Опыт работы учителя математики Денисоваой Т.В. в реализации технологии укрупнения дидактических единиц на уроках математики на основе деятельностного подхода.
статья по алгебре на тему
В статье описывается опыт работы применение технологии УДЕ на уроках математики
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 publikatsii_2014.doc | 288.5 КБ |
| prilozhenie_k_sate_uroki.doc | 104 КБ |
Предварительный просмотр:
Опыт работы учителя математики Денисоваой Т.В. в реализации технологии укрупнения дидактических единиц на уроках математики на основе деятельностного подхода.
Преобразования, происходящие в системе образования России в целом, не могли не сказаться на математическом образовании.
Каждый неравнодушный учитель задумывается над тем, как сделать процесс обучения эффективным, доступным, направленным на развитие индивидуальности ребенка наряду с воспитание нравственных и других качеств. Перед учителем встает проблема: как уменьшить время обучения, не уменьшая количества информации?
Одним из таких эффективных подходов является построение обучения математике на основе уплотнения его содержания.
Традиционно педагогический процесс структурировался таким образом, чтобы обеспечить, прежде всего, усвоение знаний, умений и сформировать навыки. Подобная направленность обучения не развивает личность, ориентированную на творчество, приводит к утрате первоначальной любознательности школьников, порождает равнодушие к учению, не обеспечивает формирование способности мыслить самостоятельно, а в некоторых случаях и разрушает способность к мыслительной деятельности, что особенно остро ощущается в среднем звене школы.
Все согласны с тем, что нет «царского пути в математику». Много труда и терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знаний по этому предмету. (Эрдниев)
Сущность технологии УДЕ сводится к объединению знаний во времени или в пространстве. Элементы знания, разведены по традиции по разным разделам и годам обучения, объединяются и образуют целостный сплав структурно новых знаний.
Технология УДЕ реализует системный подход в обучении. Многократный возврат к изучаемому материалу в связи с новыми знаниями, «движение по спирали» к более глубокому их усвоению может быть осуществлено лишь при системном подходе к обучению, когда вопрос о целесообразности и времени возврата к ранее изученному решается на основе анализа всей совокупности подлежащих усвоению единиц информации и взаимосвязей между ними.
Переработка информации мозгом человека осуществляется на подсознательном и сознательном уровнях одновременно.
Укрупнению единиц усвоения так же благоприятствует расположение записей структурно связанных упражнений в двух параллельных столбцах, друг против друга. То, что зрительно воспринимается рядом, легче противопоставить и связать логически, словесно.
Ключевым упражнением по УДЕ является составление и решение обратных задач. В методике составления и решения взаимообратных задач наиболее цены не, сколько сами процессы решения задач как таковых, а переосмысление их содержания с возвратом к первоначальным рассуждениям, то есть составление новых фраз на базе известных слов и чисел. Обратная задача для школьника – это своего рода исследовательская задача.
В математике слишком многие элементы изучаются порознь, вместо того чтобы в соответствии с логикой их связей изучать совместно, чтобы образовать систему знаний, которая, подобно живому кристаллу, была бы устойчива по отношению к разрушающему воздействию времени.
Понятие укрупнения дидактических единиц достаточно обширно, оно вбирает следующие взаимосвязанные подходы к обучению:
- совместное и одновременное изучение взаимосвязных действий, операций, функций, теорем;
- обеспечение единства процессов составления и решения задач;
- рассматривание во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности деформированных упражнений);
- обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
- реализация принципа дополнительности в системе упражнений.
Главнейшей особенностью укрупненной единицы усвоения является то, что она создаёт условия для постижения богатства связей и переходов между компонентами единого знания.
При таком подходе учащиеся на уроках больше рассуждают, больше производят самостоятельно мыслительных операций. Это объяснимо дидактически: укрупнение единиц усвоения обязательно приводит к возрастанию информационного потока, проходящего в единицу времени через органы восприятия школьниками.
Урок математики, построенный сознательно на необходимости укрупнения знаний, заботится об окружении основного понятия, о наращивании знаний вокруг логического ядра урока, о повторении материала через его развитие, преобразование.
Обратные задачи уместно вводить, начиная с элементарных заданий, используемых для проверки сообразительности.
Например, работая в 5-х классах, использую задания:
- Составить ряд чисел: на первом месте любое натуральное число. Второй член получить из первого, увеличив его в два раза. Третий член получить из второго, увеличив второе на 2, т.е. член ряда с четным номером больше предыдущего в 2 раза, с нечетным номером больше предыдущего на 2.
1, 2, 4, 8, 10, 20, 22, 44, 46 ….
