции". Урок является логическим продолжением изучаемого материала. Р...
Производная. Геометрический смысл производной. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
Урок обобщения и систематизации знаний. Осуществляется подготовка к ЕГЭ по заданиям с производной. Используются различные формы работы (фронтальная, групповая, самостоятельная работа учащихся)....
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/11/picture-340854-1384162203.jpg)
Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций
В данной презентации рассматриваются задачи, взятые из открытого банка задач ЕГЭ по математике. Каждая рассматриваемая задача визуально анимированная, что способствует хорошему осмыслению изучаемого м...
ЭОР "Применение производной к исследованию функций, построению графиков функций и решению задач"
Разработка открытого урока по алгебре в 11 классе по теме "Применение производной к исследованию функций, построению графиков функций и решению задач"...
![](/sites/default/files/pictures/2020/02/13/picture-243625-1581610950.jpg)
Материал для самоподготовки обучающихся по теме "Применение производной для исследования функций. Возрастание и убывание функции"
Материал для самоподготовки учащихся вечерней школы....
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/21/picture-83379-1350819786.jpg)
Самостоятельная работа по алгебре 10 класс "Применение производной к исследованию функции. Геометрический смысл производной, касательная."
Самостоятельная работа представлена в 4 вариантах. Состоит из заданий В-7 открытого банка заданий ЕГЭ, профильный уровень....