Урок алгебры и начала анализа. 10 класс. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Урок алгебры и начала анализа. 10 класс.

(УМК А.Г. Мордковича и др. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс

М. «Мнемозина»,2013 года)

Тип урока: ОНЗ.

Тема урока: Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Учитель: Александра Вячеславовна Евдокимова, I квалификационной категории, МОУ СОШ №43 им. А.С.Пушкина, города Ярославля.

Цели:

• ввести определение однородного тригонометрического уравнения второй степени; вывести алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.
• повторить и закрепить навык решения простейших тригонометрических уравнений; тренировать вычислительные навыки.
• развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, обобщение, аналогия.

Демонстрационный материал:          

Раздаточный материал:

Ход урока.

1. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать  актуализацию требований к ученику со стороны  учебной деятельности(«надо»).

2) Организовать деятельность учащихся  по установке тематических рамок («могу»)

3) Создать условия для возникновения у ученика  внутренней потребности  включения в учебную деятельность(«хочу»)

- Чем занимались на прошлом уроке? (Решали простейшие тригонометрические уравнения; уравнения методом замены, разложением на множители, однородные уравнения первой степени.)

- Всё получалось? (Нет, но мы повторяли алгоритм решения таких уравнений, исправляли  ошибки.)

- Какое предположение вы сделали в конце прошлого урока? (Что существуют более сложные виды тригонометрических уравнений и мы их сможем решить.)

- С чего начнём? (Повторим алгоритмы решения известных нам уравнений.)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2)  Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных  операций, достаточных  для построения нового знания.

6) Мотивировать к пробному действию («надо» - «могу» - «хочу»).

7) Организовать самостоятельное выполнение  пробного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

 -Решите уравнения:

Sin x =0                                               sin x = 1

Cos x =0                                     cos x = 1  

tg  x = 0                                                tg x = 1  

ctg x = 0                                       sin x = - 1

                                          Среди предложенных уравнений укажите:

1.   2 tg2 t – 5tg t +2 = 0

2.   2sin x – 3 cos x = 0                            1) уравнения, которые решаются

3.   (sin x - ) (sin x + 1) = 0                               методом   замены; (1)

4.    sin 2x + cos 2x = 0                           2) уравнения, которые решаются

5.    sin2 x – 3 sinхcos x + 2 cos2 x = 0         методом разложения на              

                                                                               множители (3)                                                                                         

6.    sin x + cos x = 2                                3) однородные тригонометрические                                                                                                            

                                                                       уравнения  1 степени (2,4)

- Сформулируйте алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений первой степени.

Учащиеся формулируют алгоритм. Алгоритм пошагово появляется на доске.

Оформление доски:

 - Найдите среди предложенных уравнений, то которое будет пробным.

( №5)

 - Рассмотрим его, чем оно отличается от остальных ? (Все одночлены в левой части – второй степени.)

- Уравнения вида     а sin2 x +  b sin х cos x +  c cos2 x = 0

Называются однородными второй степени. Способ таких уравнений вам известен? (Нет.)

- Попробуйте решить уравнение № 5.

Учащиеся выполняют пробное действие.

-Удалось найти верный ответ? В чём затруднение?

(Нет, не удалось; решил, но не могу обосновать решение.)

3.Выявление места и причин затруднения.

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами(алгоритмом, понятием и т.д.)

4) На этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения- тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– В чём причина затруднения? (Мы не знаем алгоритма решения таких уравнений.)

 Были ли уравнения

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Учащиеся уточняют и согласовывают причины возникшего затруднения.

3) Учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.)

4) Учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

-Какова цель урока?  (Составить алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

 -Какова тема  урока? (Однородные уравнения второй степени.)

- Запишите тему в тетрадь.

-Какие приёмы вы предлагаете использовать для конструирования алгоритма? (Деление обеих частей уравнения на cos2 x.)

Оформление доски

- Как решить уравнение вида: а sin2 mx +  b sin cos mx +  c cos2 mx = 0

Оформление доски:

- Для выполнения  построенного плана предлагаю объединиться в группы и решить задания:

Ответ:    

Ответ:    

Ответ:   -  

Ответ:        

Ответ: ,   .

Учащиеся работают в группах. Записывают решение на заготовках для кодоскопа. Проверка через кодоскоп..

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи.

 -Решим № 364 (в) проговаривая все этапы алгоритма.

Оформление доски:

sin2 x +  sin х cos x - 2 cos2 x = 0         a≠0    c≠0

                                              (Разделить  обе части уравнения на  cos2 x)

tg 2x + tg x - 2=0                                          

Z2 + Z – 2 = 0                              (Решим полученное квадратное уравнение)

Z1= 1        Z2 = -2

                                                                                            (Вернёмся к замене)

tg x = 1  или tg x = -2                       ( Решим простейшие тригонометрические        

                                                                                          уравнения).

х = ,           х = -       (Запишем ответ уравнения).

ответ:  х = ,           х = -       

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1) Организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) Организовать соотнесение работы с подробным образцом;

3) Организовать вербальное сопоставление работы с   подробным образцом;

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

Самостоятельная работа

-Время на выполнение задания вышло. Проверьте  свою работу по подробному образцу.

- С какого шага начнём проверку ( Проверим, чему равны коэффициенты.)

-Следующий шаг проверки ?  (Разделить  обе части уравнения  на  cos2.)

- Дальше?(Вввести  замену Z = tg x и решить полученное квадратное уравнение.)

-Следующий шаг проверки ?   (Вернёмся к замене и   решим простейшие тригонометрические    уравнения.)

-Последний шаг проверки? (Проверка правильности записи ответа уравнения.)

- Кто ошибся при  определении  коэффициентов?

- Кто допустил ошибки при делении обеих частей уравнения на  cos2?

- Кто неверно решил кв. уравнение?

- Кто неверно решил простейшее тригонометрическое уравнение?

8.Включение в систему знаний и повторение.

1) Организовать выявление типов заданий, где используется новый способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

-Рассмотрите уравнение. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени? (Нет.)

-А можно его привести к такому виду? (Да.)

- Что для этого нужно сделать? ( По основному тригонометрическому тождеству заменить 1 на sin2 x  +  cos2 x привести  подобные слагаемые.)

- Решите это уравнение. (Ответ: х = -)

- Как вы думаете, а существуют другие виды тригонометрических уравнений? (Конечно.)

- Что может нам помочь в решении новых видов уравнений? (Тригонометрические формулы, которые  мы знаем.)

-А много ли тригонометрических формул вы знаете?(Пока нет.)

-Сделайте предположение, что вы узнаете на следующих уроках? (Новые тригонометрические формулы.)

9. Рефлексия учебной деятельности.

1)  Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения.

3) Выполнения требований, известных учащимся.

4) Организовать оценивание учащимися собственной деятельности на уроке.

5) Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

- Что нового узнали на уроке? (Новый вид тригонометрического уравнения, способ его решения.)

- Достигли цель, поставленную в начале урока? (Да.)

- Почему? (Мы составили алгоритм решения однородных уравнений второй степени.)

-Где может пригодиться новое знание? (При решении более сложных тригонометрических уравнений.)

- Как вы оцените свою работу на уроке?

-Для чего нам необходимо выполнять домашнее задание? (Чтобы закрепить умение решать данный вид уравнений.)

- Предлагаю записать домашнее задание: № 363(г), № 362 (бв), дополнительно: №378.