- Даны шесть членов ряда 4, 7, 21, 24, 72, 75…
Дописать ещё несколько членов ряда.
- Придумайте своё аналогичное задание, и предложи соседу по парте.
В ходе изучения геометрии я пришла к выводу, что некоторые темы усваиваются лучше, если их изучать с помощью технологии укрупнения дидактических единиц. Прямую и обратную теорему рассматриваю одновременно. Делим лист на две половины – слева записываем прямую теорему, доказывая вместе, а справа ученики формулируют, записывают обратную теорему и самостоятельно доказывают её.
Так, изучение темы, в 7 классе, «Параллельные прямые» строю следующем образом:
- На первом уроке вводится определение параллельных прямых, секущей, рассматриваем углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, и выполняем практическую работу.
- На втором уроке вводится определение аксиомы, рассматриваются аксиомы параллельных прямых, и совместно изучаем признаки и свойства, в виде приведенной ниже таблице, причем обратные теоремы учащиеся формулируют и доказывают самостоятельно.
При заполнении таблицы, учащиеся впервые встречаются с понятием прямая и обратная теорема, и они наглядно, с помощью таблицы видят, как составить обратную теорему.
Признаки параллельности прямых Прямая теорема (условие – заключение) | Свойства параллельности прямых Обратная теорема (заключение – условие) |
Т. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. а в с Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая 1 и 2 – накрест лежащие углы, 1 = 2 Доказать (заключение) : а // в | Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. с а в Дано (заключение): а, в – прямые, с- секущая 1 и 2 – накрест лежащие углы, а // в Доказать (условие): 1 = 2
|
Т. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. с а в Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая 1 и 2 –соответственные углы, 1 = 2 Доказать(заключение) : а // в | Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующие углы равны. а в с Дано(заключение): а, в – прямые, с- секущая 1 и 2 –соответственные углы, а // в Доказать (условие): 1 = 2 |
Т. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. а 1 в 2 с Дано (условие): а, в – прямые, с- секущая 1 + 2 = 1800 Доказать(заключение): а // в | Т. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800. а 1 в 2 с Дано (заключение): а, в – прямые, с- секущая 1 и 2 – односторонние углы, а // в Доказать (условие): 1 + 2 = 1800 |
На признаки параллельности прямых отводится 3 урока и на свойства параллельности прямых 4 урока. При таком подходе на рассмотрение теоретического материала уходит один урок, остальные уроки идут на решение задач.
При изучении темы «Прямоугольные треугольники», свойства 20 и 30 доказываем с ребятами вместе, и записываем в виде таблицы:
Теорема | Обратная теорема |
Т. Катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 300, равен половине гипотенузы. Дано: ∆АВС, Доказать: АС = 0,5 ВС | Т. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300. Дано: ∆АВС, АС = 0,5 ВС Доказать: |
В
Д А С | |
Доказательство: 1. приложим к ∆АВС равный ему ∆АВД получим, ∆ ВСД | |
В = 600 Д = 600 ∆ ВСД – равносторонний ДС = ВС, но АС = 0.5 ДС, значит АС = 0.5 ДС | ∆ ВСД – равносторонний
|
При изучении темы «Параллелограмм, его свойства и признаки» в 8 классе, на первом уроке ввожу определение параллелограмма, и совместно изучаем свойства и признаки, оформляя в тетради и на доске таблицу свойства и признаки параллелограмма, а на последующих двух уроках идет отработка и контроль знаний, умений и навыков.
Свойства параллелограмма | Признаки параллелограмма |
Т. В параллелограмме противоположные стороны равны. Дано: АВСД – параллелограмм. Доказать: АВ =СД, ВС =АД. | Т. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник параллелограмм. Дано: АВСД – четырёхугольник, АВ = СД, ВС = АД. Доказать: АВСД – параллелограмм. |
В С
A D
Проведем диагональ АС | |
Рассмотрим ∆ АВС и ∆ СДА, треугольники равны по стороне прилежащим углам, поэтому АВ = СД, АД = ВС. | Рассмотрим ∆ АВС и ∆ СДА, треугольники равны по трем сторонам, поэтому АВ // СД АД // ВС АВСД – параллелограмм. |
Т. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Дано: АВСД – параллелограмм Доказать: АО = ОС, ВО = ОД | Т. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Дано: АВСД – четырёхугольник, АО = ОС, ВО = ОД. Доказать: АВСД – параллелограмм. |
В А
| |
Доказательство: | |
Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОД, они равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому АО = ОС, ВО = ОД | Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОД, они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
АВ // СД; ∆ АОД = ∆ СОВ (1пр) АВСД - параллелограмм |
Точно так же поступаю при изучении темы «Прямоугольник. Ромб. Квадрат». На первом уроке вводится определение прямоугольника, рассматриваются его свойства и признаки (в таблице), вводится определение ромба и квадрата, рассматриваются их свойства.
