Применение производной к исследованию функций
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

Цели: 

               - изучив теоретический материал иметь представление

                 монотонности и экстремума  функций.

               - научиться находить промежутки монотонности и экстремумы

                 функций, а так же точки перегиба и промежутки выпуклости.

              - научиться применять изученный материал к решению    задач.

Исследование функции на монотонность и экстремумы.

1.Теорема: Если производная функции у=f(x) в данном промежутке значений x положительна, то функция возрастает на этом промежутке; а если производная отрицательна, то функция убывает.

   Экстремумом функции являются точки максимума и минимума.

---если при переходе через точку x1 производная меняет знак с (+) на (-) , то функция у=f(x) в точке x1 имеет максимум,

--- если при переходе через точку x2 производная меняет знак с (-) на (+) , то функция у=f(x) в точке x2 имеет минимум,

--- если знак производной не меняется, то функция не имеет экстремума.

2. Алгоритм  исследования функции на монотонность:

      1) Найти область определения D(f).

      2) Найти производную функции f /(x).

      3) Найти критические точки первого рода, то есть f / (x) =0.

      4) Расположить критические точки в порядке возрастания на числовую                                прямую и определить знак производной  f /(x) на каждом из интервалов.

      5) Сделать вывод:

  --- если   f / (x)>0, то    у=f(x)  возрастает

  --- если   f / (x)<0, то    у=f(x)  убывает.

Задание :       Исследовать функцию y=3x4-6x2+4 на монотонность и экстремумы.

Решение:    По алгоритму исследуем функцию

1. Найдем область определения: D(f)=R.
2. Найдем производную данной функции y/ =12x3-12x.
3. Приравняем производную к нулю y/=0    

                12x3-12x=0                                                              

Найдем критические точки    12x(x2-1)=0                                                                                                                                                                

                                           x=0  или   x2-1=0

                                                           x1=1     x2=-1

    4)   Расположим критические точки на числовой прямой и расставим знаки на каждом промежутке.

      __          +               __                   +                

 X  

       -1    0                   1

          min          max              min                

   5)  Вывод: функция у=f(x) убывает при x , так как f / (x)<0

        функция у=f(x) возрастает при x , так как f / (x)>0

                     точки min: x=-1  y=1

                                        x=1   y=1

                      точка max: x=0  y=4

Значения функции y для точек максимума и минимума находим, подставляя в исходное уравнение.

Выпуклость функции. Точки перегиба.

1.Выпуклость графика функции.

           Y                                                    

  x                

                 a x1 b          x2

      График функции y=f(x) на промежутке (a;b) называется выпуклым вверх, если график расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках x1 промежутка (a;b).        

      График функции y=f(x) на промежутке  называется выпуклым вниз, если график расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках x2 промежутка.

2. Признак выпуклости графика.

Пусть функция  y=f(x) , где x (a;b) имеет первую и вторую производные. Тогда, если f//(x)<0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке график функции выпуклый вверх; если же f//(x)>0, то график функции выпуклый вниз.

Задание    Исследовать функцию y=x3-3x2+2x+1 на выпуклость.

Решение:    1) Найдем первую производную y/=3x2-6x+2

2) Найдем вторую производную  y//=6x-6

  Приравняем ее к нулю, т.е. y//=0

                                              6x-6=0

                                                x=1

3) Расставим эту точку на числовую прямую. И исследуем знак второй производной на интервалах:

                         -       +             x

                              1        

4) Вывод: -- график выпуклый вверх при x(-;1] , т .к. f//(x)<0

        -- график выпуклый вниз при x[1;+), т.к. f//(x)>0

3. Точки перегиба.

Определение: Точка графика дифференцируемой функции, являющаяся одновременно концом интервала выпуклости вниз и концом интервала выпуклости вверх, называется точкой перегиба.

Задание :   Найти точки перегиба функции y=x4-2x3+1

Решение:    1)  Найдем первую производную функции  y/=4x3-6x2

2) Найдем вторую производную функции y//=12x2-12x=12x(x-1)

Приравняем y//=0

                     12x(x-1)=0

                x=0   или   x=1 – критические точки  второго рода

3) Расставим критические точки второго рода на числовую прямую и исследуем знак на интервалах:

+             -             +                x

       0              1

x=0     y=1            точка (0;1)     точки перегиба

x=1     y=0            точка (1;0)  

Производная в заданиях единого государственного экзамена.

В 9 . Графики функций, производных функций. Исследование функций.

1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

2. На рисунке изображен график  — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение.

3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [-13;1]. 

4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-2; 6 ].

5. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

6. На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней. 

7. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] f(x) принимает наибольшее значение.

9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 4). В какой точке отрезка [-6; -1 ] f(x) принимает наибольшее значение.

10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

9.

Литература:     1 В.П. Григорьев. “Элементы высшей математике”  

                          Москва, 2007г. Издательский центр, “Академия”.

                         2. Открытый банк задач ЕГЭ по математике

                         3 В.Г. Власов. “Конспект лекции по высшей                  

                          математике”. Москва. 2007 г.