Урок алгебры и начала анализа в 10 классе по теме "Тригонометрические уравнения"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Обобщающий урок в 10-м классе по теме

"Тригонометрические уравнения"

Образовательные  цели:

• обобщить теоретический материал по данной теме;
• выработать навыки решения тригонометрических уравнений различной степени сложности;

Развивающие: 

• Развитие логического мышления учащихся, развитие памяти, внимания, монологической речи, умения рассуждать, выделять главное, самостоятельно приобретать знания, навыки и применять их на практике.
• Развитие умения давать объективную самооценку.
• Расширить кругозор сведениями из истории тригонометрии.

Воспитательные: 

• Воспитание уважительного отношения к одноклассникам.
• Формирование самостоятельности.
• Развитие эстетического вкуса учащихся, аккуратности, внимательности, сознание успеха.
• Воспитание интереса к математике.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор и экран.
• Таблицы с заданиями.
• Дидактические материалы.

Тип урока: комбинированный

Ход урока.

1. Организационный момент. 

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Историческая справка.

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю).

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухаммед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухаммед (1201-1274).
Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном черырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезког треугольника и окружности (а, по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.
В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.
Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной а, или как хорда удвоенной дуги.

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т.е. «дополнительный синус».

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.

Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы: благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в Европе. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1607) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в работу математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

3. Фронтальная (устная) работа учащихся

4. Проверочная работа. Контроль знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям. Работа проводится в двух вариантах. Вопросы проецируются на экран.

Работа окончена, собираются бланки с ответами. Учащиеся отмечают на листочках неправильные шаги и количество правильных ответов, заносят в лист учета знаний.

5. Практическая работа:

А) Установить соответствие: «Уравнение ↔ Корни».

Б) Классификация уравнений по способам решений

Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем уравнения каждого типа.

1. Простейшие тригонометрические уравнения.
2. Решения уравнений с помощью замены переменной.
3. Решение уравнений разложением на множители.
4. Решение однородных уравнений I степени.
5. Решения однородных уравнений II степени.

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества;

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов;

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени;

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в произведение.

Ответы:

1. Простейшие тригонометрические уравнения. (7, 9, 11)
2. Решения уравнений с помощью замены переменной. (2)
3. Решение уравнений разложением на множители. (8, 12)
4. Решение однородных уравнений I степени. (3, 6)
5. Решения однородных уравнений II степени. (1, 10, 13)

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества. (5, 14, 16)

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов. (17)

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени (4)

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в произведение. (15, 18)

6. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

I. Тестовое задание:

1) Все корни уравнения cos x = a находятся по формуле:

А) + 2

Б) х =

В) +

Г) х =

2) Решите уравнение cos x =

А)

Б) х =

В) х =

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: cos x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х =

Г) х =

II. Решите уравнения:

А)

Б)

Вариант 2.

I. Тестовое задание.

1) Все корни уравнения sin x = a находятся по формуле:

А) х =

Б) х =

В)

Г)

2) Решите уравнение: sin x = .

А)

Б)

В)

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: sin x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х = -

Г) х = 2

II. Решите уравнения:

А)

Б)

 (Учащиеся проводят самопроверку по ответам данных на мультимедийном экране.)

Ответы:

7. Подведение итогов. Рефлексия.

8. Домашнее задание:

Дидактический материал

3. Проверочная работа.  В таблицу впишите ответы на вопросы

4.  Установить соответствие: «Уравнение ↔ Корни».

5. Классификация уравнений по способам решений

Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем уравнения каждого типа.

Ответы:

1. Простейшие тригонометрические уравнения. ________________________
2. Решения уравнений с помощью замены переменной. __________________
3. Решение уравнений разложением на множители. _____________________
4. Решение однородных уравнений I степени. __________________________
5. Решения однородных уравнений II степени. _________________________

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества. ____________

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов. ________________

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени _________________________

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в произведение. ______________________

6. Диагностика

Вариант 1.

1) Все корни уравнения cos x = a находятся по формуле:

А) + 2

Б) х =

В) +

Г) х =

2) Решите уравнение cos x =

А)

Б) х =

В) х =

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: cos x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х =

Г) х =

Решите уравнения:

А)                             Б)

Дидактический материал

3. Проверочная работа.  В таблицу впишите ответы на вопросы

4.  Установить соответствие: «Уравнение ↔ Корни».

5. Классификация уравнений по способам решений

Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем уравнения каждого типа.

Ответы:

1. Простейшие тригонометрические уравнения. ________________________
2. Решения уравнений с помощью замены переменной. __________________
3. Решение уравнений разложением на множители. _____________________
4. Решение однородных уравнений I степени. __________________________
5. Решения однородных уравнений II степени. _________________________

6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества. ____________

7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов. ________________

8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени _________________________

9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в произведение. ______________________

6. Диагностика

Вариант 2.

1) Все корни уравнения sin x = a находятся по формуле:

А) х =

Б) х =

В)

Г)

2) Решите уравнение: sin x = .

А)

Б)

В)

Г) х =

3) Найдите корни уравнения: sin x = 1.

А) х =

Б) х =

В) х = -

Г) х = 2

Решите уравнения:

А)                                Б)

Оценочная карта урока

Ф. И. уч-ся_____________________________________________________

Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов

по всем заданиям.

• при n = 44 - 46, то ученик получает «5»;
• при 35 ≤ n ≤ 43 - оценка «4»;
• при 30 ≤ n ≤ 34 - оценка»3»;
• при n < 30 ученик получает «2».

Карта рефлексии

Оценочная карта урока

Ф. И. уч-ся_____________________________________________________

Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов

по всем заданиям.

• при n = 44 - 46, то ученик получает «5»;
• при 35 ≤ n ≤ 43 - оценка «4»;
• при 30 ≤ n ≤ 34 - оценка»3»;
• при n < 30 ученик получает «2».

Карта рефлексии