Свойства | Признак |
Т. Диагонали прямоугольника равны. Дано: АВСД – прямоугольник. Доказать: АС = ВД | Т. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Дано: АВСД – параллелограмм АС = ВД Доказательство: АВСД – прямоугольник. |
Доказательство: | |
∆ АВД и ∆ ДСА – прямоугольные, ∆ АВД = ∆ ДСА (по двум катетам) АС = ВД | 1. ∆ АВД = ∆ ДСА ( по трем сторонам) 2.
А = АВСД - прямоугольник |
Эффект укрупнения основан на том, что одни и те еж слова, входящие в состав как прямой, так и обратной теорем, фиксируются в памяти как бы однократно; преобразование же теоремы в обратную сводится к перестановке уже воспринятых слов. Поэтому формулирование и доказательство обратной теоремы осуществляется в несколько раз быстрее, чем прямой теоремы. Это дает возможность больше времени отводить решению задач.
В программе обучения содержатся и другие группы взаимосвязанных вопросов, которые изучаются раздельно. По характеру мыслительных процессов они совершенно сходны, поэтому целесообразно изучать одновременно взаимно обратные действия и операции. Так при изучении распределительного закона умножения в пятом классе, рассматриваем две операции, которые выполняются с помощь этого метода:
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
С (А + В) = СА + СВ
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Раскрыть скобки Вынести общий множитель за скобки
4(х + 3) = 4х + 12 4х + 12 = 4(х + 3)
3(с + 5) = 3с + 15 3с + 15 = 3(с + 5)
2(у – 7) = …….. 2у – 14 = ……..
При совместном изучении тем «Нахождение дроби от числа» и «Числа по его дроби» решение задач записываем в таблицу.
Нахождение дроби от числа | Нахождение числа по его дроби |
Задача. Для собаки купили 24 кг сухого корма. За две недели она съела этого корма. Сколько корма съела собака за две недели? Первый способ:
Второй способ: 24 = 18 (кг) | Задача. За две недели собака съела купленного корма, что составило 18 кг. Сколько корма купили собаке? Первый способ:
Второй способ: 18 : = 24 (кг) |
Вывод: чтобы найти дробь от числа нужно умножить число на эту дробь. | Вывод: чтобы найти число по данному значению его дроби нужно это значение разделить на дробь. |
Примеры: найти от 16; 0,4 от 200; 42% от 60. | Примеры: найти число, если числа составляют 16; 0,4 числа составляют 200; 42% числа составляют 60. |
При изучении темы «Прямо пропорциональная зависимость» и «Обратно пропорциональная зависимость» рассматриваем сначала таблицу зависимости между тройками некоторых величин, с которыми неоднократно встречаемся при решении задач, а затем решение задач записываем в таблицу.
Множитель | Множитель | Произведение | Формула |
Скорость (v) | Время (t) | Путь (s) | S = vt |
Производительность(v) | Время (t) | Работа (A) | A = vt |
Количество товара (n) | Цена (a) | Стоимость © | C = na |
Длина (a) | Ширина (b) | Площадь прямоугольника(S) | S = ab |
Прямая пропорциональность | Обратная пропорциональность | ||
Задача: Автомобиль едет с постоянной скоростью 60 км/ч. С помощью формулы опишите расстояние, пройденное автомобилем за время t. Как изменится формула, если время будет увеличиваться или уменьшаться? Решение: S = v t, так как v = 60км/ч то S = 60 t. Если время увеличить в несколько раз, то и расстояние тоже увеличиться во столько же раз: 5 S = v (5 t) (Если время уменьшается, то и расстояние тоже уменьшается). t = 2 ч S = 60 2 = 120 (км) t = 5 ч S = 60 5 = 300 (км) | Задача: Расстояние между двумя посёлками 24 км. Велосипедист, скорость которого 12 км/ч, проедет это расстояние за 2 часа. За какое время пройдет это расстояние пешеход, если его скорость 4 км/ч? Решение: S = v t t = S = 24 км V = 12 км/ч t = V = 4 км/ч t = Что у нас получилось? Одна величина уменьшилась в несколько раз, а другая увеличилась во столько же раз. | ||
Определение: две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз. | Определение: две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. |
После отработки этой темы, переходим к рассмотрению задач с помощью пропорций.
Сначала составляем алгоритм решения задач с помощью пропорций:
- Неизвестное число обозначаем буквой х.
- Условие задачи записываем в виде таблицы.
- Устанавливаем вид зависимости между величинами.
- Прямо пропорциональная зависимость – стрелки одинаково направлены; обратно пропорциональная зависимость – стрелки противоположно направлены.
- Записываем пропорцию.
- Находим неизвестный член.
Затем записываем примеры в виде таблицы:
Прямо пропорциональная зависимость | Обратно пропорциональная зависимость |
Задача: Автомобиль на 56,8км пути затратил 4,26л бензина. Сколько литров бензина потребуется ему, чтобы проехать 160км? Решение: Пусть х л – расход бензина на 160км. Расход бензина прямо пропорционален пройденному пути. 56,8 км - 4,8 л 160 км - х л Ответ: потребуется 12 л бензина. | Задача: Расстояние между двумя поселками 12,5км, велосипедист затратил 0,7ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть этот путь за 0,5ч? Решение: Пусть х км/ч – искомая скорость велосипедиста. Скорость движения обратно пропорциональна времени. 12,5 км/ч - 0,7 ч х км/ч - 0,5 ч Ответ: 17,5км/ч. |
Так понятие пропорция и проценты лучше изучать вместе в 5 классе, причем решение любого вида задач на проценты сводится к единообразному алгоритму составления пропорции.
Этот метод совместного изучения всех видов задач на проценты хорошо отражен в следующей таблице:
ЗАДАЧА | Нахождение процента от числа | Нахождение числа по проценту | Нахождение процентного отношения |
В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои? | В семенах сои содержится 20% масла. Сколько надо взять сои, чтобы получит 140 кг масла? | Из 700 кг сои было получено 140 кг масла. Сколько процентов масла содержится в семенах сои? | |
1. Изобразим условие задач в виде таблицы | |||
2. Составим пропорцию | |||
3. Найдем неизвестный член пропорции. | Х = 140 | У = 700 | Z = 20 |
4. Ответ | В 700 кг сои содержится 140 кг масла | Сои надо взять 700 кг. | В семенах сои содержится 20 % масла. |
Важно подчеркнуть, что все три вида задач на проценты решаются единым алгоритмом, основанном на выполнении следующих последовательности шагов:
- Запиши условие задачи, в левом верхнем углу написав «100%»;
- Запиши проценты под процентами;
- заполни таблицу числами, а искомую величину обозначь буквой;
- Составь уравнение (пропорцию) и реши его (найди неизвестный член пропорции).
При такой методике укрупнённой подачи знаний исчезает необходимость изучения темы «Проценты» в трёх отдельных подтемах, т.е. становится ненужным ни запоминание названия вида задачи, ни запоминания словесных правил решения каждого вида задач в отдельности. Этот пример способствует существенному улучшению качества знаний при объединении в одном разделе логически родственных вопросов.
В 9 классе изучаю совместно арифметическую и геометрическую прогрессии. На изучение арифметической прогрессии отводится 4 часа, а геометрической – 5 часов по плану, причем по одному часу от каждой темы берётся на изучение новой темы, а на отработку умений отводится 3 и 4 часа соответственно. Применяя технологию укрупнения дидактических единиц, мы на первом уроке знакомимся с основными понятиями и формулами, записывая их в таблицу, а на последующих 8 уроках идет отработка применения формул к решению задач, контроль знаний, умений и навыков.
Приведу фрагмент первого урока изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Цели и задачи урока:
- Создать условия для восприятия понятий арифметическая и геометрическая последовательности, формирования умений и навыков использования их характеристических свойств и формул n-ых членов и суммы n-первых членов прогрессий при решении задач.
- Продолжить формирование познавательной активной деятельности, умения логически мыслить, активно рационально, работать.
- Воспитание ответственного отношения к учебному труду, умения преодолевать учебные трудности, умения работать самостоятельно.
Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
Это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же умноженному на одно и то же числом. число не равное нулю d – разность арифметической q – знаменатель геометрической прогрессии. прогрессии. d = a2 – a1 | |
Формула n-го члена | |
а2 = а1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ……………………. a100 = a99 + d = a1 + 99d an = a1 + (n – 1) d, где n = 2; 3; 4; …. Пример: а1 = 20, d = 3 а25 - ? а25 = а1 + 24d = 20 + 243 = 92 | b2 = b1q b3 = b2q = b1q2 b4 = b3q = b1q3 ……………………. b100 = b99 q = b1 q99 bn = b1 qn-1 Пример: b1 = 6, q = 2 b5 =? b5 = b1 q5-1 = 624 = 96 |
Каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому геометрическому двух соседних с ним членов
| |
Формула суммы n-первых членов прогрессии | |
при q |
В ходе изучение темы «Степень и её свойства», заполняем следующую схему:
нулевая степень первая степень
После заполнения схемы переходим к выполнению заданий:
- Упрости, применив свойства степени:
23 22; b4 : b0; x10 : x; 5 25; (2ab)5.
23 : 22; c5 c0; 310 : 39; (xy)3;
(23)2; x10 x; 25 25; (a2)7;
- Какое свойство используется для упрощения выражений?
58 + 52 = 510; (32)3 = 36;
0,87 : 0,84 = 0,83; (у7)2 = у14;
(2 5)2 = 4 25 = 100; х2 у2 = (ху)2;
а6 : а4 = а2.
- Найди ошибку и исправь её:
53 54 = 53 4 = 512; 71 = 7;
710 : 72 = 75 ; (- 0,5)14 : (- 0,5)7 = - 0,52 = -0,25;
(-2)3 2 = 16; - 32 3 = 27;
- 52 + 4 = 29; 5 5 5 5 = 45;
23 + 27 = 210.
- Замените ∆ таким выражением, чтобы выполнялось равенство:
(∆)5 = а25; (∆)2 = а10; (а3)2 ∆ = - а24; а6 (а а2)2 = ( а4) ∆;
(∆)3 = а3n; (∆)n = a2n; ∆ a3 = a10; (a a4)2 : ∆ = a2;
(a3)2 ∆ = a24; ∆ a = a2; a12 : ∆ = a6; ∆ : a5 = a6.
При раздельном изучении таких понятий ученики длительное время решают однородные задачи на основе одного правила, и зачастую создается обманчивая видимость успешного усвоения материала. Но после того как «пройдены» порознь обе операции, ученик при решении любой задачи принуждён выбрать один из двух возможных вариантов рассуждения. Вот тут-то и обнаруживается неожиданно дефект обучения. Пока каждая тема изучалась в отдельности, дети не встречались с необходимостью выбора операции, и соответствующее умение у них не вырабатывалось. Отсюда возникают массовые ошибки.
Каким оптимальным набором упражнений, возможно, достичь целостного и прочного усвоения знаний?
Структура одних упражнений такова, что при их выполнении развиваются навыки лишь в прямолинейном применении правил; выполнение других неизбежно связано с осуществлением постоянного контроля, проверки ответа, причём последнее нередко ставится навыком и осуществляется неосознанно.
Учащимся на уроке приходится решать один за другим множества примеров вида (3а – 2в) (3а + 2в) с постепенным усложнением многочленов левой части – это классическая форма упражнений. А если вместо данного примера предложить пример деформированного вида:
( - 2в) ( + 2в) = 9а - ,
то характер мыслительных процессов резко изменится.
Решение таких примеров основывается на поисках недостающих звеньев замкнутого круга умозаключений путем анализа всей записи, что превращает мыслительный процесс в более сложный, более содержательный и поэтому лучше развивающий способности ученика.
Такие задания естественным образом развивают навыки самоконтроля, совершающегося непроизвольно и даже подсознательно.
У учащихся появляется активность при выполнении таких заданий.
Знания учащихся будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются, продуктом собственных размышлений и проб, и закреплялись в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом.
Обучение в школе нужно строить так, чтобы оно представлялось для учащегося серией маленьких открытий, по ступенькам которых ум ученика может подняться к высшим обобщениям.
Обычное дело, когда ученик, выучил признаки деления и решает типичную задачу на прямолинейное применение правила: делится ли число 207 на 9? Но совсем другое дело, если предложено деформированное число 53*8, требуется добавить цифры, чтобы число делилось без остатка на 9. (Приложение 1).
Идея и метод укрупнения дидактических единиц могут получить и получают развитие в преподавании математики в старших классах. При этом укрупнение дидактических единиц идет, как и в основной школе по принципу решения взаимообратных задач, совместному изучению логически связанных понятий и суждений, при этом широко используется прием обобщения по размерности; основным инструментом приёма служат аналогия сходства и аналогия свойств.
Наиболее удобен этот прием при изучении стереометрии, позволяющий органически связать стереометрию (геометрию пространства R3) с планиметрией (геометрию пространства R2).
В качестве примера рассмотрим изучение темы «Плоскость, касательная к сфере». Укрупнение дидактических единиц при этом выглядит так:
Окружность. Касательная к окружности | Сфера. Плоскость касающаяся к сфере |
1. Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. | 1. Определение: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания. |
2. Теорема Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания | 2. Теорема Радиус сферы, проведенной в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. |
В старших классах естественно оформлять укрупненную дидактическую единицу знаковой моделью, используя в качестве модели блок-схему, граф-схему или, наконец, компакт-схему.
Приведем пример оформления с помощью компакт-схемы.
Понятие логарифма.
Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифма.
1. а > 0, а ≠ 1, N > 0
ap = N p = loqa N
aloqaN = N
2.
ар1+ р2 = ар1 · ар2 | Loqa N1N2 = Loqa N1 + Loqa N2 |
ар1- р2 = ар1 : ар2 | Loqa = Loqa N1 - Loqa N2 |
(ар) р2 = ар1р2 | Loqa Nk = K· Loqa N |
В этом примере работает аналогия свойств, которая избавляет от необходимости рассматривать три теоремы о свойствах.
Материал становиться не большим по размеру, информационно ёмким и удобным для запоминания.
Существует афоризм: «Образование есть то, что остается после того, как будет забыто всё, что было выучено».
Предварительный просмотр:
Приложение 1
Тема урока: «Признаки делимости»
Цель и задачи урока:
- Создать условие для восприятия понятий признаки делимости, помочь ребятам открыть признаки делимости чисел; классифицировать признаки в простейших ситуациях; закрепить вычислительные навыки;
- Начать формирование умений и навыков применения признаков делимости;
- Развить мышление и элементы творческой деятельности (интуиции, смекалки, умение сравнивать, анализировать, выявлять закономерности, обобщать, конкретизировать, классифицировать);
- Продолжить формирование познавательной активности деятельности, умения логически мыслить, активно рационально, работать;
- Воспитание ответственного отношения к учебному труду, умения преодолевать учебные трудности, умения работать самостоятельно.
«Отыщи всему начало
и ты многое поймешь»
К. Прутков.
Таблица Признаки делимости.
Число делиться
На | Если: | Пример |
2 | оно оканчивается чётной цифрой 0,2,4,6,8. | 26 оканчивается чётной цифрой 6, оно делится на 2. |
3 | Сумма цифр этого числа делится на 3 | 285 2+8+5=15 делится на 3, значит число 285 делится на 3. |
5 | Оно оканчивается цифрой 0 или 5 | 2505 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5. |
9 | Сумма цифр этого числа делится на 9 | 351 3+5+1= 9, 9 делится на 9, значит число 351 делится на 9. |
10 | Оно оканчивается цифрой 0 | 2850 оканчивается цифрой 0, оно делится на 10. |
4 | Две последние цифры этого числа образуют число, делящееся на 4 | 3164 две последние цифра составляют число 64, оно делится на 4, значит число 3164 делится на 4. |
25 | Оно оканчивается на 00, 25, 50, 75 | 7325 оканчивается на 25, значит оно делится на 25. |
Тема урока: Простые и составные числа. Разложение на простые множители (фрагмент урока).
Цели и задачи урока:
- Создать условие для восприятия понятий простое и составное число, помочь ребятам открыть способ разложения чисел на простые множители;
- Начать формирование умений и навыков разложения на простые числа;
- Продолжить формирование познавательной активности деятельности, умения логически мыслить, активно рационально, работать;
- Воспитание ответственного отношения к учебному труду, умения преодолевать учебные трудности, умения работать самостоятельно.
№ п\п | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
1 | Формулирование темы урока. Постановка учебно-познавательной задачи. Тема сегодняшнего урока «Простые и составные числа. Разложение на простые множители». Давайте вместе с вами сформулируем цели нашего урока. | Записывают тему; формулируют цель: в ходе работы на уроке получить способ разложения на простые множители. |
2 | Мотивационно-ориентировочный этап Актуализация. Дома вам было дано задание найти 15 чисел, которые имеют только два делителя – 1 и само число. Все справились с этим заданием? К доске вызываются 3 ученика, которые записывают свои числа. Запись остается на доске. | Проверяют правильность выполнения. |
3 | Оперативно-исполнительский этап. Сколько делителей имеет, записанные на доске, каждое из чисел? Эти числа называют простыми. Попробуйте сами дать определение простому числу. Ребята, тогда как будут называться числа, которые имеют 3 и более делителей? Попробуйте сами дать определение составному числу. У вас в конце учебника приведена таблица простых чисел от 2 до 997. как вы думаете, почему одни числа выделены белым цветом, а другие черным? Два простых числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Найдите пары таких чисел А как вы думаете, почему в таблице простых чисел нет 1? И вообще, 1 это простое или составное число? Задача. Нужно выделить участок земли прямоугольной формы площадью 18 м2. какими могут быть размеры этого участка, если они должны выражаться натуральными числами? Решая с вами задачу, что мы сделали с числом 18? А какая у нас сегодня с вами задача? Обратите внимание на полученные числа, они простые? Как нам тогда поступить, чтобы получились простые множители? Тогда что у вас получится? Что же значит разложить число на простые множители? Давайте запишем это красиво:
9 3 3 3 1 И так далее. | Два. Формулируют (предлагают свои варианты) определение. Составные. Формулируют (предлагают свои варианты) определение. Работают с таблицей. Предлагают свои варианты. Предлагают свои варианты. Делают вывод, что 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Решают задачу: Ответ: размеры участка могут быть:1м и 18м; 2м и 9м; 3м и 6м. Разложили на множители. Разложение на простые множители. Нет. Разложить составные числа на простые числа. Представить это число в виде произведения простых чисел. |
В результате работы на одном уроке мы знакомимся с понятиями простое и составное число, и показываем для чего это нам надо, и вместо того, чтобы на объяснение материала затрачивать 2 урока, мы затрачиваем один, тем самым, оставляя больше времени на практическую отработку умений и навыков
Совместное изучение тем «Наибольший общий делитель» и «Наименьшее общее кратное» экономит час учебного времени. На изучение тем в отдельности отводится 3 и 4 часа соответственно, но, рассмотрев на одном уроке понятия НОД, взаимно простые числа, НОК, на формирование и контроль умений и навыков остается 6 часов, чего вполне достаточно для хорошего усвоения тем.
Приведу фрагмент такого урока.
В начале урока, дети помогают формулировать цель и задачи урока, повторяют, что называется делителем числа и что такое кратное. Затем делим лист тетради пополам, с одной стороны записываем НОД, с другой – НОК, и выполняем работу.
НОД | НОК | ||
Деятельность учителя | Деятельность ученика | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Запишите через запятую все делители чисел 36 и 52 Выберете и подчеркните, то наибольшее общее число, которое является делителем и 36 и 52. Чем является число 4 для этих чисел Сформулируйте определение НОД. Разложить на простые множители числа 32 и 75 Выберете числа, которые встречаются в разложении этих чисел Оно и является Разложите на простые множители числа 875 и 5625. выберете числа, которые встречаются в разложении этих чисел, т.е. найдите «близнеца», подчеркните их.
Найдите произведение подчеркнутых чисел, оно и будет являться НОД Теперь пользуясь этим примером составьте алгоритм нахождения НОД, Учитель корректирует | Записывают Д(36)– 1,2,4,6,9,12, 18,36 Д(52) – 1,2,4,13,26,52 Наибольшим общим делителем. Формулируют. Выполняют 35 5 75 5 7 7 15 5 1 3 3 1 Это число 5 НОД(35;75) = 5 Выполняют 875 5 5625 5 175 5 1125 5 35 5 225 5 7 7 45 5 1 9 3 3 3 1 НОД(875;5625) = 15 Составляют. 1. Разложить числа на простые множители; 2. Выбрать одинаковые, т.е. числа которые встречаются в разложении этих чисел, подчеркнуть. 3. Найти произведения подчеркнутых чисел. | Запишите через запятую 8 чисел, которые кратны 30, а затем 10 чисел, которые кратны 24. Выберете и подчеркните, наименьшее общее число, которое является кратным и 30 и 24. Чем является число 120 для этих чисел? Сформулируйте определение НОК Разложите на простые множители числа 30 и 24 В разложении числа 24 зачеркните, те множители, которые встречаются в разложении числа 30 Выпишите разложение числа 30, и дополните теми множителями, которые остались в разложении числа 24. Пользуясь этим примером, составьте алгоритм нахождения НОК. Учитель корректирует | Записывают К(30) – 30,60,90,120, 180,210,240 К(24) – 24,48,72,96,120, 144,168,192,216,240 Выполняют Наименьшим общим кратным Формулируют Выполняют 30 2 24 2 15 3 12 2 5 5 6 3 1 2 2 1 Это числа 2 и 3
Выполняют НОК(30;24) = 3 2 5 2 2 = 120 Составляют. 1.Разложить на простые множители; 2. Выписать все множители одного числа и дополнить недостающими множителями, из разложения другого числа. 3. Найти произведение этих множителей |
Тема урока: Формула разности квадратов.
Цели и задачи урока:
- Создать условия для осознанного усвоения формулы разности квадратов;
- Начать формирование умения сокращенно находить произведение разности двух чисел и их суммы; разлаживать многочлен на множители, используя формулу разности квадратов;
- Продолжить формирование познавательной активности деятельности, умения логически мыслить, активно рационально, работать;
- Воспитание ответственного отношения к учебному труду, умения преодолевать учебные трудности, умения работать самостоятельно.
№ п\п | Деятельность учителя | Деятельность ученика |
1. | Проверка домашнего задания Выполнить умножение многочленов: (m - n)(m + n) = m2 + mn – nm – n2 = m2 – n2; (a + b)(a – b) = ………………. = a2 – b2; (c + d)(d – c) = ………………. = d2 – c2; (2a – b)(2a + b) = …………….. = 4a2 + b; (x + y)(2x – y) = 2x2 – xy + 2xy – y2. Каким правилом вы пользовались? Как умножить многочлен на многочлен? Какую операцию вы выполняли? Актуализация опорных знаний Работа с классом устно. 1. Возвести в квадрат произведение (xy)2; (5a)2; (0,3a2)2; (4x2y3p)2; (0,1and4)2 Какое правило использовали? 2. Представить в виде квадрата одночлена 25,4a2, 9b2; 0,16m4; 0,81c6; ; a12/ 3. Прочитать выражение. (x + y)2; x2 + y2; (x – y)2; x2 – y2; (5a + 6b)2; (2y)2 – (3c)2 | Проверяют Отвечают на вопросы Работают устно. Отвечают на вопросы. |
2. | Изучение нового материала Внимательно посмотрите на начало записи и её конец. (m - n)(m + n) = m2 + mn – nm – n2 = m2 – n2; Установите, как сразу можно выполнить умножение. Что получилось в результате? В каком порядке расположены члены в результате? Какова закономерность? Любое ли произведение многочленов обладает этой закономерностью? Запишем эту закономерность в виде формулы (a + b)(a – b) = a2 – b2 Эта формула позволяет сокращенно умножать разность двух чисел и их сумму, поэтому её называют формулой сокращённого умножения. Произведение разности двух чисел и их суммы равно разности квадратов этих чисел. Эту формулу можно применять справа на лево и наоборот. Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. Как будут называться эти операции? представить в виде многочлена стандартного вида (a – b) (a + b) = a2 – b2
разложить на множители В виде a и b могут выступать различные выражения. Что значит разложить на множители? Какие способы разложения вы знаете? | Отвечают на вопросы Записывают формулу |
3. | Первичное применение знаний 1. Представить в виде многочлена стандартного вида. (2b + a)(2b – a) (y + 6x)(6x – y) (3a2 + 4b3)(3a2 – 4b3) Какую операцию вы выполняли? 2. Разложить многочлен на множители a2 – 9; 25x2 – 16; 64y2 – 0,36x2; 81a6 – 49b4 Какую операцию вы выполняли? 3. Восстановит запись (х - ∆)(х +∆) = х2 – y2; (∆ - 3а)(3а +∆) = с2 – 2; (5у - ∆)(∆ + 5у) = 25у2 –4х2; 100 – х2 = (∆ - х)(∆ + х); а2 – ∆2 = (а - 9)(а + 9). 4. Найдите ошибку а) (3 – в)(3 + в) = 9 + в3 б) (х – 2)(х + 2) = х2 – 2 в) (в – 5а)(5а + в) = 25а2 + в2 5. Как вы думаете, где можно использовать изученную формулу сокращенного умножения?
| Выполняют задание Отвечают на вопросы Выполняют 1. Представлять многочлен в стандартом виде. 2.Разложить многочлен на множители. 3. Упростить выражение 4. Решение уравнений. |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Формирование целостных знаний по математики с помощью технологии укрупнения дидактических единиц.
Вся математика состоит из контрастных – парных знаний: прямые и обратные операции – сложение-вычитание, умножение - деление, показательная - логарифмическая функции, дифференцирование-инте...
Дидактические материалы по теме «Применение технологии Укрупнения дидактических единиц на уроках истории и обществознания»
Это дидактические материалы к урокам, выпоненные при помощи технологии УДЕ академика Эрдниева...
Учебно - методическое пособие "Технология Укрупнения Дидактических Единиц на уроках истории и обществознания"
Пособие содержит теоретическое обоснование применения технологии академика П.М. Эрдниева и разработки уроков с применением технологии...
Технология укрупнения дидактических единиц- живой родник мышления и творчества.
реферативно-исследовательская работа о жизни, деятельности и творчестве математика, академиа РАО Пюрви Мучкаевича Эрдниева....
Презентация к уроку "Формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности)" с использованием технологии укрупнения дидактических единиц
Приводится план-конспект урока алгебры в 7 классе с использованием технологии УДЕ...
План-конспект урока "Формулы сокращенного умножения" с использованием технологии укрупнения дидактических единиц
Приводится конспект урока алгеебры в 7 классе...
Метаметодический подход к обучению химии и физики на основе технологии укрупнения дидактических единиц.
О междисциплинарных связях в подготовке школьников к ЕГЭ, структурировании учебного материала по химии и физике в соответствии с технологией УДЕ....